Разработка по математике "Гипербола внешкольной программы"

                   1. Гипербола и ее асимптоты

       Еще  в глубокой древности греки получали кривые, пересекая прямой круговой конус плоскостью. Если взять тупоугольный конус и разрезать его перпендикулярно к образующей, то сечение при этом дает гиперболу.

       Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием  Пергским; эллипс означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого),  гипербола – преувеличение, перевес (угла конуса над прямым), парабола – приближение, равенство (угла конуса прямому углу).  Позже греки увидели , что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости. При этом конус следует брать двуполостный и мыслить, что он простирается в обе стороны бесконечно далеко Рис.1.

                                        Рис. 1

       Наиболее наглядно удалось доказать бельгийскому математику Пьеру Данделену (1794-1847) , что при сечении кругового конуса плоскостью образуются рассматриваемые кривые.

       Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Эту постоянную принято обозначать 2. Постоянная а должна быть положительной и меньше расстояния между фокусами, но не должна равняться нулю.

       Исходя из этого определения, мы сможем вывести уравнение гиперболы, а по уравнению установить ее свойства.

       Пусть заданы две точки F1 и   F2 – фокусы будущей гиперболы. Фокус- focus, латинское слово, означающее очаг. Примем середину отрезка  F1 F2 за начало координат и ось х проведем через фокусы. Расстояние фокусов от начала пусть будет с, тогда их координаты будут  F1(-с;0) и F2(с;0).

                             Рис. 2.

Уравнение гиперболы получим, если в условии   величины  и  выразим через текущие координаты точки М (х; у) и параметры гиперболы  и . Для этого перенесем   в правую часть равенства и возведем обе его части в квадрат:

                                                                                (1).

Применяя формулу расстояния между двумя точками

                        ,

                           .

Внося эти результаты в уравнение (1), имеем

 ,

приведя подобные члены и сократив обе части равенства на четыре, получим

                        .

Теперь остается еще исключить . Снова изолируем член, содержащий , и возведем обе части в квадрат:

                       ,

или                  .

       Заменяя   его значением, имеем

                         ,            

                        ,

или после упрощений

                       .

Разделив все уравнение на  , находим

                      .                          

Обозначив     ,   .        

Получаем каноническое уравнение гиперболы. Название «каноническое»  - греческое слово  означает: принятое в качестве образца, типовое.

       Изучим свойства гиперболы. Для этого не приведенное  уравнение гиперболы решим относительно :

                  .

Извлекая корень, имеем

                                                                                                        (2)

  аналогично

                  .  

        Проанализируем  полученные результаты. Из (2) следует, что величина будет действительной только в том случае, если выполняется условие  

                        .

Ордината у может изменяться от  до ,  принимая при  свое наименьшее значение (по модулю), . Затем, при дальнейшем увеличении   будет также расти  и, стремясь к бесконечности и гипербола приближается к прямым  как  угодно близко, но никогда не может их достичь. Эти прямые называются асимптотами гиперболы.                                                                                           

2. Два способа построения гиперболы

       Имея асимптоты гиперболы, точку  и вычислив ряд промежуточных ее точек , можем построить нашу кривую.

       Согласно уравнению            

гипербола должна быть симметрична относительно обеих осей и начала, так как перемена знака «+» на  «-» у абсциссы  , или у ординаты , или одновременно у обеих координат не нарушает правильности уравнения.

                             Рис. 3.

       Таким образом, кривая,  расположенная только в I и IV квадрантах , не исчерпывает всех точек плоскости, удовлетворяющих уравнению гиперболы. Этому уравнению будут также удовлетворять все точки, которые получим из уже построенных, заменив  на  –. Эти точки образуют вторую ветвь гиперболы, являющуюся зеркальным отражением первой ветви относительно оси О. Отметим, что саму первую ветвь можно построить, отразив в оси О, как в зеркале, только часть гиперболы А2М , расположенную в I квадранте, после чего второе отражение в оси Озавершает построение всей гиперболы.

       Конечно, обе ветви гиперболы вполне равноправны, и здесь мы имеем образец кривой, состоящей из двух самостоятельных ветвей.

       Гиперболу можно строить при помощи циркуля и линейки по отдельным точкам (Рис.4). Для этого по заданным  и  строим прямоугольник PQST со сторонами 2 и 2, параллельными координатным осям. Затем из точки О радиусом  OP = OQ = c делаем засечки на оси Ох и согласно формуле   получаем фокусы F1( -с;0) и F2(с;0). Из фокусов F1и  F2  произвольным радиусом R =  > с +  = F1A2 = F2 A1  делаем четыре засечки. Не меняя радиуса R, из точки A2, как из центра , делаем также засечку  N  на оси абсцисс. Далее уменьшив радиус R на величину 2, то есть перейдя к радиусу

                     = A1N = A2 N - A2 A1 = R -2 =  - 2 ,

делаем вторые засечки. Пересечение засечек и дает точку М(;) и еще три симметричные  М точки гиперболы, поскольку для каждой из них выполняется условие

Изменяя величину   R =   и повторяя необходимые построения, мы можем найти сколько угодно точек гиперболы, а диагонали прямоугольника   PQST будут являться ее асимптотами.

