Тайны и загадки числа пи

Содержание.

Введение.

1. Интересные факты.

2. Понятие числа π.

3.  История числа π.

4.  Различные вычисления числа π.

5. Число π в современной математике.

6. Практическая работа: «Вычисление приближенного значения отношения   длины окружности к диаметру».

Заключение.

Список литературы.

Цель настоящей работы заключается в исследовании истории  числа π и  значимости числа π на современном этапе развития математики.

Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

 - изучить литературу с целью получения информации об истории числа π;

 - установить некоторые факты из «современной биографии» числа π;

 -  практическое вычисление приближенного значения отношения длины окружности к диаметру.

Объектом исследовательской работы является история числа π.

Предметом  рассмотрения явилось значимость числа π в математике.          

Методы исследования. В ходе исследования использовались различные методы и приемы анализа учебной и научно- популярной литературы, ресурсов сети Интернет, практическая работа, эксперимент.

Введение

Число π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается в разных школьных дисциплинах. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.

Куда бы мы ни обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число  π: оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине. Именно поэтому я решил познакомиться с проблемой поближе.

Числа много тысячелетий назад вошли в жизнь и быт людей. Человек их использует не только при счёте и вычислениях, он придумал различные игры с числами и шарады. Некоторые числа наделил сверхъестественными свойствами, например, 13 или 666. Среди бесконечного множества действительных чисел существуют ещё особенные, и не только для математиков, например число π. Это число имеет свое собственное обозначение, так как его нельзя записать точно с помощью цифр. Число 3,14 лишь одна из приближённых значений чисел π. Это число является иррациональным и трансцендентным, для их точного определения не хватило бы и триллиона десятичных знаков. Пи – буква греческого алфавита, обозначение происходит от начальной буквы греческого слова .

Никакое другое число не является таким загадочным, как "Пи", с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Во многих областях математики и физики ученые используют это число и его законы. Число π является лишь одним из бесконечного множества действительных чисел, но оно обратило на себя внимание людей еще в те времена, когда они не умели письменно излагать свои знания, переживания, воспоминания. С тех пор как первые натуральные числа 1, 2, 3… стали неразлучными спутниками человеческой мысли, помогая оценивать количества предметов, их длины, площади или объемы, люди познакомились и с числом π. Тогда оно еще не являлось одной из букв греческого алфавита и обозначалось числом 3.

Нетрудно понять, почему числу π уделяли так много внимания. В глубокой древности математики довольно быстро и не без удивления обнаружили, что число 3 не совсем точно выражает то, что теперь известно как число π. Безусловно, к такому выводу они могли прийти только после того, как  к ряду натуральных чисел добавились дробные числа. Со временем, по мере того как в области геометрии появлялись новые результаты, разгорались споры о природе числа π.

I.  Интересные факты о числе π.

        Известны многие интересные факты о числе π.

 Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат записывается как 3.14, что соответствует приближенному значению числа π. Отмечают также день приближённого значения пи — 22 июля (22/7).

Главная церемония проходит в музее. Кульминация приходится на 1 час 59 минут 26 секунд после полудня. Участники праздника маршируют вдоль стен Круглого зала, распевая песни о числе π, а потом играют в игры со словами Пи. В центре зала размещают латунную тарелку, на которой выгравировано число π с первыми 100 знаками после запятой.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа π принадлежит японцу Акира Харагути (Akira Haraguchi). Он запомнил число π до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком.

Рекорд запоминания числа Пи принадлежит украинцу Андрею Слюсарчуку, который запомнил 30 миллионов знаков числа после запятой. Поскольку простое перечисление этого заняло бы целый год, то судьи проверяли Слюсарчука следующим образом - они просили его назвать произвольные последовательности числа π с любого из 30 миллионов знака. Сверялся ответ по 20-томной распечатке.

В штате Индиана (США) в 1897 был выпущен билль, законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2[3]. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью, присутствовавшем во время рассмотрения принятия данного закона.

В 1998 году режиссером Дарреном Арновски был снят психологический триллер, который так и назывался  "Pi ".В фильме рассказывается про таланливого математика, который пытался найти и расшифровать универсальный цифровой код, согласно которому изменяются все биржевые сводки.

- Выход нового диска Кейт Буш "Aerial" заставил сердца математиков забиться сильнее. В песне, которую певица тоже назвала  "Пи", прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,141…

Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему…целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить Пи. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.

Как пишет "Die Welt", существует и Пи-клуб, члены которого, являясь фанатами загадочного математического феномена, собирают все новые сведения о π и пытаются разгадать его тайну. Чтобы вступить в него, для начала надо вызубрить наизусть как можно большее количество чисел π после запятой. Пока рекорд принадлежит японцу Акира Харагути.

