Стереографическая проекция и её применение

Муниципальная научно-практическая конференция

«Интеллектуалы XXI века»

Стереографическая проекция и её применение

Автор работы:

ученица 10 «Б» класса

МАОУ «Гимназия №2» Шапарева Елена

Руководитель: Лысенко Надежда Анатольевна, учитель математики высшей квалификационной категории

Город Балаково

2012 год

Оглавление

1.Введение…………………………………………………………………………………………3

2.Основная часть………………………………………………………………………………..4

       2.1. История стереографической проекции…………………………………4

       2.2. Определение и основные свойства стереографической  проекции…………………………………………………………………………………………… 5
      2.3. Инверсия………………………………………………………………………………11

       2.4. Применение стереографической проекции в астрономии и географии………………………………………………………………………………………….14

3. Заключение…………………………………………………………………………………..16

4. Список использованной литературы……………………………………………17

1.Введение.

В математике часто используется проектирование фигур на плоскость. Для получения изображения фигуры при таком проектировании следует выбрать в пространстве точку, называемую центром проекции, соединить эту точку прямыми со всеми точками проектируемой плоскости и найти точки пересечения этих прямых с данной плоскостью; полученное изображение называется проекцией фигуры на данную плоскость.

Однако имеется одна исключительная проекция, при которой окружности всегда проектируются в виде окружностей или прямых линий. Такую проекцию мы получим, если будем рассматривать только такие окружности, которые лежат на некоторой сфере, за центр проекции примем одну из точек той же сферы, а за плоскость проекции примем плоскость, касающуюся сферы в диаметрально противоположной точке или любую параллельную ей плоскость, не проходящую через центр проекции. Эта проекция называется стереографической, и часто используется в различных областях математики, а так же находит применение в астрономии и географии.

В своей работе я хочу привлечь внимание к основным свойствам стереографической проекции, ввести понятия инверсии относительно окружности и инверсии относительно сферы, и немного сказать об истории и о применении этой особенной проекции в областях, отличных от математики.

2.Основная часть.

2.1. История стереографической проекции

Первое, дошедшее до нас свидетельство о стереографической проекции – «Планисферий» александрийского ученого Клавдия Птолемея (II век н.э.). Этот труд был посвящен астролябии – предмету, определяющему координаты звезд на небесной сфере, как раз с помощью этой проекции. В тексте «Планисферия» даны были три основных свойства стереографической проекции, но без доказательств. Первой научной работой, в которой было доказано одно из свойств проекции, была книга «Элементы астролябии» ученого Ахмада Ал-Фергани (IX век н.э.).

Термин «стереографическая проекция» был введен в 1831 году немецким математиком Л.И.Магнусом. Этот термин происходит от греческих слов «стереон» - «пространственное тело» и «графейн» - «чертить».

2.2. Определение стереографической проекции и 3 её основных свойства.

Стереографической проекцией называется проекция сферы из одной из её точек S на плоскость α, касающуюся сферы в диаметрально противоположной точке S’ (рис.1). Причем, свойства этой проекции не изменяются при замене плоскости α на любую параллельную ей плоскость β, не проходящую через центр проекции.

Рис.1

Приведем доказательства  некоторых свойств стереографической проекции:

1. Окружности, лежащие на сфере, проектируются на плоскость α в виде окружностей или, если окружности на сфере проходят через центр проекции, – в виде прямых.

Но, чтобы доказать это свойство, сначала необходимо доказать лемму:

Пусть при стереографической проекции окружности напрямую точки M и N окружности проектируются в точки M’ и N’ прямой. Тогда  SMN=SN’M’ , а SNM=SM’N’.

Доказательство:

Т.к.  прямоугольные тр-ки SMS’ и SS’M’ с общим углом MSS’ подобны, то:

 =  , т.е. SM * SM’ = (SS’)2

Аналогично, из подобных тр-ков SNS’  и SS’M’ получим, что SN  SN’ = (SS’)2. Приравняв оба равенства, получим:              SM  SM’ = SN  SN’       (1)

По свойству пропорции:            (2)

 Из пропорции (2) вытекает, что тр-ки SMN и SN’M’  подобны, причем углы SMN и SNM  тр-ка SMN соответственно равны углам SN’M’ и SM’N тр-ка SN’M’.

Теперь докажем первое свойство стереографической проекции.

Доказательство:

 если окружность на сфере проходит через точку S, то она лежит в плоскости, проходящей через эту точку, и её проекцией из S на плоскость α является линия пересечения обеих плоскостей (прямая). Если окружность не проходит через точку S, то можно считать, что плоскость, проходящая через прямую SS’ и центр этой окружности, - плоскость (рис.2), а диаметр этой окружности – отрезок MN. Тогда линии, проектирующие точки этой окружности, являются прямолинейными образующими наклонного кругового конуса с вершиной в точке S.