       Оси симметрии гиперболы называют обычно ее осями, а точку пересечения осей – центром гиперболы. В данном случае оси совмещены с осями координат,  в результате чего его уравнение приняло наиболее простой вид. Одна из двух осей пересекает гиперболу, другая ее не пересекает. Точки  A1(-; 0) и  A2(;0), в которых гипербола пересекается с осью  О, называется ее вершинами. Прямоугольник со сторонами 2 и 2, диагонали которого совпадают с асимптотами, называют основным прямоугольником гиперболы. Отрезки   и  - фокальные радиусы точки М.

                                 Рис. 4.

       Заметим , что в математической литературе принято также называть осями гиперболы отрезки длиною 2 и 2, соединяющие середины противоположных сторон основного прямоугольника. Соответственно этому говорят, что уравнение

определяет гиперболу с полуосями  и . При этом отрезок  A1A2 = 2 носит название действительной или вещественной также фокальной оси гиперболы в отличие от оси  

, называемой мнимой. Последнее название обусловлено тем, что на оси нет ни одной точки гиперболы, так как при =0  из уравнения   получаем        .

       Гипербола, определяемая уравнением

                                 ,                                                                        (3)          

в качестве своих вершин будет иметь точки  B1(0; ) и B2(0;- ), ординаты которых  получим, положив в уравнение  (3)  =0. Поэтому фокусы F1(0;с) и  F2(0;-с )

гиперболы  (3) , где , как и прежде , , будут расположены на оси .

       Две гиперболы, которые определяются уравнениями

                             , ,

при одних и тех же значениях параметров  и  называются сопряженными, Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты, но у них действительные и мнимые оси как бы поменялись ролями. На рис.3. гипербола показана пунктиром.

3. Равносторонняя гипербола в различных системах координат

       Если действительная и мнимая оси равны (=),то гипербола называется равносторонней (или равнобочной).

       Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны и образуют с осями углы по  каждый, так как ее основной прямоугольник   (при=) переходит в квадрат, диагонали которого взаимно перпендикулярны и направлены к сторонам под углами в  . Естественно, возникает мысль принять взаимно перпендикулярные асимптоты за новые оси координат, выполнив преобразование поворота осей. Повернем оси координат на угол , тогда ось Осовпадает с асимптотой = +, а ось  О- с асимптотой = -. Асимптоты станут новыми осями координат.  Придав им обычное положение ,получим рис.5. на котором новые оси  обозначены О , О.

       В старой системе координат уравнению гиперболы при = можно придать такой вид:

                            ,

или

                                                                                       (4)

Одна и та же линия в различных системах координат представляется различными уравнениями. Каким же будет уравнение равносторонней гиперболы в новой системе координат?

                                    Рис . 5.

Выводим формулы преобразования координат при повороте осей. Возьмем в системе координат   точку  с координатами  Повернем эту систему вокруг начала координат О против движения часовой стрелки на угол  . Угол будем считать положительным, если он образован поворотом осей против движения  стрелки часов. В результате поворота осей получится новая система координат , относительно которой та же точка М имеет координаты

Рис. 6.

Найдем соотношения между координатами точки  в старой и новой системах. Проведем прямые  и В таком случае

поскольку,как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами.

Заменяя в полученных равенствах   , мы приходим к формулам, позволяющим найти старые координаты точки по известным новым:

   Решаем систему уравнений относительно   и  :

                                                                                                (5)

Подставляем значение  во второе уравнение системы уравнений:

Перемножая обе части последнего уравнения на  получаем

 Вернемся к уравнению (5) и подставляем последнее значение  :

Итак

                                                                                   (6)                            

Подставив в формулы (6) заданное значение угла поворота осей , получаем

Отсюда

Внося эти значения в (4), имеем  или    Положив для краткости  придаем этому уравнению окончательный вид:

                              где - постоянная величина.

Итак, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам  представляет собой график обратной пропорциональности, которому ( меняя роли старых и новых осей координат, то есть опуская звездочки)  можно придать обычный вид

4. Применение  гиперболы в различныных областях науки

Рассмотрим задачу на применение гиперболы. Две железнодорожные станции А и В находятся на расстоянии  км одна от другой.  В точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом, либо по железной дороге до станции В, а оттуда автомобилями (рис. 6). При этом железнодорожный тариф (цена перевозки одной тонны на 1 км) составляет  рублей, погрузка – разгрузка обходится в  рублей (за 1т) и тариф автотранспорта-  рублей .  Определим так называемую зону влияния железнодорожной станции В, то есть ту зону, в которую дешевле доставить груз из А смешанным путем: по железной дороге и затем автотранспортом.

