"Инварианты"

«Инварианты»

Зуев Михаил

Муниципальное автономное образовательное учреждение гимназия №29 г.Томска.

Руководитель: Деревцова Елена Викторовна, учитель математики

Недавно я столкнулся с задачкой, для которой я не смог найти простого решения, а, как и многие, начал решать её неудобным и громоздким способом перебора. Позже я узнал, что такой тип задач легко решается с помощью инвариантов. В школьных учебниках, я ни разу не сталкивался с таким типом задач.Назовём его «инвариантными». Меня это очень заинтересовало, ведь инвариантные задачи встречаются в различных олимпиадах и, что особенно важно, в ЕГЭ. Поэтому я решил больше узнать об инвариантах и об их применении.

Гипотеза: Решение инвариантных задач, позволяет повысить компетентность учащихся в применении инвариантов.

Цель: Изучение применение инвариантов при решении задач и создание сборника задач на применение инвариантов.

Задачи:

1. Собрать теоретическую информацию о математическом понятия «инвариант»;
2. Создать серию задач, требующих использование инвариантов для решения;
3. Предложить задачи для решения учащимися 8-го класса;
4. Исследовать частоту применения инвариантов  при решении задач;
5. Узнать, что влияет на эффективность применения инвариантов при решении задач;
6. Оформить задачи и их решения в сборник.

Объект: Математическое понятие «инвариант».

Предмет:  Решение задач при помощи инвариантов.

Методы исследования, которые я буду применять в своей работе, это:

1. Моделирующий эксперимент;
2. Сравнение.

Введение:

Инвариант — это величина, которая остаётся неизменной при тех или иных преобразованиях. В некоторых задачах инвариант — это величина, которая изменяется монотонно, то есть только увеличивается или только уменьшается. Рассмотрим на примере задачки про шахматную доску.

Условие:

Имеется шахматная доска, из которой вырезали два противоположных угловых поля. Можно ли покрыть ее целиком фигурами домино размером 2 × 1 таким образом, чтобы каждое поле было полностью покрыто одной и только одной фигурой домино?

Т.к. размер доминошки 2х1, то 1 доминошкабудет всегда будет покрывать 1 чёрное и 1 белое поле. Поэтому инвариантом здесь будет равенство чёрных и белых полей на шахматной доске или Б-Ч=0, где Ч – кол-во чёрный полей, а Б – кол-во белых полей. Т.к. противоположные поля одного цвета, то инвариант не будет выполнятся, а значит решений нет.

Рассмотрим задачку из ЕГЭ С6:

На числовой оси отмечены все точки с целыми координатами. Разрешается прыгать на 1 и на 4 клетки вправо или влево. Можно ли за 2010 таких прыжков попасть из точки 1 в точку 2, ни разу не попав в точки, координат которых кратны 4?

Т.к. нам нельзя попадать на клетки формата 4n, то вся ось разбивается на интервалы с длиной 4. Между этими интервалами можно перемещаться только прыжками на 4. Т.к. 1 и 2 находятся в одном интервале, то количество прыжком на 4 влево, равно кол-ву прыжков на 4 вправо.

Пусть а – кол-во прыжков на 4 влево, тогда а – кол-во прыжков на 4 впаво, b   – кол-во прыжков на 1 вправо, с – кол-во прыжков на 1 влево. Получаем, что совокупность всех прыжков можно представить  в виде такого многочлена:

х+b+4а-4a-с=у

b=с+(у-х)

Отсюда кол-во прыжков на 1 равно с+с+(у-х)=2с+(у-х), а кол-во всех прыжков 8а+2с+(у-х). Значит, инвариант формулируется следующим образом: чётность разности начальной и конечность точки равна чётности количества прыжков. В нашем случаи у=2, х=1, 2-1=1, а значит число прыжков должно быть нечётным числом. А 2010 – чётное число. Значит, за 2010 прыжков нельзя попасть из 1 в 2.

Изучая задачи на инварианты я выяснил, что они делятся на несколько типов по способу решения решения:

1. Задачи на чётность
2. Задачи на делимость.
3. Задачи с полуинвариантами.
4. Задачи с неклассифицированными инвариантами.