В 1996 году Майк Кейт написал короткий рассказ, который называется «Ритмическая каденция» («Cadeic Cadenze»), в его тексте длина слов соответствовала первым 3834 цифрам числа π.

Число π на различных городских улицах.

Музей искусств в Сиэтле. Металлическая скульптура числа π установлена на ступенях здания.

В Лейпциге было обнаружено таинственное яйцо с нанесенными на нем 2345 цифрами числа π.

 Аромат назван в честь загадочного числа π, которое является основой многих вычислений, открытий и инноваций. Этот аромат был создан под руководством Александра МакКуина (Alexander McQueen) - коренного англичанина в Париже, поэтому он не мог не получиться неординарным и уникальным, ведь в нем смешалось два мира: английское спокойствие и французская любовь к праздникам. Флакон аромата - отдельное произведение искусства. Он был создан знаменитым дизайнером Сержем Мансо (Serge Mansau) и представляет собой прозрачную пирамиду с вытесненными геометрическими узорами. 

                        В настоящее время с числом π связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков. Так почему же число π вызывает интерес у всего мира? Мне бы хотелось разобраться в этом.

II.Понятие числа π .

Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра.

Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности и есть число π.

 В цифровом выражении π начинается как 3,141592 и имеет бесконечную математическую продолжительность.

III. История числа π.

Проблеме π  4000 лет. Открывателями числа π можно считать людей доисторического  времени, которые при плетении корзин заметили, что для того, чтобы получить корзину нужного диаметра, необходимо брать прутья в 3 раза длиннее его. Найдены таблички из обожженной   глины в Месопотамии, на которых зафиксирован данный факт.

Как считают специалисты, это число было открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако недостаточно точное исчисление значения π привело к краху всего проекта. Возможно, эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного храма царя Соломона. Исследователи древних пирамид установили, что частное, полученное от деления суммы двух сторон основания на высоту пирамиды, вырабатывается числом 3.1416. В знаменитом папирусе Ахмеса приводится такое указание для построения квадрата, равного по площади кругу: «Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, будет он эквивалентен кругу». Из этого следует, что у Ахмесса π = 3,1605. Так началась письменная история π.

           В Вавилоне в V в. до н.э. пользовались числом 3,1215, а в Древней Греции числом 3, 1462643. В индийских «сутрах» VI – V в. до н.э. имеются правила, из которых вытекает, что π - 3,008. Наиболее древняя формулировка нахождения приблизительного значения отношения длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского математика Аршабхата (V–VI в.):

Прибавь к четыре сотне и умножь на восемь,

Потом еще шестьдесят две тысячи прибавь,

Как поделить результат на двадцать тысяч,

Тогда откроется тебе значение

Длины окружности к двум радиусам отношенья,

т.е.

Архимед (III в.до н.э.) для оценки числа π вычислял периметры вписанных и описанных  многоугольников от шести до 96 – ти. Такой метод вычисления длины окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников применялся многими видами математиками на протяжении почти 2000 лет. Индусы в V – VI пользовались числом 3,1611, а китайцы – числом 3,1415927; это значение записывалось в виде именованного числа: 3 чжана 1 чи 4 цуня 1 фень 5 ме 9 хао 2 мяо 7 хо.

В XV веке иранский математик Аль-Каши нашел значение π с 16-ю верными знаками, рассмотрев вписанный и описанный многоугольники с 80.035.168 сторонами.

Андриан Ван Ромен (Бельгия) в XVI в. С помощью 230-угольников получил 17 верных десятичных знаков.

А голландский вычислитель – Лудольф Ван-Цейлен (1540- 1610), вычисляя π, дошел до многоугольника с 602 029 сторонами и получил 35 верных знаков для π. Ученый обнаружил большое терпение и выдержку, несколько лет затратив на определение числа π. В его честь современники назвали π  «Лудольфовым числом». Согласно завещанию на его надгробном камне было высечено найденное им значение π.

Обозначение π (первая буква в греческом слове – окружность, периферия) впервые встречается у английского математика Уильяма Джонсона (1706 г.), а после опубликования работы Леонарда Эйлера (1736 г. Санкт-Петербург), вычислившего значения π с точностью до 153 десятичных знаков, обозначение π стало общепринятым.

Наконец, в 1882 году немецкий математик Карл Луис Фердинард Линдеман (1852 - 1939) доказал, что π – трансцендентное число. Это означает, что π не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами, то есть не является алгебраическим числом.