       Решение. Стоимость доставки  1 т груза по пути АМ составляет  где  , а по пути  она будет равна   Нам надо решить двойное неравенство      

                           и определить , как распределятся точки на плоскости  , в которые дешевле доставлять груз либо первым, либо вторым путем.

Найдем уравнение линии, образующей границу между этими двумя зонами, то есть геометрическое место точек, для которых оба пути “равно выгодны”:

                          .

Из этого условия получаем

Следовательно, линия раздела – гипербола. Для всех внешних  точек этой гиперболы более выгоден первый путь, а  для внутренних – второй. Поэтому гипербола и очертит зону  влияния станции В. Вторая ветвь гиперболы очертит зону влияния станции А (груз доставляется со станции В). Найдем параметры нашей гиперболы, Ее большая ось

                          ,        

а расстояние между фокусами (которыми являются станции А и В ) в данном случае .

Таким образом, условие возможности этой задачи, определяемое соотношением , будет

                  , или  

                    Рис. 6.

       В частности, задачи на движение

( в системе координат время , скорость ) описывается уравнением равносторонней гиперболы;  задачи на работу

                          ;

задачи на площадь прямоугольника

( в системе координат длина  а,  ширина  прямоугольника) так же описываются равносторонней гиперболы.

Общий случай дробно-линейной функции

                        ,

который  легко привести к виду

          или

преобразованием параллельного переноса

может быть сведен к равносторонней гиперболе.

Заключение

Учась в средней школе, на уроке алгебры изучаем гиперболу как график обратной пропорциональности , где  и на этом забываем про нее. Она очень интересная кривая. Применяем ее почти на каждом уроке при решении задач.

       Еще в глубокой древности греки получали кривые, пересекая прямой круговой конус плоскостью. Если взять тупоугольный конус и разрезать его перпендикулярно к образующей, то сечение при этом дает гиперболу.          Отсюда произошли и названия кривых,  которые были введены Апполонием Пергским; гипербола означает преувеличение, перевес (угла конуса над прямым). Позже греки увидели, что все три кривые можно получить на одном конусе, изменяя наклон секущей плоскости. При этом конус следует брать двуполостный и мыслить , что он простирается в обе стороны бесконечно.

       Одна и та же линия в различных системах координат представляется различными уравнениями.

       Уравнение    называется каноническим уравнением  гиперболы. Название «каноническое» - греческое слово означает принятое в качестве образца, типовое.

       Две гиперболы, которые определяются уравнениями  

                и ,

при одних и тех же значениях параметров  и  называются сопряженными.

        Если действительная и мнимая оси равны  (=), то гипербола называется равносторонней (или равнобочной). Уравнение имеет такой вид

                или

В результате поворота осей системы координат  вокруг начала координат  на угол  получаем уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам  в новой системе координат , который представляет собой график обратной пропорциональности  , где - постоянная величина.

       Далее рассматриваются 2 способа построения гиперболы и применение уравнения равносторонней гиперболы , графика обратной пропорциональности при решении задач школьного курса.

1. Две железнодорожные станции А и В находятся на расстоянии  км одна от другой.  В точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом, либо по железной дороге до станции В, а оттуда автомобилями (рис. 6). При этом железнодорожный тариф (цена перевозки одной тонны на 1 км) составляет  рублей, погрузка – разгрузка обходится в  рублей (за 1т) и тариф автотранспорта-  рублей .  Определим так называемую зону влияния железнодорожной станции В, то есть ту зону, в которую дешевле доставить груз из А смешанным путем: по железной дороге и затем автотранспортом.

       2.  Задачи на движение

( в системе координат время , скорость ) описывается уравнением равносторонней гиперболы.

       3.    Задачи на работу

                          .

4.    Задачи на нахождение площади прямоугольника

( в системе координат длина  а,  ширина  прямоугольника) так же описываются равносторонней гиперболы.

5.     Общий случай дробно-линейной функции

                        ,

который  легко привести к виду

          или

преобразованием параллельного переноса

может быть сведен к равносторонней гиперболе.

Использованная литература

1. Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Изд. 11. «Наука», М., 1967.

               2. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. Изд. 8. «Наука», М., 1965.

3. История математики с древнейших времен до начала 19 столетия. В трех томах. Под редакцией А. П. Юшкевича. «Наука», М., 1970 -1972.

4. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. Изд. 3. «Наука», М., 1968.

5. Штаерман  И. Я. Гиперболические функции. Гостехиздат, М.- Л.  1935.