«Изучение применения математического метода в генетике для анализа наследования признаков»

Секция: Прикладная математика.

«Изучение применения математического метода в генетике для анализа наследования признаков»

Автор:

     Горбенко Александр Васильевич 9 – а,

научное общество учащихся «Интеллектуал»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

 «Средняя общеобразовательная школа № 13»

Руководитель:

  Короткова Татьяна Александровна

учитель  математики

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

 «Средняя общеобразовательная школа № 13»

Нижневартовск, 2012

«Изучение применения математического метода в генетике для анализа наследования признаков»

 Горбенко Александр Васильевич

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 13»

9 а класс, научное общество учащихся «Интеллектуал»

Аннотация

 Цель исследования:  изучение применения математического метода  в генетике для применения на практике при анализе наследования нескольких признаков у человека.

Методы исследования: анализ, математическое моделирование, математическая статистика, вероятностный метод, метод аналогии, гибридологический метод.

Для проведения исследования составили таблицу по скрещиванию с множественными признаками человека и провели их анализ.  

Была составлена генетическая схема -  решетка Пеннета с четырьмя видами гамет.   По результатам исследования был проделан статистический анализ этих вариантов и выделены математические аналоговые модели в виде отношений и многочленов, отражающие распределение признаков с учетом их доминирования. Далее была рассмотрена вероятностная картина распределения признаков, опираясь на третий закон Менделя. Затем выводили математические закономерности при анализе наследования нескольких признаков у человека.  

     Далее проделан статистический анализ этих вариантов и выделены математические аналоговые модели в виде отношений, выведены соотношения между числом пар генов, участвующих в скрещивании, и числом фенотипических и генотипических классов в виде формул. Также выведена формула для определения количества зигот с проявлением доминантных признаков.

Полученный результат и выводы.

 В результате исследования были составлены и проанализированы таблицы по скрещиванию с множественными признаками человека.

На основе анализа информации, помещенной в таблицах, выведены математические закономерности наследования нескольких признаков у человека, в результате чего составлены математические формулы для применения их на практике.

«Изучение применения математического метода в генетике для анализа наследования признаков»

Горбенко Александр Васильевич

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 13»

9 а  класс, научное общество учащихся «Интеллектуал»

План исследования

 Одним самих любимых мною поэтов, является А.С. Пушкин. Вглядываясь в его портрет, ловишь себя на мысли, что у него совсем не славянская внешность. При изучении его биографии  выяснилось, что предком любимого поэта был выходец из Африки. Курчавые волосы и смуглость кожи были тому подтверждением.

После этого, в одной из телепередач узнал, что у людей с белой кожей может родиться ребенок с черным или смуглым цветом кожи. Оказывается, что это возможно в том случае, когда среди предков этих людей были люди с другим цветом кожи.

Отслеживание проявления одного или многих признаков в ряду поколений, процесс весьма затруднительный. На помощь приходят математические методы. Наука, занимающаяся изучением наследования признаков – генетика.

Математические методы в генетике применяются для оценки количественных характеристик  наследования тех или иных признаков в ряду поколений. Это позволяет ученым значительно ускорить и облегчить процесс анализа проявления признаков.   При анализе наследования признаков, всегда существует погрешность и вероятность совершения ошибки. На помощь также приходят математические методы, так как математика - это точная наука, которая является основой подтверждения многих выдвигаемых суждений и гипотез. Поэтому изучение применения математического метода для анализа наследования признаков является весьма актуальным.

Гипотеза.   Вероятно, что можно установить общие закономерности в наследовании множественных признаков человека и к ним разработать формулы  для применения на практике при анализе наследования признаков.  

  С целью изучения применения математического метода  для анализа наследования признаков нами проведено исследование. Исследование проводилось поэтапно, на протяжении сентября 2011 года по январь 2012 года.

  Первый этап исследования - составление таблицы по скрещиванию с множественными признаками человека и анализ их. Для этого мы, пошли путем Г.Менделя, применив его закон для человека. В отличие от опытов  Менделя, за основу исследования были взяты два типа людей с карими глазами и тёмными волосами и голубыми глазами и светлыми волосами.

Были приняты следующие обозначения:

Для определенности доминантные признаки принадлежат отцу, рецессивные матери.

Была составлена генетическая схема -  решетка Пеннета с четырьмя видами гамет. Таблица представляет собой упорядоченный набор возможных вариантов наследования признаков. Далее проделан статистический анализ этих вариантов и выделены математические аналоговые модели в виде отношений и многочленов, отражающие распределение признаков с учетом их доминирования.