        Рассмотрим каждый тип на примере задач:

1. Задача на чётность:

На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

Решение: После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки – либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки – либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). Инвариант: чётность кол-ва платков та же, что и чётность подхода. После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.

2. Задача на делимость:

Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?

Решение: Пусть а – первое число, тогда 2а – второе. По признаку делимости на 3 сумма цифр имеет тот же остаток от деления на 3, что и само число. Инвариант: сумма чисел имеет тот же остаток от деления, что и сумма всех их цифр. Сумма чисел а+2а=3а делится на 3, значит, сумма цифр 1-го и 2-го числе делится на 3. 2+3+4+5+6+7+8+9=44 не делится на 44, а значит составить такие числа нельзя.

3. Задача с полуинвариантами:

В десяти сосудах содержится 1, 2, 3,…, 10 литров воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6, 7, 8, 9, 10?

Решение: Рассмотрим различные варианты переливания:

1. В сосуде А чётное число литров (2х). В сосуде В чётное число литров (2у). После переливания в сосуде А 2х-2у=2(х-у) литров (чётное число). В сосуде В 2у+2у=4у литров (чётное число). Количество чётных и нечётных чисел не изменилось.
2. В сосуде А нечётное число литров  2х+1. В сосуде В чётное число литров 2у. После переливания в сосуде А 2х+1-2у=2(х-у)+1 литров (нечётное число). В сосуде В 2у+2у=4у литров. (чётное число). Количество чётных и нечётных чисел не изменилось.
3. В сосуде А чётное число литров 2х. В сосуде В нечётное число литров 2у+1. После переливания в сосуде А 2х-(2у+1)=2х-2у-1=2(х-у)-1 литров (нечётное число). В сосуде В 2у+1+2у+1=4у+2=2(2у+1) литров (чётное число). Количество чётных и нечётных чисел не изменилось.
4. В сосуде А нечётное число литров 2х+1. В сосуде В нечётное число литров 2у+1. После переливания в сосуде А 2х+1-(2у+1)=2х+1-2у-1=2(х+у) литров (чётное число). В сосуде В 2у+1+2у+1=4у+2=2(2у+1) литров (чётное число). Число чётных литров увеличилось на 2, а нечётных уменьшилось на 2.

Полуинвариант: Кол-во нечётных чисел может только уменьшаться.

Т.к. после переливание число нечётных увеличиться на 2, то по полуинварианту добиться таких чисел нельзя.

4. Задача с неклассифицированными инвариантами:

На шахматной доске стоит черный слон и белая ладья. Белые, как водится, ходят первыми. Могут ли чёрные выиграть и, если да, при какой тактике (оба игрока стараются выиграть)?

Решение: Инвариант: слон ходит по клеткам одного цвета. И, поэтому, если ладья будет ходить только на клетки другого цвета, чёрные не смогут выиграть.

Также инвариантные задачи можно разделить на группы  по виду начальных данных:

1. В задаче требуется доказать, что существует некий инвариант, причем он явно задан в условии.
2. В задаче ничего не говорится и не намекается на инварианты - их надо увидеть самостоятельно.

Для того чтобы узнать, какой из типов задач представляет большую сложность для учащихся, я создал несколько задач различных типов и предоставил их для решения учащимся 8-го класса.

Видно, что чаще всего ученики решали задачки перебором. Но в результате только 35% из тех, кто использовал этот способ, решили задачи правильно.

На этой диаграмме видно, что 90% учащихся не применяли инварианты при решении задач.

В общей доле решения это выглядит вот так:

После разбора некоторых задач и предоставление задач учащимся для самостоятельного решения я провёл повторную проверку и получил такие результаты:

:

Изучая решения, я пришёл к выводу, что основными навыками, влияющими на частоту и успешность применения инвариантов, являются:

1. Анализ
2. Правильное восприятие условий задачи.
3. Опыт решения задач.

Эти навыки позволяют сделать вывод, что более сложным представляется 2 тип задач, где требуется найти инвариант.

После этого я объединил задачи и их решения в сборник, который в настоящее время насчитывает около 20 задач.

Вывод:

Решение задач на инварианты развивает не только те навыки, которые используются в-основном при решении задач на инварианты, но и те, которые могут пригодиться и в других сферах деятельности.