А самая загадочная история связана с "великим Харди" (как вы все знаете, так современники называли великого английского математика Годфри Харолда Харди), который вместе со своим приятелем Джоном Литлвудом знаменит работами в теории чисел (особенно в области диофантовых приближений) и теории функций (где друзья прославились исследованием неравенств). Как известно, Харди был официально не женат, хотя не раз заявлял, что "обручён царицей мира нашего". Коллеги-ученые не раз слышали, как он разговаривает с кем-то в своём кабинете, его собеседника никто никогда не видел, хотя его голос, металлический и чуть скрипучий,  долгое время был притчей во языцех в Оксфордском университете, где он работал в последние годы. В ноябре 1947 года эти беседы прекращаются, а 1 декабря 1947 года Харди находят на городской свалке, с пулей в желудке. Версию о самоубийстве подтвердила и записка, где рукой Харди было написано: "Джон, ты увёл у меня царицу, я тебя не виню, но жить без неё я более не могу".

На протяжении всей истории изучения числа π, вплоть до наших дней, велась своеобразная погоня за десятичными знаками этого числа.

•         Леонардо Фибоначчи (около 1220г.) - три первых точных знака числа π.

•         Андриан Антонис - 6 точных десятичных знаков (в XVI в.);

•         Цзу Чун-чжи  – 7 десятичных знаков (V в.н.э.);

•         Франсуа Виет – 9 десятичных знаков;

•         Андриан ван Ромен – 15 десятичных знаков (1593г.);

•         аль-Каши – 17 знаков после запятой (XV в.)

•         Лудольф ван Цейлену – 32 десятичных знаков (1596г.);

•         Авраам Шарп – 72 десятичных знаков

•         Джон Мечин – 100 десятичных знаков (1706 г.)

•         З. Дазе – 200 десятичных знаков (1844г.)

•         Т. Клаузен – 248 десятичных знаков (1847г.)

IV. Различные вычисления числа π.

Библейское вычисление числа π.

Одно из ранних приближений для числа π можно извлечь из канонического текста Библии, датируемого примерно X-V веками до нашей эры. В третьей книге Царств подробно рассказывается о том, как мастер Хирам сооружал по заказу правителя Иудейского Израильского царства Соломона храм.

Это культовое сооружение украшал большой бассейн омовения священнослужителей под названием «медного моря»: «И сделал литое из меди море, - от края его до края его десять локтей, - совсем круглое вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом». (Третья книга Царств. Гл. 7, стих 23).

Если диаметром этого сосуда было 10 локтей, тогда длина окружности должна была быть 31,415926… локтей, а не просто 30 локтей как написано в Библии. Любой школьник может сказать вам, что длину окружности круга можно найти, умножив диаметр на пи. Эта явная математическая ошибка заставила нас, как христиан, сомневаться в точности Библии.

Метод Монте-Карло

Это, фактически, метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, это можно получить и при помощи дождя.

Для опыта надо приготовить кусок картона, нарисовать на нем квадрат и вписать в квадрат круг. Если такой чертеж некоторое время поддержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель.

Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри круга. Очевидно, что их отношение будет приблизительно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. В наши дни с помощью ЭВМ число  вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность никому не нужна. Десяти знаков числа  ( = 3,141592653…) вполне достаточно для всех практических целей.

Мнемоническое правило.

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правило прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Надо только постараться

И запомнить все, как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

V.  Число π в современной математике.

В современной математике  число π   - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии. Входит она и в замечательную формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа “пи” и числа “е”. Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа π.

В цифрах после запятой нет цикличности и системы, то есть в десятичном разложении π присутствует любая последовательность цифр, какую только можно себе представить (включая очень редко встречающуюся в математике последовательность из миллиона нетривиальных нулей, предсказанную немецким математиком Бернгардтом Риманом еще в 1859-м). Это значит, что в Пи, в закодированном виде, содержатся все написанные и ненаписанные книги, и вообще любая информация, которая существует.

 Через число π может быть определена любая другая константа, включая постоянную тонкой структуры (альфа), константу золотой пропорции (f=1,618...), не говоря уж о числе e - именно поэтому число пи встречается не только в геометрии, но и в теории относительности, квантовой механике, ядерной физике и т.д. Более того,  недавно учёные установили, что именно через π можно определить местоположение элементарных частиц в Таблице элементарных частиц (ранее это пытались сделать через Таблицу Вуди), а сообщение о том, что в недавно расшифрованном ДНК человека число Пи отвечает за саму структуру ДНК (достаточно сложную, надо отметить), произвело эффект разорвавшейся бомбы!