Для получения круговых сечений наклонного конуса вспомним, что если из произвольной точки C окружности опустить перпендикуляр CD на диаметр AB этой окружности (рис.3), то мы имеем равенство:

AD  DB = CD2 (3)

Рассмотрим наклонный конус с вершиной A и диаметром основания BC, причем будем считать, что BC проходит через основание перпендикуляра, опущенного из вершины конуса на его основание (рис.4). пересечем конус плоскостью, перпендикулярной плоскости (ABC) и пересекающей её по прямой HK, причем H и K лежат на поверхности конуса и угол AHK = углу ACB, угол AKH = углу ABC. Эта плоскость пересечет поверхность конуса по кривой HJK. Докажем, что HJK – окружность: рассмотрим произвольную точку J этой кривой и произвольную точку L окружности основания конуса, и опустим из них перпендикуляры JG и LM на плоскость (ABC). Т.к. JG  и LM – перпендикуляры к одной плоскости, то они параллельны между собой. Проведем через G прямую DGE, параллельную BC, и плоскость, проходящую через прямые DE и JG. Т.к. DE параллельна BC, а JG параллельна LM, то проведенная плоскость параллельна плоскости основания конуса, следовательно, это круговое сечение, а значит, имеет место равенство: DG  GE = JG2                              (4)

Т.к. AHK = ACB, но ACB = AED(DE параллельна BC), и  аналогично, AKH = ABC, где ABC = ADE. Тогда HDG = EKG, а DHG = KEG. Из этого всего следует, что треугольники EGK и HGD подобны. Тогда:    ;    DG  GE = HG  GK;  и в силу равенства (4) : HG  GK = JG2                              (5)  

Итак, мы видим, что равенство (5) имеет вид равенства (4)  и это равенство имеет место для любой точки кривой HJK, следовательно, кривая HJK – окружность.

Т.к. треугольники SM’N’ и SNM на рис.2 расположены так же как треугольники ABC и AHK на рис.4, то из равенства углов треугольников SM’N’ и SNM вытекает то, что сечение наклонного кругового конуса плоскостью, касающейся сферы в точке S’ является окружность с диаметром MN. Свойство доказано.

2. При стереографической проекции углы между кривыми, лежащими на сфере, изображаются равными им углами между кривыми, спроектированными на плоскость α.

Доказательство:

Проведем из точки M сферы две кривые. Пусть касательные к этим кривым в точке M пересекают плоскость β, касающуюся сферы в точке S и в точках K и L (рис.9).

Соединим точки K и L с точкой S. Тогда KM = KS (как две касательные к сфере, проведенные из одной точки),  и LM = LS (аналогично). Тогда треугольники KLM и KLS равны, следовательно, KML = KLS. Проведенные кривые спроектируются на плоскость α в виде двух кривых, выходящих из точки M’, а угол между этими кривыми равен углу между касательными. Касательные M’K’ и M’L’ являются проекциями касательных MK и ML на плоскость α, и значит, являются пересечениями плоскостей (SKM) и (SLM) c плоскостью α. Но эти плоскости пересекают параллельную плоскости α плоскость β по прямым SK и SL, поэтому прямые M’K’ и M’L’  соответственно параллельны прямым SK и SL, и K’M’L’ = KSL, а т.к. KSL = KML, то  K’M’L’ = KML. Свойство доказано.

3. При повороте сферы вокруг диаметра, проходящего через полюс, на плоскости α происходит поворот вокруг точки её касания со сферой на тот же угол.

Пояснение:

Данное свойство выходит из того, что переход от всякой точки M  к её проекции M’ на плоскости α происходит в некоторой плоскости β, проходящей через диаметр SS’, и при повороте сферы на угол ϕ на тот же угол поворачивается линия пересечения этой плоскости с плоскостью проекции. Свойство доказано.

1. Стереографическая проекция и инверсия.

Инверсия относительно окружности.

Инверсией относительно окружности называется такое преобразование плоскости, при котором всякая точка M плоскости, отличная от Mо, переходит в такую точку M’ на прямой MoM по ту же сторону от Mo, что и M, и:    

MoM * MoM’ = R2                                                         (6)

Свойства инверсии относительно окружности:

1. Окружности и прямые переходят при инверсии в окружности или прямые.

