Последняя цифра числа 1 деленного на a в степени n, записанного в виде конечной десятичной дроби.

ФЕДЕРАЛЬНАЯ НАУЧНО – ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ТВОРЧЕСКОГО И НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ДЕТЕЙ

И  МОЛОДЁЖИ  «ЮНОСТЬ, НАУКА, КУЛЬТУРА»

IX ВСЕРОССИЙСКИЙ ДЕТСКИЙ КОНКУРС НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ

«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ» 

Секция: информационные технологии, математика

Тема: «Последняя цифра числа 1/an, записанного в виде конечной десятичной дроби»

Автор: Хасанов Наиль Назгатович

Научный руководитель: Столбова Фаина Витальевна

Место выполнения работы: МАОУ СОШ «Земля родная»  г. Новый Уренгой

2012

Содержание

Введение……………………………………………………………………….…………..3

Раздел  1.   Методика  проведения  исследования…………………………………….…4                

Раздел  2.   Результаты   исследования…………………..……………………………….7

Раздел  3.   Выводы  и  рекомендации  …………………………………........................8

Литература……………………………………………………………………………...….9

Приложение 1 ..…………………………………………………………………………..10

Приложение 2 ..…………………………………………………………………………..11

Введение

                                                                              «Математику уже затем учить следует,

                                                                   что она ум в порядок приводит»

М. В. Ломоносов

            Эти слова раскрывают сущность предмета математика, так как именно она, прежде всего,   учит нас мыслить,  рассуждать,  анализировать, делать выводы, умозаключения и подводить  итоги. Математика является одним из основных школьных предметов, потому, что все перечисленные качества необходимы не только математику,  но и представителю любой другой науки. Развитием этих качеств занимается, прежде всего, математика. Существуют специальные задачи, которые направлены на формирование названных умений. Кроме того в большинстве школ, как города, так и всей России созданы и работают предметные школы, кружки, факультативы и объединения, цель которых и состоит в том, чтобы развить подобные качества. Готовясь к различным математическим конкурсам, в частности, к международному математическому конкурсу «Кенгуру», мы столкнулись с таким заданием: «Запишем число 1/52000 в виде конечной десятичной дроби. Какова будет последняя цифра?». Эта задача под № 25 на стр. 97 была взята из текстов «Кенгуру-2000» для 9-10 классов и оценена в 5 баллов. Она показалась нам интересной, немного необычной и требующей дополнительного изучения и общих выводов. Особый интерес при решении вызвало то, что составители текстов «Кенгуру» предлагали  её для решения учащимся 9-10 классов и оценивали достаточно высоко. В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра аналогичного числа, если вместо цифры 5 будет стоять другие цифры? Так  появилось тема для нашего исследования.  

Тема  работы: последняя цифра числа 1/an, записанного в виде конечной десятичной дроби.

Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач теории чисел и теории делимости.

Объект исследования: число 1/an  и его запись в виде конечной десятичной дроби.

Предмет исследования: последняя цифра конечной десятичной дроби.

Гипотеза исследования: последняя цифра числа 1/an, записанного в виде конечной десятичной дроби, зависит от основания a и показателя степени n.

Методы исследования: решение примеров и задач, анализ, синтез, обобщения.

Цель исследования: установить, как именно последняя цифра числа 1/an, записанного в виде конечной десятичной дроби, зависит от основания a и показателя степени n.

Задачи исследования:

-  изучить научно-популярную литературу по данному вопросу;

- рассмотреть решение 8 задач на определение последней цифры числа 1/an, записанного в виде конечной десятичной дроби;  

- сравнить и проанализировать полученные результаты; -

- оформить результаты в виде таблицы;

-  рассмотреть решение задачи, давшей тему для исследования;

- сделать выводы.

Практическая значимость работы определятся не только потребностями учащихся, но и нуждами криптографии, так как найденные зависимости могут найти применение в алгоритмах шифрования.

Новизна: в ходе исследования была установлена зависимость последней цифры числа 1/an, записанного в виде конечной десятичной дроби, от основания a и показателя степени n.

Методика проведения исследования

         При проведении исследования мы рассмотрели решение 9 однотипных задач, в которых число 1/an, где 2≤а≤10 записывали в виде конечной десятичной дроби, а также провели исследование и обобщили на случай а>10. При этом мы   опирались на теорему 1, известную нам из курса математики.

