Задачи с параметром. Научный проект ученицы

                                          Шар и круг

На плоскости шаром является круг и, соответственно, объём есть площадь этого круга. Как вы все хорошо знаете,   . Чтобы посчитать площадь кольца, нужно из площади большого круга вычесть площадь неиспользуемого маленького —     И так как всё зависит от радиуса, да еще в квадрате, то, чем ближе к большему радиусу описано кольцо, тем больше, при той же ширине, его вклад в площадь

В нашем трехмерном пространстве объём шара зависит от радиуса, возведенного в третью степень. А значит, и рассматриваемый эффект становится еще более выраженным: большая часть объёма шара сосредоточена рядом с границей.

Чего больше по объёму в этом апельсине — кожуры или мякоти? Кожура занимает, казалось бы, не очень толстый слой, но он расположен рядом с границей шара. И его объём равен объёму всей вкусной части апельсина. Покупая апельсин с толстой кожурой, по объёму Вы приобретаете в основном кожуру. Результаты исследования (приложение№2).

Vвнут. част.=Vоболочки

                                            Поилка для  коров

Усилия почти всякой человеческой деятельности направлены на то, чтобы с наименьшей затратой сил достигать наиболее выгодного в определенном отношении результата (наиболее экономичного, наименее трудоемкого, наиболее производительного и т. п.).

Задача. Под каким   углом  нужно сбить 3 одинаковых доски, для того, чтобы получить водопойный желоб для коров наибольшей вместимости?

Наибольшую вместимость будет иметь желоб с наибольшим поперечным сечением. Поперечным сечением желоба является равнобокая трапеция.                        

Рассмотрим равнобокую трапецию

Где    – большее основание,    - h  , а                   .Отсюда найдём

Далее находим

  .

При     производная обращается в 0, значит   .

Исходя из этого, находим значение  

Т.е. для того, чтобы водопойный желоб был наибольшей вместимости,     необходимо сбить 3 доски под   .

                                     Консервная банка

              Наша цель- минимальный расход жести на изготовление консервной банки цилиндрической формы, т.е.    должна быть наименьшей. Обозначим диаметр основания цилиндра через x,а высоту его через  .  Тогда                                       .

            Находим  отсюда   .

             .

                Т.к. переменная   может принимать только положительные значения, то решение задачи сводится к нахождению наименьшего значения      на положительной полупрямой. Найдём

               Решим урав-ие:     .

             Корнем урав-ия яв-ся    , при котором ф-ция  имеет минимум.

                 Т.к. урав-ие не имеет других действительных корней, кроме     , то этот   минимум совпадает с наименьшим значением ф-ции на рассмотренном промежутке

                   .

               В итоге приходим к выводу, что расход жести на изготовление консервной        банки будет минимальным  при условии, если цилиндр яв-ся равносторонним.

Полезно знать, что если консервная банка  не представляет собой равносторонний цилиндр, то на её изготовление допускается перерасход жести. Так что форма консервной банки играет значительную роль в экономическом плане для производителей консервированных продуктов.

Заключение.

        Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий.  Составляя математическую модель, построенную на основе этих закономерностей можно найти оптимальные решения многих практических задач.

Математические формулы – лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать, используя привычные и наглядные образы из окружающей жизни. Задачи с параметрами, на мой взгляд, являются одной из самых приоритетных тем, методы решения, которых можно применить к решению большого количества практических задач. В данном проекте я обосновала практическую значимость задач данного типа и доказала выдвинутую гипотезу.

                                  Список использованной литературы

     1.Петров В.А. Преподавание математики в сельской школе.- М.: Просвещение,1986.

     2.Петров В.А. Математические задачи из сельскохозяйственной

практики.-М.:Просвещение,1980.

     3.Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием.- М.: Просвещение, 1987.

     4.Шапиро И.М. Использование задач  с практическим содержанием в преподавании математики.- М.: Просвещение, 1990.  

     5.Соколов Б.В. Задачи с параметрами.-Томск-2001.