Пояснение:

В силу 1-го свойства стереографической проекции окружности на сфере переходят в окружности и при отражении плоскости от точки окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

2. При инверсии углы между кривыми переходят в равные им углы между преобразованными кривыми.

Пояснение:

В силу 2-го свойства стереографической проекции при отражении сферы от ей центра и при отражении плоскости от точки углы между кривыми на сфере или на плоскости изображаются равными им углами между кривыми на сфере или на плоскости.

Инверсия относительно сферы.

Инверсией относительно сферы называют такое преобразование пространства, при котором всякая точка M пространства, отличная от Mo переходит в такую точку M’ на прямой MoM по ту же сторону от Mo, что и M и выполняется равенство (6.)

Инверсия вокруг сферы имеет свойства, аналогичные свойствам инверсии вокруг окружности.

Особая связь между стереографической проекцией и инверсией относительно сферы:

Если произвести инверсию относительно сферы с центром S и радиусом SS’, то сфера с диаметром SS’ перейдет в плоскость α, касающуюся обеих сфер в точке S’, и получающееся при этом отображение сферы на плоскость α совпадет со стереографической проекцией сферы на плоскость α.

Пояснение:

В самом деле, при доказательстве основных свойств стереографической проекции было выяснено, что для всякой точки  M сферы, проектируемой на плоскость α (рис.12), и соответствующей её точки M’ плоскости α имеет место соотношение: SM  SM’ = (SS’)2.  Это равенство показывает, что точка M’ плоскости получается из точки M инверсией относительно сферы с центром S и радиусом SS’.

2.4.Применение стереографической проекции в астрономии и географии.

Стереографическая проекция применяется для проектирования поверхности земного шара на плоскость, т.е. для составления карт. На картах, составленных с помощью этой проекции в силу её свойства 2 (об углах), углы между линиями изображаются в натуральную величину. Такие карты особенно важны для моряков, так как в этом случае угол поворота руля корабля в точности равен углу, измеренному по такой карте. Применению стереографической проекции для составления карт посвящены работы «О представлении сферической поверхности на плоскости», «О географической проекции сферической поверхности», «О географической проекции Делиля, применяемой в генеральной карте Российской империи» Леонарда Эйлера. В них ученый ставит вопрос о наиболее общем преобразовании сферы на плоскость, сохраняющем углы между линиями. Для этого Эйлер производит стереографическую проекцию сферы на плоскость, затем, рассматривая плоскость как плоскость комплексного переменного, производит на этой плоскости преобразование с помощью функции , обладающей производной  или с помощью сопряженной  с ней функцией  : в случае таких функций между дифференциалами  и  имеет место соотношение , откуда для обоих указанных преобразований вытекает выполнения свойства 2 стереографической проекции.

Так же стереографическая проекция применяется и в астрономии: на применении этой проекции основано устройство астролябии. Астролябия представляет собой диск, располагаемый горизонтально на штативе. Вдоль обода диска нанесены градусные деления. В центре штатива вращается «алидада» - линейка с двумя диоптрами, с помощью которой может быть визировано направлении на ту или иную точку. Визируя направления на различные точки, с помощью такой астролябии можно измерить углы между направлениями на поверхности Земли.
С помощью астролябии можно фиксировать координаты космических тел, в частности звезд, на небесной сфере - алидада направляется на звезду и её острие указывает на градусной шкале обода диска высоту объекта в градусах. Нужно также упомянуть о неподвижной части астролябии: закрепленный диск – «тимпан» и вращающийся вокруг его центра резной диск – «паук». На тимпане изображены в стереографической проекции окружности небесной сферы, не изменяющиеся при её видимом суточном движении: небесный экватор – большая окружность, переходящая при этом движении в себя, тропики Рака и Козерога – две параллели небесного экватора, касающиеся эпилептики – большой окружности, по которой совершается годичное движение Солнца, горизонт и его параллели -  альмукантараты, точка зенита и вертикалы – большие круги, проходящие через зенит перпендикулярно горизонту.  

3. Заключение.

Предмет стереографической проекции, безусловно, очень интересен и имеет много преимуществ по сравнению с другими видами проекций. Возможно, в недалеком будущем этой проекции найдутся новые применения. Поле деятельности для дальнейшего изучения вопроса широко: задача об исследовании стереометрической интерпретации инверсии, а также о её непосредственном использовании на практике.

4. Список использованной литературы

1. Б. А. Розенфельд, Н. Д. Сергеева серия «Популярные лекции по математике» «Стереографическая проекция»
2. Н. А. Жарковская, И. А. Рисс серия «Математический клуб «Кенгуру»», выпуск №11 «Вокруг гиперболы»