Далее была рассмотрена вероятностная картина распределения признаков, опираясь на третий закон Менделя. Третье правило Менделя, или правило независимого комбинирования: гены, определяющие различные признаки, наследуются независимо друг от друга. Независимость наследования различных признаков позволяют пользоваться правилом умножения вероятностей. Нами показано вероятностное распределение наследования признаков у двух типов людей.

Второй этап исследования - выведение математических закономерностей при анализе наследования нескольких признаков у человека. Для этого, взяты 3 доминантных и 3 рецессивных признака. Обозначим кудрявые волосы, тёмные волосы и тёмные глаза большими буквами А, Б, В, соответственно, а прямые волосы, светлые волосы и голубые глаза маленькими буквами а, б, в. Введены следующие цветовые обозначения:

    - Гаметы с полностью доминантным набором генов.

    -     - Гаметы с проявлением одного рецессивного гена светлых волос.

    -Гаметы с проявлением двух рецессивных генов прямых волос и                                            голубых глаз.

           -Гаметы с проявлением одного рецессивного гена голубых глаз.

    - Гаметы с проявлением двух рецессивных генов прямых и светлых волос.

     - Гаметы с проявлением одного рецессивного гена прямых волос.

    - Гаметы с проявлением двух рецессивных генов светлых волос и голубых глаз.

   - Гаметы с полностью рецессивным набором генов.

После этого была составлена генетическая таблица-схема с восьмью видами гамет. Таблица представляет собой упорядоченный набор возможных вариантов наследования признаков. Далее проделан статистический анализ этих вариантов и выделены математические аналоговые модели в виде отношений, выведены соотношения между числом пар генов, участвующих в скрещивании, и числом фенотипических и генотипических классов в виде формул. Также выведена формула для определения количества зигот с проявлением доминантных признаков.

 Третий этап исследования - составление математических формул  для применения их на практике при анализе наследования нескольких признаков у человека. Для этого, основываясь на результаты исследований на 1 и 2 этапах, составляются расчетные формулы по четырем признакам человека.

Содержание

Введение                                                                                         2

 1. Теоретическая часть

1.1. Что такое математический  метод                                                        3

1.2. Математические методы, применяемые в генетике                                3

2. Практическая часть.                                                                        6

Выводы                                                                                        9

Список использованной литературы                                                        10

Приложение 1. Закона расщепления Менделя во втором поколении                        I

«Изучение применения математического метода в генетике для анализа наследования признаков»

Горбенко Александр Васильевич

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 13»

9 а  класс, научное общество учащихся «Интеллектуал»

Введение

Актуальность. Одним самих любимых мною поэтов, является А.С. Пушкин. Вглядываясь в его портрет, ловишь себя на мысли, что у него совсем не славянская внешность. При изучении его биографии  выяснилось, что предком любимого поэта был выходец из Африки. Курчавые волосы и смуглость кожи были тому подтверждением.

После этого, в одной из телепередач узнал, что у людей с белой кожей может родиться ребенок с черным или смуглым цветом кожи. Оказывается, что это возможно в том случае, когда среди предков этих людей были люди с другим цветом кожи.

Отслеживание проявления одного или многих признаков в ряду поколений, процесс весьма затруднительный. На помощь приходят математические методы. Наука, занимающаяся изучением наследования признаков – генетика.

Математические методы в генетике применяются для оценки количественных характеристик  наследования тех или иных признаков в ряду поколений. Это позволяет ученым значительно ускорить и облегчить процесс анализа проявления признаков.   При анализе наследования признаков, всегда существует погрешность и вероятность совершения ошибки. На помощь также приходят математические методы, так как математика - это точная наука, которая является основой подтверждения многих выдвигаемых суждений и гипотез. Поэтому изучение применения математического метода для анализа наследования признаков является весьма актуальным.

В области генетики математики мира работали в середине 20 века. Р. Беллман математически описал передачу генетической информации. Н. Винер, основоположник кибернетики — науки об информационном управлении в области теории вероятностей, математической статистики, математической логики предложил свои исследования в области генетики. И. М. Гельфанд – применил вычислительные алгоритмы и методы оптимизации в биофизике, генетике и медицине. А. Н. Колмогоров - занимался обработкой опытных данных по расщеплению гибридов. А. А. Ляпунов применил в биологии первые методы математического моделирования.

