Задача и пять методов ее решения

Слайд 1

Задача и пять методов её решения ГАОУ ДПО СарИПКиПРО ІІІ региональный конкурс творческих работ по математике «Математика в моей жизни» Номинация «Бенефис одной задачи» Выполнила: Шатилова Виктория Ученица 11 класса МОУ «СОШ р.п. Красный Текстильщик Саратовского района Саратовской области» Научный руководитель: Свириденко О.В. 2011г

Слайд 2

Введение Для успешного изучения геометрии необходимо знать не только основные формулы и теоремы, но и владеть различными методами решения задач. Пять основных методов, применяемых в решении задач: координатный векторный аналитический тригонометрический геометрический

Слайд 3

Гипотеза: Возможно ли решить конкретную задачу всеми указанными методами? ? ? ?

Слайд 4

Цель работы: Задачи работы: испробовать разные методы на одной задаче; выявить отличительные черты, сильные и слабые стороны разных методов. Научиться распознаванию и использованию математических методов при рассмотрении различных решени одной и той же задачи

Слайд 5

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС. Приступая к решению задачи, сразу замечаем, что если О – точка пересечения биссектрисы ВЕ и медианы AD , то прямоугольные треугольники ABO и D ВО равны. Поэтому АО=О D= 2 и АВ= BD , так что ВС=2АВ.

Слайд 6

Примем точку О за начало прямоугольной системы координат, оси Ох придадим направление вектора OD и будем считать единицей масштаба. В данной системе точки A, D, B имеют координаты: А (-2;0), D (2;0) и В (0; b) . Способ первый: Координатный Для того чтобы определить длины сторон треугольника АВС, надо найти число b. Выразим через b координаты точек С и Е. Так как D – середина отрезка ВС, то С (4;- b ). Для точки Е имеем координаты (0;у). Вторую координату точки Е найдем, пользуясь, тем что точка Е принадлежит прямой АС. Уравнение прямой АС имеет вид: Координаты точки Е (0;у) удовлетворяют этому уравнению. Подставив в него 0 вместо х, получим: Следовательно, По условию задачи ВЕ=4, значит, , или b=3 . Итак, А (-2;0), В (0;3), С (4;-3). Зная координаты вершин треугольника АВС, найдем его стороны:

Слайд 7

Векторы ВЕ и АД выразим через а и с.Так как ВС=2 BD , то СЕ=2АЕ( по свойству биссектрисы треугольника). Пользуясь формулой деления отрезка в данном отношении, получим: Согласно вычитанию векторов, имеем: Длины векторов ВЕ и А D известны. Пусть Вычислив скалярные квадраты вектором ВЕ и А D , получим уравнения: Найдем теперь через сторону АС, пользуясь векторной формулировкой теоремы косинусов: Подставим найденные выше значения и получим: Способ второй: Векторный

Слайд 8

Медиану AD и биссектрису ВЕ треугольника АВС выразим через длины а, b , с сторон треугольника по формулам: Пусть АВ=х, АЕ=у, тогда ВС=2х и СЕ=2у. Получим систему уравнений: Способ третий: Аналитический

Слайд 9

Способ четвертый: Тригонометрический Обозначим АВ=х, угол АВС=2α. По теореме косинусов из треугольников АВЕ и ВСЕ находим: Учитывая, что СЕ=2АЕ или СЕ 2 =4АЕ 2 , получаем: x cos α =3 . Но x cos α=ВО, значит, ВО=3 и ОЕ=1. Остается, пользуясь теоремой Пифагора, вычислить стороны треугольника АВС.

Слайд 10

Геометрический способ 1.С помощью площадей 2. С помощью осевой симметрии 3. По теореме о средней линии треугольника 4. По теореме Менелая

Слайд 11

Так как АО=О D =2, ВЕ=4 и А D перпендикулярна ВЕ, то площадь каждого из треугольников ВАЕ и В D Е равна 4. Площадь треугольника С D Е так же равна 4, так как медиана ED делит треугольник ВСЕ на два равновеликих треугольника. Значит, площадь треугольника АВС равна 12. По скольку А D -медиана треугольника АВС, то площадь треугольника АВ D равна 6. Остается применить формулу площади треугольника. Получим: АО*ВО=6. Но АО=2, значит, ВО=3 Стороны треугольника АВС найдем по теореме Пифагора. Способ пятый: С помощью площадей

Слайд 12

Способ шестой: С помощью осевой симметрии Точки А и D симметричны относительно биссектрисы ВЕ. Построим еще точку, симметричную точке С относительно прямой ВЕ. Для этого продолжим отрезок D Е до пересечения с прямой АВ и обозначим через F точку пересечения прямых АВ и D Е. Получим равнобедренный треугольник ВС F , из равенства треугольника ВЕ F и ВЕС следует, что В F =ВС. Продолжим еще биссектрису ВЕ до пересечения с С F в точке Н. Тогда ВН - биссектриса треугольника ВС F , а следовательно, и его медиана. Таким образом, Е – точка пересечения медиан треугольника ВС F , и поэтому ЕН=0,5ВЕ=2, а ВН=6. Средняя линия AD треугольника ВС F делит медиану ВН пополам, поэтому ВО=3. Далее поступаем так же, как при решении задачи другими способами и получаем тот же ответ.

Слайд 13

Проведем среднюю линию D К треугольника ВСЕ. Так как D К параллельна ВЕ и АО=О D , то ОЕ – средняя линия треугольника ADK. Следовательно: Так как ВЕ=4, то ОЕ=1 и ВО=3 Из приведенного решения видно, что отношение ВО/ОЕ не зависит от отрезков ВЕ и AD . Найти это отношение можно также, используя лишь тот факт, что А D – медиана треугольника АВС и АО=ОВ, причем без всяких вспомогательных построений. Способ седьмой: По теореме о средней линии треугольника

Слайд 14

Секущая ВЕ пересекает стороны треугольника АС D в точках Е и О. По теореме Менелая из треугольника АС D имеем: а так как Применив теперь теорему Менелая к треугольнику ВСЕ и секущей А D , получим: Но АЕ/АС=1/3 и С D=DB . Следовательно, ВО/ОЕ=3. Способ восьмой: По теореме Менелая

Слайд 15

Вывод: В ходе работы мы рассмотрели пять методов решения конкретной задачи: координатный векторный аналитический тригонометрический геометрический Как правило, основными методами решения планиметрических задач на вычисления являются алгебраические и тригонометрические методы. Но как видно из работы, геометрические методы оказались проще и изящнее, хотя к ним можно прийти только догадавшись провести некоторые вспомогательные линии. Таким образом, важно владеть геометрическими приемами, которые позволяют найти наиболее простое и красивое решение с помощью дополнительных построений.

Слайд 16

Литература: Научно-теоретический и методический журнал МО РФ «Математика в школе» № 3 1994