Несколько решений одной задачи
В презентации рассмотрено 5 способов решения иррационального уравнения с параметром, а также 4 способа решения системы двух уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение первой степени, другое второй степени
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 prezentaciya_voronov_pyotr.pptx | 191.19 КБ |
| prezentaciya_voronov_pyotr.pptx | 191.19 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задача №1: Найти все значения параметра а, при которых не имеет корней уравнение. (1) Решение : Данное уравнение равносильно системе: (2) Уравнение (1) не имеет корней тогда и только тогда, когда не имеет решений полученная система. Это возможно в двух случаях: а) квадратное уравнение (2) не имеет корней; б) корни уравнения (2) не удовлетворяют условию Найдём все значения параметра, при котором выполняется хотя бы один случай: а) уравнение не имеет корней, если D <0, т.е. и, значит, б) корни уравнения
1 способ . Корни уравнения меньше 1, если больший корень уравнения меньше 1 (достаточное условие): Ответ:
2 способ. Рассмотрим квадратичную функцию Её корни меньше 1 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: Отсюда: Ответ:
3 способ. Пусть t = x -1. Тогда x <1 , значит, t+1<1, t<0. В таком случае уравнение примет вид: Корни этого уравнения отрицательны, если их сумма отрицательна, а произведение – положительно. По теореме Виета заключаем: Ответ:
Другие способы . 4 способ. Решим противоположную задачу: найдём множество всех значений параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение (множество Х). А это возможно только, если больший корень уравнения больше или равен 1, следовательно получаем: Значит искомые решения параметра не принадлежат только полуинтервалу Ответ: 1 .
5 способ. Возведём в квадрат обе части уравнения , получаем: Последняя система позволяет графически найти все значения а, при котором она не имеет решения. Мы ищем все такие значения параметра а, при которых прямые пучка y =- a ( x +2) не имеет общих точек с параболой на промежутке [1; +). При общих точек нет. Значение найдём из того условия, что прямая y = - a ( x +2) проходит через точку М(1;12):
Задача №2: Решить систему уравнений Решение: 1 способ . Следовательно: Получаем систему уравнений в которой очевидны корни . Ответ: x=1, y=1, z=1.
2 способ . Выразив из первого уравнения z через x и y и подставив найденное выражение во второе уравнение, после несложных преобразований получаем уравнение: Очевидно, что дискриминант не положителен при всех значениях у. Следовательно, уравнение может иметь решения только при D =0 , т.е. у=1. Тогда Ответ: x=1, y=1, z=1.
3 способ. 3 способ: Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи. Уравнение описывает плоскость, пересекающую координатные оси в точках А(3; 0; 0), В(0; 3; 0) и С(0; 0; 3), а уравнение (2)- сферу с центром в начале координат О и радиусом, равным . Для выяснения того, что представляет собой пересечение сферы с плоскостью, нужно сравнить радиус сферы с расстоянием от её центра до плоскости. Расстояние от точки О до плоскости АВС можно найти, вычислив высоту OD тетраэдра ОАВС. Отсюда находим что OD = , радиус сферы в точности равен расстоянию от её центра до плоскости. Это означает, что плоскость касается сферы и исходная система имеет единственное решение, которое легко угадывается. Ответ: x=1, y=1, z=1.
4 Способ. Решение x =у= z =1 легко угадывается. Докажем, что система не имеет других решений. Сделаем замену переменных: а=х+1, b = y +1, c = z +1. Тогда в новых переменных уравнение x+y+z=3 примет вид a+b+c=0 . Преобразуем второе уравнение системы: Осталось решить полученную систему уравнений, ответ в которой очевиден: Ответ: x=1, y=1, z=1.