Теорема 1. Несократимая дробь a/b может быть представлена в виде конечной десятичной дроби, если в разложении её знаменателя b на простые множители содержатся только множители 2 и 5.

         А для того, чтобы определить последнюю цифру конечной десятичной дроби и установить её зависимость от основания а и показателя степени n, будем брать а=2; 3;…;9 и n=1; 2; 3;… Итак рассмотрим такую задачу.

Задача 1. Запишем число 1/2n  в виде конечной десятичной дроби. Какова будет её последняя цифра? Как она зависит от показателя степени n?

        Чтобы определить последнюю цифру конечной десятичной дроби и установить зависимость её от показателя степени n, будем брать n=1,2,3… , рассматривать получившиеся десятичные дроби, сравнивать их и делать выводы.

Итак:

 1/21= 1/2=0,5

 1/22= 1/4=0,25     

 1/23= 1/8=0,125

 1/24= 1/16=0,625   

 1/25= 1/32=0,03125  

 1/26= 1/64=0,015625 

 1/27= 1/128=0,0078125  

 1/28= 1/256=0,00390625  

 1/29= 1/512=0,001953125   

 1/210=1/1024=0,0009765625 и т. д.

Возникает предположение, что 1/2n=0,…5, т.е. последняя цифра конечной десятичной дроби 5, и она (дробь) содержит n знаков после запятой. Его легко доказать  следующим образом, чтобы обратить дробь 1/2n в конечную десятичную дробь, умножим её числитель и знаменатель на 5n, то есть 1*5n /2n*5n  =5n  /10n . Но    любая степень числа 5 оканчивается на 5. Причём две последние цифры всегда 25, а, если показатель степени нечётен, то три последние цифры 125, если же он чётный, то три последние цифры 625. Следовательно, последняя цифра десятичной дроби 1/2n всегда 5. Более того, две последние цифры всегда 25. И мы можем так же утверждать, что если показатель степени нечётный, то три последние цифры 125, если же он чётный, то три последние цифры 625. При этом он (показатель) должен быть больше 3.

Теперь рассмотрим дробь, если основание а=3.

Задача 2. Запишем число 1/3n  в виде конечной десятичной дроби. Какова будет её последняя цифра? Как она зависит от показателя степени n?

Из теоремы 1 следует, что  дробь  1/3n   нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Пусть основание а=4.

 Задача 3. Запишем число 1/4n  в виде конечной десятичной дроби. Какова будет её последняя цифра? Как она зависит от показателя степени n?

Итак:

1/41=1/4=0,25

1/42=1/16=0,625

1/43=1/64=0,015625

1/44=1/256=0,00390625

1/45=1/1024=0,0009765625 и т. д.

Мы видим, что последняя цифра десятичной дроби всегда 5, более того, мы видим, что  последние три цифры десятичной дроби всегда 625. Это легко доказать, достаточно представить 4 как 22. Тогда получим 1/4n =  1/22n, т. е. показатель степени 2n всегда является чётным числом, а, значит, согласно выводам, полученным в  задаче 1, последняя цифра 5, а  последние три цифры десятичной дроби всегда 625.

Рассмотрим следующую задачу, основание дроби а=5.

Задача 4. Запишем число 1/5n  в виде конечной десятичной дроби. Какова будет последняя цифра? Как она зависит от показателя степени n?

1/51=1/5=0,2

1/52=1/25=0,04

1/53=1/125=0,008

1/54=1/625=0,0016

1/55=1/3125=0,00032

1/56=1/15625=0,000064  

1/57=1/78125=0,0000128

1/58=1/390625= 0,..256

1/59=1/1953125=0,,…512

1/510=1/9765625…=0,…1024 и т.д.

А здесь мы видим, что последняя цифра конечной десятичной дроби меняется, причём она повторяется через четыре шага и равна 2; 4; 8  или 6. Чтобы доказать это достаточно умножить числитель и знаменатель дроби 1/5n   на 2n , получим следующее равенство 1/5n =

=1*2n /5n * 2n =2n/ 10n. Но из таблицы умножения мы знаем, что степень числа 2 оканчивается на 2; 4; 8 или 6. Причём, если показатель степени числа 2 делится на 4 нацело, то последней цифрой степени числа 2 будет 6, а значит, последней цифрой конечной десятичной дроби 1/5n   будет тоже 6, т. к. показатели степеней чисел 2 и 5  совпадают. Если же показатель степени при делении на 4 даёт остаток 1, то последней цифрой степени числа 2 будет 2, а,значит, последней цифрой конечной десятичной дроби 1/5n тоже будет 2. И если показатель степени при делении на 4 даёт остаток 2, то последней цифрой степени числа 2 будет 4, а, значит, последней цифрой конечной десятичной дроби 1/5n  будет тоже 4. И последнее, если показатель степени при делении на 4 даёт остаток 3, то последней цифрой степени числа 2  будет 8, а, значит, последней цифрой конечной десятичной дроби 1/5n    будет тоже 8.

