Геометрический способ решения задач на переливание

     Геометрические способы решения задач на переливание

         Ильина Мария, СОШ №61 г. Чебоксары, 7 класс

       Максимова Катя, СОШ №61 г. Чебоксары, 7 класс

       Научный руководитель:  Ильина Ольга  Александровна, учитель                 математики СОШ №61 г.      Чебоксары                     

Практически ни один классический сборник, связанный с играми и развлечениями, не обходится без раздела «Дележи», причём заметное место в нём занимают задачи о переливании жидкостей из сосуда  в сосуд.  Рассматривая в разных источниках решение задач на переливание, мы столкнулись в основном с табличным способом их решения. Но выписанные таблицы не дают ответа на вопрос, каким, же правилом руководствоваться для нахождения решения? С целью найти такое правило, мы решили использовать геометрический подход к решению задач на переливание. Объясним суть этого метода на примере решения следующей задачи.

Задача (десять вёдер кваса).

Имеются три бочонка вместимостью 6 вёдер, 3 ведра и 7 вёдер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 вёдер кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками разделить квас между первым и третьим бочонками поровну, т. е. по 5 вёдер.  

Обозначим через X и Y количество жидкости, содержащейся после какого-либо переливания соответственно в первом и втором бочонках. При переливании общее количество жидкости не изменяется, т.е. всё время остаётся равным 4+6=10 вёдрам. Поэтому в третьем бочонке будет находиться 10-X-Y вёдер жидкости. Количество жидкости содержащейся в бочонке, не может быть больше объёма бочонка. Мы видим, что числа X, Y удовлетворяют таким условиям:

                        0≤  х≤ 6,                                                        0 ≤ х≤ 6,

                        0≤ у≤ 3,                        или                           0≤ у≤ 3

                        0≤ 10-х - у≤ 7                                                3≤ х + у≤ 10

Укажем на координатной плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют написанным выше неравенствам. На рисунке это множество - внутренняя часть четырёхугольника PQRS. Начальному распределению жидкости соответствует на этом рисунке точка A(x=4, y=0), а распределению, которое мы хотим получить,- точка B (x=5,y=0).                                                

Последовательность переливаний, которая ведет от распределения  A к распределению В, представится на этом рисунке в виде некоторой последовательности точек ( или в виде ломаной с началом в точке А и концом в точке В).  Попробуем выяснить, каким же условиям должны удовлетворять вершины этой ломаной и её звенья.

Переливание заканчивается, когда наполнится тот бочонок, в который мы льём жидкость, или станет пустым бочонок, из которого мы жидкость выливаем. Это означает, что после каждого переливания обязательно найдется хотя бы один пустой или хотя бы один полный бочонок. Где же на четырёхугольнике  PQRS будут располагаться соответствующие точки? Если полон первый бочонок (x=6), то точка лежит на отрезке RS, если первый бочонок пуст(x=0), то должны быть полными второй и третий бочонки  (3+7=10). Таким условиям удовлетворяет единственная точка Q. Распределениям, при которых пуст второй бочонок (y=0), соответствуют точки отрезка PS, а если второй бочонок  полон (y=3) – точки отрезка QR. Наконец, третий бочонок пустым быть не может, в первые  два бочонка 10 вёдер не вместятся, а если он полон, то в первых двух должно содержаться 10-7=3 ведра (x+y=3). Соответствующие точки лежат на отрезке PQ. Итак, мы установили, что все точки ломаной, в том числе вершины, должны располагаться на границе четырёхугольника  PQRS. Заметим теперь, что при каждом переливании содержимое одного бочонка остаётся неизменным, ведь каждое переливание затрагивает только два бочонка. Если не изменяется содержимое первого бочонка (x постоянно), то отрезок, соединяющий точки, соответствующие распределениям до и после переливания, параллелен оси  Y (у начала и конца отрезка координата  x имеет одно и то же значение). Если при переливании не меняется содержимое второго бочонка, то соответствующее звено ломаной параллельно оси  X (y постоянно).

Наконец, если в переливании не участвует  третий  бочонок, то сохраняется общее количество жидкости в первых двух  бочонках. Иными словами, в концах отрезка сумма x+y принимает одно и то же значение. Это означает, что звено ломаной параллельно отрезку PQ. Итак, каждое звено перпендикулярно или оси OX, или оси OY, или биссектрисе угла между этими осями. Чтобы проверить себя, представим, что некоторое звено ломаной расположено на границе четырёхугольника  PQRS, например, на отрезке PQ. Что это означает? Звено образует равные углы с осями X и Y, поэтому в переливании не участвует третий бочонок. Кроме того, этот бочонок полон. В первых двух бочонках вместе содержится x+y =3  ведра жидкости, так что переливание закончится, если станет пустым первый бочонок (x=0, точка Q) или второй бочонок (y=0, точка P). Точно так же можно рассуждать и о других сторонах четырёхугольника PQRS. Мы выяснили, что если  некоторое звено ломаной лежит на границе PQRS, то его конец обязательно совпадает с одной из вершин P, Q,R или S.