Список используемой литературы: Научно-методический журнал «Математика в школе» Научно-популярный журнал «Квант» Першин А.И. Воронина О.А. «Задачи с параметрами» С. Н. Олехник , М. К. Потапов Б. И. Пасиченко «Алгебра и начало анализа» «Уравнение и не равенства: учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов» В. П. Моденов «Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие»
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задача №1: Найти все значения параметра а, при которых не имеет корней уравнение. (1) Решение : Данное уравнение равносильно системе: (2) Уравнение (1) не имеет корней тогда и только тогда, когда не имеет решений полученная система. Это возможно в двух случаях: а) квадратное уравнение (2) не имеет корней; б) корни уравнения (2) не удовлетворяют условию Найдём все значения параметра, при котором выполняется хотя бы один случай: а) уравнение не имеет корней, если D <0, т.е. и, значит, б) корни уравнения
1 способ . Корни уравнения меньше 1, если больший корень уравнения меньше 1 (достаточное условие): Ответ:
2 способ. Рассмотрим квадратичную функцию Её корни меньше 1 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия: Отсюда: Ответ:
3 способ. Пусть t = x -1. Тогда x <1 , значит, t+1<1, t<0. В таком случае уравнение примет вид: Корни этого уравнения отрицательны, если их сумма отрицательна, а произведение – положительно. По теореме Виета заключаем: Ответ:
Другие способы . 4 способ. Решим противоположную задачу: найдём множество всех значений параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение (множество Х). А это возможно только, если больший корень уравнения больше или равен 1, следовательно получаем: Значит искомые решения параметра не принадлежат только полуинтервалу Ответ: 1 .
5 способ. Возведём в квадрат обе части уравнения , получаем: Последняя система позволяет графически найти все значения а, при котором она не имеет решения. Мы ищем все такие значения параметра а, при которых прямые пучка y =- a ( x +2) не имеет общих точек с параболой на промежутке [1; +). При общих точек нет. Значение найдём из того условия, что прямая y = - a ( x +2) проходит через точку М(1;12):
Задача №2: Решить систему уравнений Решение: 1 способ . Следовательно: Получаем систему уравнений в которой очевидны корни . Ответ: x=1, y=1, z=1.
2 способ . Выразив из первого уравнения z через x и y и подставив найденное выражение во второе уравнение, после несложных преобразований получаем уравнение: Очевидно, что дискриминант не положителен при всех значениях у. Следовательно, уравнение может иметь решения только при D =0 , т.е. у=1. Тогда Ответ: x=1, y=1, z=1.
3 способ. 3 способ: Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи. Уравнение описывает плоскость, пересекающую координатные оси в точках А(3; 0; 0), В(0; 3; 0) и С(0; 0; 3), а уравнение (2)- сферу с центром в начале координат О и радиусом, равным . Для выяснения того, что представляет собой пересечение сферы с плоскостью, нужно сравнить радиус сферы с расстоянием от её центра до плоскости. Расстояние от точки О до плоскости АВС можно найти, вычислив высоту OD тетраэдра ОАВС. Отсюда находим что OD = , радиус сферы в точности равен расстоянию от её центра до плоскости. Это означает, что плоскость касается сферы и исходная система имеет единственное решение, которое легко угадывается. Ответ: x=1, y=1, z=1.
4 Способ. Решение x =у= z =1 легко угадывается. Докажем, что система не имеет других решений. Сделаем замену переменных: а=х+1, b = y +1, c = z +1. Тогда в новых переменных уравнение x+y+z=3 примет вид a+b+c=0 . Преобразуем второе уравнение системы: Осталось решить полученную систему уравнений, ответ в которой очевиден: Ответ: x=1, y=1, z=1.
Список используемой литературы: Научно-методический журнал «Математика в школе» Научно-популярный журнал «Квант» Першин А.И. Воронина О.А. «Задачи с параметрами» С. Н. Олехник , М. К. Потапов Б. И. Пасиченко «Алгебра и начало анализа» «Уравнение и не равенства: учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов» В. П. Моденов «Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное пособие»
Л. Нечаев. Яма
Рисуем ветку берёзы сухой пастелью
Хризантема и Луковица
Как нарисовать осеннее дерево акварелью
Туманность "Пузырь" в созвездии Кассиопея