            Теперь вернёмся к задаче, с которой началось наше исследование. Так как показатель степени числа 5 есть число 2000, а оно делится на 4 нацело, то конечная десятичная дробь 1/52000 оканчивается на 6.

Теперь ещё одна  задача, если  основание а=6.

Задача 5. Запишем число 1/6n  в виде конечной десятичной дроби. Какова будет её последняя цифра? Как она зависит от показателя степени n?

Из теоремы 1 следует, что эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, т. к. её знаменатель 6 разлагается только на простые множители 2 и  3.                                             

Аналогичные рассуждения получим, если основание а=7.

Задача 6. Запишем число 1/7n  в виде конечной десятичной дроби. Какова будет её последняя цифра? Как она зависит от показателя степени n?

Из теоремы 1 следует, что эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

А теперь рассмотрим дробь, если основание а=8.

Задача 7. Запишем число 1/8n  в виде конечной десятичной дроби. Какова будет последняя цифра? Как она зависит от показателя степени n?

Итак:

1/81=18=0,125

1/82=164=0,015625

1/83=1512=0,001953125 и т.д.

Чтобы не выполнять в дальнейшем громоздких вычислений мы представим 8 в виде степени числа 2, получим при этом, что  дробь 1/8n  примет вид 1/23n. Показатель степени теперь при n чётным будет тоже чётным, но при n нечётным будет тоже нечётным. То есть последняя цифра десятичной дроби всегда 5, более того,   последние три цифры десятичной если показатель степени нечётный, то три последние цифры 125, если же он чётный, то три последние цифры 625 (что следует из задачи 1).

И, наконец, задача, основание а=9.

Задача 8. Запишем число 1/9n  в виде конечной десятичной дроби. Какова будет её последняя цифра? Как она зависит от показателя степени n?

Из теоремы 1 следует, что эту дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

           Ясно, что если a >9, например а=10, то последняя цифра конечной десятичной дроби 1, т.к. 1/an=1/10n =10-n= 0,…1 n-знаков после запятой. Если же a>10, то говорить о последней цифре конечной десятичной дроби можно только при а=2n*5m,согласно теореме 1. Причём, при n=m мы имеем 1/а=1/2n*5n=1/10n, т. е.  последняя цифра конечной десятичной дроби 1.

 Но при n>m получим 1/an=1/2n *5m=1/2n-m *5m *2m=1/2n-m*10m=1/2n-m*1/10m. Т. е. последняя цифра конечной десятичной дроби зависит от первого множителя 1/2n-m, а такой случай мы рассматривали в задаче 1. Т.е. последняя цифра конечной десятичной дроби всегда 5, но  при n-m  чётном три последних цифры 625, а при n-m нечётном три последних цифры 125.

          Если же m>n, то поступим так 1/an=1/2n *5m=1/2n *5m-n *5n=1/2n * 5n*5m-n=1/10n*1/5m-n. Т.е. последняя цифра конечной десятичной дроби зависит от второго множителя 1/5m-n, а такой случай мы рассматривали в задаче  4. Т.е. при делении на 4 показателя степени числа 5  нацело,  последней цифрой конечной десятичной дроби 1/5 m-n   будет  6. Если же показатель степени при делении на 4 даёт остаток 1, то последней  цифрой конечной десятичной дроби 1/5n  будет 2.   Но  если показатель степени при делении на 4 даёт остаток 2, то последней цифрой  конечной десятичной дроби 1/5n    будет  4. И, наконец,  если показатель степени при делении на 4 даёт остаток 3, то последней цифрой  конечной десятичной дроби 1/5n    будет  8, а значит и всего числа  1/an.

          Все  полученные выводы мы объединили и  привели в результатах исследования, а так же свели  их в одну общую таблицу, которую даём в приложении.