 Наша задача на геометрическом языке выглядит теперь так: соединить т. А с т. В ломаной, все вершины которой лежат на границе четырёхугольника, а звенья параллельны осям X или Y или образуют с ними равные углы.  В таком виде задача  становится нагляднее и требуемые ломаные без труда находятся. На клетчатой бумаге проведение ломаных не составляет никакого труда, так как все звенья проходят через узлы сетки, а вершины совпадут с узлами.

х

0

Q

P

R

S

А

В

1

2

3

4

у

В других задачах роль четырёхугольника PQRS могут играть  другие многоугольники: параллелограмм, пятиугольник. Могут встретиться шестиугольники, причём шесть - это максимально возможное число сторон. Формулировка задачи при этом остаётся той же самой, изменится только многоугольник и положения точек А и В.         

Геометрическое представление задачи и её решения наглядно, однако достаточно трудоёмко. Попробуем на основе геометрических соображений дать рекомендации, как в любой подобной задаче найти требуемый способ (если он существует), не прибегая к построениям. Вершины многоугольника соответствуют распределениям жидкости, при которых сразу два бочонка находятся в граничном состоянии (оба пусты; оба полны; один пуст, другой полон).

Правило 1. Прежде всего, нужно добиться с помощью переливаний, чтобы по крайне мере два бочонка находились в граничном состоянии. Геометрически это соответствует тому, что мы строим ломаную, начинающуюся в точке А и кончающуюся в какой-либо вершине многоугольника.

Правило 2. Следует обойти все вершины многоугольника, переливая на каждом шаге жидкость из бочонка, который не участвовал в предыдущем переливании, и, не изменяя содержимого одного из бочонков, находящихся в граничном состоянии. Геометрически последовательное применение правила 2 означает переход от вершины многоугольника к соседней с ним вершине и так далее. Вершин не более шести, поэтому, применяя правило 2 не более шести раз, мы вернёмся к распределению, которое ранее уже встречалось. Если, применяя 1, мы не попали в точку В и если В отлично от вершин многоугольника (применение 2 не даёт нам В), то далее нужно поступать следующим образом.

Правило 3. Отправляясь от точки А, а также от распределений, соответствующих каждой вершине многоугольника, совершать переливания, не приводящие к ранее встречавшимся распределениям, пока это будет возможно сделать или встретится распределение В. При этом, как легко видеть, в переливании должны участвовать бочонок, находящийся в граничном состоянии, и бочонок, не участвовавший в предыдущем переливании. Если применение правила 3 не приведёт к распределению В, то, значит, переливаниями из А в В перейти невозможно.  

Рассмотрим еще одну задачу, которую решим геометрическим способом.

Задача (Шестнадцать вёдер кваса).

   Как быть, если полный бочонок шестнадцативёдерный, а пустые - одиннадцати - и шестивёдерные и требуется разлить квас поровну в два из них?

у

х

х– количество кваса в 11-ведёрном бочонке

У- количество кваса в 6-ведёрном бочонке  

.

А

Q

.

.

Р

В

.

.

R

.

S

Х+У=16

 Можно сделать вывод, что для выполнения, поставленного в задаче условия необходимо сделать 15 переливаний, чтобы разделить при помощи данных сосудов имеющиеся 16 л кваса пополам. Если бы эту задачу решали методом подбора, то на нахождение данного решения ушло бы  много времени. А применение геометрического способа дает более рациональное и наглядное решение.

 Также этот способ позволяет привлечь новые интеллектуальные ресурсы ученика. Мы считаем, что описанный выше способ  можно также использовать и для решения задач на смеси, задач на справедливый дележ имущества, а также на обмен имуществом.

Используемая литература.

Игнатьев Е.И. В царстве смекалки (в трех книгах). – М.: «Просвещение», 2008.

Коксетер Г.С.М. и  Грейтцер С.Л.  Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978

Савина Л.А. Задача о трех кувшинах // Журнал «Квант». – 1978. – № 5. – С.29 – 32.

Задачи на переливания. http://rsa.iso.karelia.ru/matem/test/pereliv.doc.

Капкаева Л. В. Интеграция алгебраических и геометрических методов в решении

        задач. http://mat.1september.ru/2003/16/no16_1.htm

Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи на смекалку.- М.: Дрофа,2003.