Цель исследования:  изучение применения математического метода  в генетике для применения на практике при анализе наследования нескольких признаков у человека.

Задачи:

- рассмотреть математические методы, применяемые в генетике;

- составить таблицы по скрещиванию с множественными признаками человека и проанализировать их;

- вывести математические закономерности при анализе наследования нескольких признаков у человека;

- составить математические формулы для применения их на практике при анализе наследования нескольких признаков у человека.

Объект исследования: математический метод.

Предмет исследования: применение математического метода в генетике  для анализа наследования признаков у человека.

Методы исследования: анализ, математическое моделирование, математическая статистика, вероятностный метод, метод аналогии, гибридологический метод.

Новизна. В ходе исследования нами выведены математические формулы для применения их на практике при анализе наследования трех и более признаков у человека.

Гипотеза. Вероятно, что можно установить общие закономерности в наследовании множественных признаков человека и к ним разработать формулы  для применения на практике при анализе наследования признаков.  

Практическая значимость работы: разработанные формулы  для анализа наследования множественных признаков человека, можно применять для решения задач по генетике, ускорив при этом вычислительные процессы. Кроме того, полученными формулами могут   воспользоваться все желающие, кто хочет проанализировать наследование признаков человека в ряду поколений.  

1. Теоретическая часть.

1.1. Что такое математический  метод

Математика широко проникает во все сферы науки, и  выясняется, что уравнения и выражения, созданные для целей одной науки, зачастую применимы, после определённой подработки, в другой.

 Язык математики минимально избыточен и содержит в себе правила преобразования. Все это позволяет сравнительно легко оперировать элементами языка: объединять фрагменты в блоки, применять алгоритмы к блокам, а затем развертывать результат через систему подстановок и т.д.

Применение  математического  языка, в свою очередь требует определённого уровня формализации. Введение единиц измерения – уже частичная формализация. Hо единицы измерения формализуют лишь количественную сторону явлений и процессов, не позволяя создать новые методы для решения новых задач.

  Таким образом, можно сделать вывод, что система естественнонаучных методов имеет важную особенность. Она состоит в стремлении использовать феноменологию только на микроуровне, охватить по возможности более широкий класс явлений, а затем методами асимптотического анализа получить более простые модели макроуровня, как частные случаи.

При переходе к более сложным уровням организации возникают новые понятия,  математические  модели приобретают иной характер, усложняется аппарат исследования. В отличие от неживой природы, процессы живой природы не могут быть описаны без применения термина "обратная связь".

При этом в зависимости от выбранного уровня детализации возникают свои особенности применения  математических   методов, которые и определяют степень применимости того или иного метода, его эффективность

1.2. Математические методы, применяемые в генетике

Математические методы применяют для описания биологических процессов. Эти методы предназначены для выявления закономерностей, свойственных биологическим объектам. После анализа всей картины исследования, если возможно, выводится формальная запись процесса – формула. Если таких закономерностей не обнаружено, на основе определенной гипотезы о типе распределения изучаемых данных в серии наблюдений и использования соответствующего математического аппарата с той или иной достоверностью устанавливаются свойства биологических объектов, делаются практические выводы, даются рекомендации. Описания свойств объектов, получаемые с помощью методов математической статистики, называют иногда моделями данных. Модели данных не содержат какой-либо информации или гипотез о внутренней структуре реального объекта и опираются только на результаты инструментальных измерений.

    Это направление связано с моделями систем и основывается на математическом описании объектов и явлений, содержательно использующих сведения о структуре изучаемых систем, механизмах взаимодействия их отдельных элементов. Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако, моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Разработка и практическое использование математических моделей систем (математическое моделирование) составляют перспективное направление применения в генетике.

В основе всех статистических методов  лежит статистическая совокупность. Объекты, с которыми имеют дело в генетике, обладают большой вариабельностью. Признаки рассматриваемых объектов находятся в разных комбинациях.

    Из-за вариабельности признаков у рассматриваемых объектов приходится считать их значения случайными величинами и пользоваться вероятностными (стохастическими) постановками задач: матрица наблюдений является выборкой, или выборочной совокупностью случайных величин из некоторой генеральной совокупности. Сама генеральная совокупность обычно трактуется как множество всех объектов определенного типа или как совокупность всех возможных реализаций какого-либо явления. Здесь применим вероятностный метод.

2. Практическая часть.

В результате составления таблицы по скрещиванию с двумя признаками человека и их анализом получено следующее.