Результаты  исследования

         Обобщая и анализируя   все полученные выводы, мы видим, что наша гипотеза о том, что последняя цифра числа 1/an, записанного в виде конечной десятичной дроби, зависит от основания a и показателя степени n, подтвердилась.

 В ходе выполнения  работы  нами получены следующие результаты исследования:

1) Если основание a числа 1/an равно 2, то последняя цифра числа 1/2n, записанного в виде конечной десятичной дроби, при любом значении n будет 5, причем, если n-четное число, то три последние  цифры десятичной дроби 625, а если n-нечетное число, то три последних цифры 125. То есть, нами были получены выводы в несколько большем объёме.

2) Если основание a числа 1/an равно 4, то последняя цифра числа 1/4n, записанного в виде конечной десятичной дроби, при любом значении n будет 5, причем три последних цифры десятичной дроби 625.

3) Если основание a числа 1/an равно 5, то, если показатель степени числа 5 делится на 4 нацело,  последней цифрой конечной десятичной дроби 1/5n   будет  6. Если же показатель степени при делении на 4 даёт остаток 1, то последней цифрой  конечной десятичной дроби 1/5n  будет 2. Но если показатель степени при делении на 4 даёт остаток 2, то последней цифрой  конечной десятичной дроби 1/5n    будет  4. И последнее, если показатель степени при делении на 4 даёт остаток 3, то последней цифрой конечной десятичной дроби 1/5n    будет  8.  

4) Если основание a числа 1/an равно 8, то последняя цифра числа 1/8n, записанного в виде конечной десятичной дроби, при любом значении n будет 5, причем, если n-четное число, то три последних цифры десятичной дроби 625, а если n-нечетное число, то три последних цифры 125. То есть, нами были получены выводы в несколько большем объёме.

5) Если основание a=3; 6; 7 или 9, то число 1/an нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, следовательно, задание по определению последней цифры конечной десятичной дроби является некорректным.

6) Если а=10, то последняя цифра числа 1/10n, записанного в виде конечной десятичной дроби, при любом значении n будет 1.                                                

7) Если же a>10, то говорить о последней цифре конечной десятичной дроби можно только при а=2n*5m,согласно теореме 1. Причём, при n=m последняя цифра конечной десятичной дроби 1.

         При n>m  последняя цифра конечной десятичной дроби всегда 5, но  при n-m  чётном три последних цифры 625, а при n-m нечётном три последних цифры 125.

         И при m>n имеем, если число m-n делится на 4 нацело, то последней цифрой числа  1/аn , записанного в виде  конечной десятичной дроби, будет  6. Если же число m-n при делении на 4 даёт остаток 1, то последней  цифрой конечной десятичной дроби   будет 2.   Но  если число m-n при делении на 4 даёт остаток 2, то последней цифрой  конечной десятичной дроби     будет  4. И, наконец,  если число m-n при делении на 4 даёт остаток 3, то последней цифрой  конечной десятичной дроби  будет  8.

                                                  Выводы и рекомендации                                                                                                                           

           Результаты  работы могут быть использованы на занятиях математического кружка, предметной школы и факультативах в 6-9 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того,  данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам  и конкурсам.

         Конечно, запомнить полученные нами выводы  достаточно сложно, возможно, даже и не  нужно. Гораздо проще столкнувшись с заданием, аналогичным заданию из текста «Кенгуру», провести небольшое исследование заново самому, зная при этом как это сделать, и определить, таким образом, последнюю цифру конечной десятичной дроби. Но мы проделали такую работу в общем виде, нашли общую закономерность и получили интересные с нашей точки зрения выводы, которые можно использовать в дальнейшей работе. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях. Следует отметить, найденные зависимости могут найти применение в алгоритмах шифрования.

                                                                     Литература                                                                                                   

1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.  

2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.

3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева - СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.

4. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы - М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.

5. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5-6 кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).

6. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. - 2-е изд.-

М.: Просвещение, 1995.- 22с.

                                                                                                                                     Приложение 1

Таблица

 по определению последней цифры числа   1/an,  записанного в виде  конечной десятичной дроби

                                                                                                                                     Приложение 2

                                                Результаты решения задачи

учащимися 8а класса МАОУ СОШ «Земля родная» город Новый Уренгой (после ознакомления с выводами, полученными при исследовании по определению последней цифры числа   1/an,  записанного в виде  конечной десятичной дроби)

Задача:

 «Запишем число 1/52012 в виде конечной десятичной дроби. Какова будет последняя цифра?».