Министерство общего и профессионального образования

 Российской Федерации

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №28 г. Мытищи

Научно-практическая работа по геометрии

Тема: Необычные геометрические фигуры и их применение

                                                                                Выполнили:

                                                                                Ученицы 7А класса

                                                                                Овсяник Елизавета

                                                                                 Руководитель:

                                                                                 Никитина И. А.

                                                                                 учитель математики

г. Мытищи

2012

Оглавление:

Введение

1. Треугольник Рёло

1.1 Построение

1.2 История возникновения

1.3 Свойства

1.4 Применение

2. Тессеракт

2.1 Описание

2.2 Построение

2.3 Свойства

2.4 Применение

3. Полимино

3.1 Описание 

3.2 Применение

4.Полиамонд

4.1 Описание

4.2 Применение

5.Фрактал

5.1 Описание

5.2 Применение

Заключение

Библиография

Введение

Геометрия - (греч. geometria, от ge - Земля и metreo - мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре.

 Считается, что данная наука была открыта (создана) египтянами для измерений и составления расчетов в рамках Земли. Изначально, эта наука была исключительно интуитивной, но в связи с тем, вероятно, что интуиция - это невидимая, а оттого всегда спорная величина, решено было как-то структурировать данную систему исчислений. Известно, что в геометрии расчеты ведутся в трёх измерениях - длина, высота, ширина. Но также, на данный момент, человечество оперирует не менее чем четырьмя понятиями о пространственных величинах.

Действительно, фигура, как она рассматривается в геометрии, и есть пространственная форма; поэтому в геометрии говорят, например, «шар», а не «тело шарообразной формы»; расположение и размеры определяются пространственными отношениями; наконец, преобразование, как его понимают в геометрии, также есть некоторое отношение между двумя фигурами — данной и той, в которую она преобразуется.

В современном, более общем смысле, геометрия объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к ней определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе данной науки в первоначальном её значении, а в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Геометрия в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и её границы не являются точными.

Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993) Бенуа Мандельброт  говорил:

«Геометрию часто называют "холодной" и "сухой". Одна из причин этого состоит в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. Многие природные объекты настолько иррегулярны и фрагментированы, что по сравнению со стандартной геометрией Евклида природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня».

В данной работе рассказывается о тех геометрических фигурах, которые мы не изучаем на уроках геометрии в школе, но именно они окружают нас в действительности, в архитектуре, в компьютерных играх и головоломках. .

Треугольник Рёло

Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне.

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирется произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью наименьшим возможным углом при вершине, наименьшей симметричностью относительно центра. Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить квадратные отверстия. Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого треугольника; также он использовал его в своих механизмах. Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой.                                          

История

Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась. Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B. Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов. В XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон.

Основные геометрические характеристики

Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины

Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса. В частности,

1. с каждой из своих опорных прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке;
2. расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло ширины не может превышать  отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым;
3. через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая;
4. радиус окружности, имеющей не меньше трёх общих точек с границей треугольника Рёло ширины , не превышает  по теореме Ханфрида Ленца о множествах постоянной ширины треугольник Рёло нельзя разделить на две фигуры, диаметр которых был бы меньше ширины самого треугольника;
5. треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат, а также в правильный шестиугольник 

Наименьшая площадь

Среди всех фигур постоянной ширины  у треугольника Рёло наименьшая площадь. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшего теорему в 1915 году, и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году. Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством — круг. Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь максимальна. Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. В этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.

Наименьший угол

Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло.

Применение: в технике.

2. Тессеракт

Тессеракт — четырёхмерный гиперкуб — аналог куба в четырёхмерном пространстве. Согласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (1853—1907) в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом — четырёхмерным кубом.

Популярное описание

В одномерном «пространстве» — на линии — выделим отрезок АВ длиной L. На двумерной плоскости на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится квадрат CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный куб CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим гиперкуб CDBAGHFEKLJIOPNM. Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата CDBA, квадрат — стороной куба CDBAGHFE, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. Отрезок прямой имеет две граничные точки, квадрат — четыре вершины, куб — восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра — по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер. Как сторонами квадрата являются 4 одномерных отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны. На рисунке это кубы: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.

Применение:

Тессеракт используется в кинематографии.