Таблица 1

Закона расщепления Менделя во втором поколении

Наблюдаем результат дигибридного скрещивания- скрещивание по двум признакам.

Так при дигибридном скрещивании образуется 4 вида гамет: АБ, Аб, аБ и аб, то количество зигот , которые могут возникнуть  при случайном слиянии этих гамет, равно 4*4, т.е. 16. При скрещевании получается 9 генотипов ( т.к. некоторые повторяются) : ААББ, ААБб, АаББ, АаБб, ААбб, АаББ, ааББ, ааБб и аабб. Эти 9 генотипов проявляются в виде 4 фенотипов: тёмные-карие, светлые-голубые, тёмные-голубые и светлые-карие. Соотношение генотипов при дигибридном скрещивании иное, чем соотношение фенотипов: 1ААВВ:2AаВВ:2ААВb: 4АаВb:1ААbb: 2 Aabb: 1 ааВВ:2ааВb: 1 aabb.

Для фенотипов мы получили следующие математические модели.

1.Аналоговая модель, отражающая распределение признаков с учетом их доминирования отношением выглядит следующим образом: 9тк:3тг:3ск:1сг.

2.Также мы можем составить аналоговую  математическую модель этого результата в виде многочлена.

По Менделю "ряды развития" можно рассматривать как биномы (А+а)n , (B+b)n , (C+c)n и т.д., где n- порядковый номер поколения.  

Эту математическую закономерность мы рассмотрели на двух различных признаках.

Дигибридное расщепление представляет собой по существу два независимо идущих моногибридных, которые как бы накладываются друг на друга. На математическом языке это квадрат двучлена (3+1)2=32+2*3+12, или (9+3+3+1).

3.Здесь же мы можем рассмотреть вероятностную картину проявления признаков. Опираемся на третье правило Менделя, или правило независимого комбинирования: гены, определяющие различные признаки, наследуются независимо друг от друга. Видно, что это правило относится не к наследованию альтернативных состояний одного признака, а к двум и большему числу признаков.

Рассмотрим расщепление в потомстве от брака родителей, гетерозиготных по двум генам одновременно (АаВb), причем каждый из этих генов влияет на разные признаки. Проще всего это сделать, используя решетку Пеннета.

Как следует из таблицы 1, в потомстве от брака двойных гетерозигот наблюдается 4 фенотипа: доминантный по обоим признакам, доминантный либо по одному, либо по другому признаку, рецессивный либо по одному, либо по другому признаку, рецессивный по обоим признакам одновременно. Соотношения между этими фенотипами в том порядке, как они записаны выше, составляют 9:3:3:1. Эти соотношения легко получить, перемножая вероятности соответствующих фенотипов при моногибридном расщеплении. Так, вероятность доминантного фенотипа для каждого признака в моногибридном скрещивании составляет (темноволосые, голубоглазые) 3/4 х 1/4=3/16. При их независимости друг от друга вероятность их совместного проявления (темноволосые, кареглазые) будет равна
3/4 х 3/4 = 9/16. Проявление признака светловолосые, кареглазые имеют вероятность 3/4 х 1/4=3/16, а светловолосые, голубоглазые 1/4 х 1/4=1/16.

Таким образом, вероятность проявления доминантных признаков во втором поколении наибольшая  9/16, а чисто рецессивных признаков наименьшая 1/16.

В результате выведения математических закономерностей при анализе наследования нескольких признаков у человека нами получен следующий результат, представленный в прил. 1 .

Так, при скрещивании образуется 8  видов гамет: АБВ, АбВ, АБв, Абв, аБВ, абВ, аБв, и абв. Количество возможных сочетаний гамет, которые возникнут при случайном слиянии равно 8*8 т.е. 64.  Количество фенотипов равно 8: кудрявые тёмные волосы и тёмные глаза,

кудрявые светлые волосы и тёмные глаза, кудрявые тёмные волосы и голубые глаза, кудрявые светлые волосы и голубые глаза,  прямые тёмные волосы и тёмные глаза, прямые светлые волосы и тёмные глаза, прямые тёмные волосы и голубые глаза, прямые светлые волосы и голубые глаза.

 Численное соотношение этих фенотипических вариантов таково: 27ктт:9кст:9ктг:3ксг:9птг:3пст:3птг:1псг. Анализируя обе таблицы, я заметил, что количество зигот с проявлением полностью рецессивных генов равно 1 из всего количества зигот. Вероятность проявления признака 1/64.