Человеческий мозг содержит 100 млрд. нейронов, число знаков Пи после запятой вообще стремится к бесконечности, в общем, по формальным признакам оно может быть разумным. Но ведь если верить работе американского физика Дэвида Бейли и канадских математиков Питера Борвина и Саймона Плофе, последовательность десятичных знаков в π подчиняется теории хаоса, грубо говоря, число π это и есть хаос в его первозданном виде. Может ли хаос быть разумным? Конечно! Точно так же, как и вакуум, при его кажущейся пустоте, как известно, отнюдь не пуст.

Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, чтобы убедиться, что он может быть разумным.

О вычислениях значения числа π на современном этапе.

С появлением ЭВМ значения числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом.

   Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.

Так за полвека вырастала запись точного значения числа π с помощью компьютера:

1. 1949 год — 2037 десятичных знаков
2. 1958 год — 10000 десятичных знаков
3. 1961 год — 100000 десятичных знаков
4. 1973 год — 10000000 десятичных знаков
5. 1986 год — 29360000 десятичных знаков
6. 1987 год — 134217000 десятичных знаков
7. 1989 год — 1011196691 десятичный знак
8. 1991 год — 2260000000 десятичных знаков
9. 1994 год — 4044000000 десятичных знаков
10. 1995 год — 4294967286 десятичных знаков
11. 1997 год — 51539600000 десятичных знаков
12. 1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков.

Суперкомпьютер в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минут 4 секунды, используя 865 Гбайт памяти для основной задачи, и  46 часов и 816 Гбайт для вспомогательной оптимизации вычислений.

В 2009 году французский программист Фабрис Беллар поставил рекорд вычисления числа π с точностью до 2,7 трлн знаков после запятой. Что самое удивительное, он сделал это на своём персональном компьютере под управлением Fedora 10.
Достижение Беллара показало, что не обязательно иметь суперкомпьютер для таких вычислений, и его коллеги решили сделать компьютер помощнее и перекрыть достижение француза.
         2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в                5 триллионов цифр после запятой.

VI.  Практическая работа: «Вычисление приближенного значения отношения длины окружности к диаметру».

Я попытаюсь экспериментальным путем вычислить значение числа π.

1. Возьмём 5 любых предметов: два различных стакана, кружку, ведро и кастрюлю. 

2.  Измерим диаметр каждого предмета и длину окружности с помощью нити и линейки, имеющей цену деления 1 мм и соответственно погрешность 0,5 мм.

3. Вычислим для каждого случая значение числа π, округлив результат до тысячных.

4.  Составим таблицу по найденным нами данным :

 Итак, я установил, что отношение длины окружности к диаметру приближается к 3,14. Точность вычисления числа π таким способом невелика: только в одном случае из 5 найденное значение константы содержит верную цифру в разряде сотых, в остальных случаях достигнута точность только в разряде десятых.

Заключение.

Число π появляется в формулах, используемых во многих сферах. Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет конца знакам числа π, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа π.

В современной математике число пи - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул.

Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа пи.

Я хотел узнать об истории числа π, практическом применении и думаю, что достиг поставленной цели.

В ходе проведения практического исследования я пришел к следующим выводам:  полученное на практике отношение длины окружности к её диаметру приближается к 3,14. Точность вычисления числа π таким способом невелика: только в одном случае из 5 найденное значение константы содержит верную цифру в разряде сотых, в остальных случаях достигнута точность только в разряде десятых.

Точное значение числа π в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и  используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров.

Проведенная работа мне была интересна. Подводя итог работы, я прихожу к выводу, что данная тема  актуальна. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.

История чисел увлекательна и загадочна. Я хотел бы продолжить исследования  других удивительных чисел в математике. Это станет объектом моих следующих  исследовательских  изучений.

Список литературы.

   1. Глейзер Г.И.  История математики в школе  IV- VI классы. – М.:                          Просвещение,  1982.

   2. Депман И.Я., Виленкин Н.Я.  За страницами учебника математики -  М.:  Просвещение, 1989.

  3.  Жуков А.В.Вездесущее число «пи». -  М.: Едиториал УРСС, 2004.

  4. Кымпан Ф.   История числа «пи».  -  М.: Наука, 1971.

  5. Свечников А.А. путешествие в историю математики – М.: Педагогика – Пресс, 1995.

  6. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика – М.: Аванта +, 1998.

  7. Интернет ресурсы:

    - http:// crow.academy.ru/ materials_/pi/history.htm

    -  http://hab/kp.ru// daily/24123/344634/   

   -  http:// /ru.wikipedia.org/wiki/Pi

   -  http://arbuz.narod.ru/z_piclub.htm