3.Полимино

Полимино, или полиомино (англ. polyomino) — плоские геометрические фигуры, образованные путём соединения нескольких равных квадратов по их сторонам. Это полиформы, сегменты которых являются квадратами. Иначе говоря, клетки каждого полимино можно обойти за конечное число ходов шахматной ладьи.

Полимино носят названия по числу квадратов, из которого они состоят:

1. 1 — мономино
2. 2 — домино
3. 3 — тримино
4. 4 — тетрамино
5. 5 — пентамино
6. 6 — гексамино
7. 7 — гептамино
8. 8 — октамино
9. 9 — нонамино или эннеомино
10. 10 — декамино

и т. д.

Полимино использовались в занимательной математике по крайней мере с 1907 года, а известны были ещё в древности. Многие результаты с фигурами, содержащими от 1 до 6 квадратов, были впервые опубликованы в журнале «Fairy Chess Review» в период с 1937 по 1957 г., под названием «проблемы рассечения». Название «полимино» или «полиомино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году, и затем популяризировано Мартином Гарднером.

По аналогии с полимино строятся полиамонды, сформированные из равносторонних треугольников; полигексы, сформированные из правильных шестиугольников, а также другие плоские полиформы. Полимино также обобщаются на случай более высоких размерностей (сформированные из кубов — поликубы, или из гиперкубов — полигиперкубы).

4.Полиамонд

Полиамонд — геометрическая фигура в виде многоугольника, составленного из нескольких одинаковых равносторонних треугольников. Наряду с полимино, широко распространена в занимательной математике, в основном в задачах на составление фигур. Одним из основных вопросов о полиамондах является вопрос о количестве полиамондов, которые можно составить из данного числа треугольников. Как и в случае полимино, различают «свободные» полиамонды, для которых повороты и отражения не считаются различными формами; «односторонние», когда фигуры при зеркальных отражениях считаются различными, и «фиксированные», различаемые также и при поворотах.

Полиамонды носят названия по количеству фигур в группе:

Мониамонд (мономонд) — 1;

Диамонд— 1;

Триамонд— 1;

Тетриамонд— 3;

Пентиамонд— 4;

Гексиамонд— 12.

Происхождение названий

Название «полиамонды» придумано математиком Т.О’Бейрном из Глазго по аналогии с «полимино» и одним из английских названий ромба — диамонд. Поскольку диамонд можно составить из двух равносторонних треугольников, то фигуру из трёх равносторонних треугольников О’Бейрн назвал триамондом, из четырёх — тетриамондом и т. д. О’Бейрн также придумал большинство названий гексиамондов.

Применение

Полиамонды и полимино используются в разных логических играх.

5.Фрактал

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Термин

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

1. Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
2. Является самоподобной или приближённо самоподобной.
3. Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

История

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

1. множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
2. треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
3. губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
4. примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
5. кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
6. кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
7. траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.

Стохастические фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

1. траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;
2. граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.
3. эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.
4. различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Фрактальная монотипия, или стохатипия — направления в изобразительном искусстве, заключающиеся в получении изображения случайного фрактала.

Применение

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

1. неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)
2. неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

1. венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (225 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
2. «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я. Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагосе»)
3. предисловия, скрывающие авторство (У. Эко «Имя розы»)
4. Т. Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём).
5. К. Прист «Лотерея» (иногда встречается под названием «Подтверждение»): молодой писатель сочиняет роман о своем двойнике из параллельного мира, который в свою очередь пишет книгу о своем двойнике из параллельной Вселенной, сочиняющем…
6. Б. Олдисс «Доклад о вероятности А»

Радиотехника

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

Информатика

Сжатие изображений

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Заключение

Великий  русский ученый Михаил Ломоносов говорил: «Математику уже только потому учить надо, что она в порядок ум приводит». Доказано, что математика развивает уровень общего развития, скорость мышления и сообразительность человека.

Для того чтобы процесс познания этой воистину великой науки проходил более увлекательно, и подготовлена эта работа.

Освещение информации о геометрических фигурах, изучение которых не входит в разделы познаваемые в рамках школьной программы, позволяет  слушателям  приобрести новые знания и иными глазами посмотреть на знакомые предметы.

Список литературы:

Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.

Голомб С. В. Полимино. — Пер. с англ. В.Фирсова. — М.: Мир, 1975. — с.143—147

Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — Пер. с англ. Ю.А.Данилова. — М.: Мир, 1971. — 511 с.,

Интернет – источники:

http://ru.wikipedia.org/