Замечено, что при добавлении одного гена в характеристику, количество гамет и фенотипов увеличивается в 2 раза.

Таблица 2

Соотношение между числом пар генов, участвующих в скрещивании, и числом фенотипических и генотипических классов.

Также было замечено,  что  количество зигот с проявлением одного рецессивного гена в 3 раза меньше, чем с полностью доминантным набором генов, с проявлением двух рецессивных в 9 раз, и т.д.

Таким образом, количество зигот с проявлением доминантных признаков будет равно 3N, где N это количество доминантных признаков у гаметы. Количество разных фенотипов с проявлением одного рецессивного признака равно количеству признаков. Количество разных фенотипов с проявлением одного доминантного признака равно количеству признаков.

На третьем этапе исследования при составлении математических формул  для применения их на практике при анализе наследования нескольких признаков у человека нами получен следующий результат.

Количество гамет и фенотипов по четырём признакам будет равняться 16     (т.к. по трём признакам равнялась 8, 8*2=16), количество зигот будет равно 16*16=256, количество зигот с проявлением полностью рецессивных признаков равно 1 из общего числа гамет. Так как признаков 4, то, следовательно, количество гамет с полным набором доминантных генов равно 34=81. Количество разных фенотипов с проявлением одного рецессивного или одного доминантного  признака равно количеству признаков, то есть 4.

А количество зигот по каждому из таких фенотипов равно 33=27. Количество разных фенотипов с проявлением двух разных рецессивных генов равно 6, (то есть АБвг, абВГ, АбВг, аБвГ, АбвГ, аБВг), количество зигот по каждому из этих различных фенотипов равно 32=9. Количество гамет по каждому из различных фенотипов с проявлением одного разного признака равно 31=3. Количество гамет с проявлением всех рецессивных признаков равно 30=1. Таким образом, если все числа поставить в один ряд, мы получим отношение всех зигот различных по 16 фенотипам: 81:27:27:27:27:9:9:9:9:9:9:3:3:3:3:1. При сложении всех этих чисел мы получаем общее количество зигот, 256, то есть 16*16.

Выводы

Были проанализированы данные из составленных таблиц по скрещиванию гамет с различным набором доминантных и рецессивных признаков человека.  Это особенно ощущается, когда имеем большое количество гамет и фенотипов. Однако, путём несложных математических вычислений возможно узнать информацию о количестве и соотношении зигот по различным фенотипам, вычислить количество фенотипов и количество гамет. Итак, были выведены закономерности в том что:

1. Количество гамет равно количеству фенотипов, и  увеличивается в геометрической прогрессии  4,8,16,…с увеличением с каждым разом количества гамет в два раза: 2n , где n-количество признаков, по которым мы проводим скрещивание: 2,3,4,….
2. Количество разных  фенотипов с проявлением одного различного доминантного или одного рецессивного признака увеличивается на один,  а так как количество признаков тоже увеличивается на один, то количество таких фенотипов (m) равно количеству признаков (n), то есть, m=n. Например, если нам нужно найти количество фенотипов по 5 признакам, то m=5.
3. Количество разных фенотипов с проявлением разных доминантных или рецессивных признаков в количестве больше одного увеличивается на два. Зная данные по любой из составленных таблиц, можно найти, например, количество этих фенотипов по 5 признакам: пусть количество таких фенотипов равно t, тогда t =2+g где, g это количество признаков по которым нужно найти фенотипы. Тогда t=2+5=7
4. Количество зигот, получаемых при скрещивании равняется 3N, где N – это количество проявления доминантных признаков.
5. Количество фенотипов с проявлением всех рецессивных признаков равно 30 =1.

Наша гипотеза полностью подтвердилась.

Полученными формулами можно пользоваться  при решении задач по генетике, ускорив при этом вычислительные процессы. Кроме того, полученными формулами могут   воспользоваться все желающие, кто хочет проанализировать наследование признаков человека в ряду поколений.  

Список использованной литературы

1.  Дромашко С.Е. «Биология и математика». Издательство «Наука и техника», 1986 г.

2. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды.-     Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. -- ISBN 5-94409-045-6

3. Советов Б. Я., Яковлев С.А., Моделирование систем: Учеб. для вузов -- 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. -- 343 с. ISBN 5-06-003860-2

4. http://bio.1september.ru

Приложение 1

Закона расщепления Менделя во втором поколении