Электронная презентация «История развития числа от натуральных до комплексных»

Слайд 1

Слайд 2

Натуральные числа

Слайд 3

Натуральные числа Натуральные числа ( естественные числа ) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N . Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Слайд 4

Операции над натуральными числами К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции: Сложение . Слагаемое + Слагаемое = Сумма Умножение . Множитель * Множитель = Произведение Возведение в степень , a b где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом. Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет). Вычитание . Уменьшаемое Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом). Деление . Делимое / Делитель = (Частное, Остаток).

Слайд 5

Основные свойства Коммутативность сложения. A+B=B+A Коммутативность умножения. AB=BA Ассоциативность сложения. (A+B)+C=A+(B+C) Ассоциативность умножения. (AB)C=A(BC) Дистрибутивность умножения относительно сложения.

Слайд 6

Комплексные числа

Слайд 7

Понятие комплексного числа Х+А=В - недостаточно положительных чисел А · Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на множестве рац.чисел Х ² =2 или Х ³ =5 - корни - иррациональные числа Х+5=2

Слайд 8

Решение квадратных уравнений А · Х ² + В · Х+ С =0 При D<0 действительных корней нет Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа + ?

Слайд 9

Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа + ? Комплексные числа

Слайд 10

Вид комплексного числа Х ² =-1 Х = i -корень уравнения i - комплексное число, такое , что i ²=-1 А + В · i ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

Слайд 11

А + В · i А и В – действительные числа i - некоторый символ , такой, что i ²= -1 А – действительная часть В – мнимая часть i – мнимая единица

Слайд 12

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Слайд 13

Модуль комплексного числа Z= А - В · i СОПРЯЖЕННОЕ Z= А + В · i (Z) = Z Комплексно сопряженные числа . Z = A + B i =

Слайд 14

Тригонометрическая форма комплексного числа Z =r φ - аргумент аргумент комплексного числа Z=r cos φ + i Z sin φ = = r (cos φ + i sin φ ) Для Z =0 аргумент не определяется

Слайд 15

Т.к Z =r = Z= А + В · i= cos φ +i sin φ

Слайд 16

Сложение и умножение комплексных чисел Алгебраическая форма Геометрическая форма Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I Произведение Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [cos( φ 1 + φ 2 )+isin ( φ 1 + φ 2 )] Произведение (A+iB) · (C+iD)= ( AC-BD)+(AD+BC)i

Слайд 17

Если Z 1 = Z 2 , то получим Z²=[r (cos φ + i sin φ )]²= r² (cos2 φ + i sin 2 φ ) Z³= Z²·Z=[r (cos φ + i sin φ )]²·r (cos φ + i sin φ )= r³ (cos3 φ + i sin 3 φ ) Формула Муавра Для любого Z= r (cos φ + i sin φ )≠0 и любого натурального числа n

Слайд 18

Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если (*) Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения является корнем степени n из числа ω . Z= r (cos φ + i sin φ ) ω = ρ (cos ψ + i sin ψ ) Вторая формула Муавра

Слайд 19

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n- корней. Теорема Гаусса : каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Слайд 20

Свойства сложения и умножения Переместительное свойство: Сочетательное свойство: Распределительные свойство: Z 1 + Z 2 = Z 1 + Z 2 Z 1 · Z 2 = Z 1 · Z 2 Z 1 · (Z 2 + Z 3 )= Z 1 · Z 2 + Z 1 · Z 3 (Z 1 + Z 2 )+Z 3 = Z 1 +( Z 2 +Z 3 ) (Z 1 · Z 2 ) · Z 3 = Z 1 ·( Z 2 · Z 3 )

Слайд 21

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Слайд 22

Вычитание и деление комплексных чисел Z + Z 2 = Z 1 Вычитание – операция, обратная сложению: Z + Z 2 +(- Z 2 ) = Z 1 +(- Z 2 ) Z = Z 1 - Z 2 –разность Деление – операция, обратная умножению: Z · Z 2 = Z 1 Разделив обе части на Z 2 получим:

Слайд 23

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Слайд 24

Конец