Исследовательская работа "Поучительное, интересное, занимательное о числе П"

Поучительное, интересное,     занимательное о числе π.

            Работа  на научную олимпиаду « Физик - исследователь»

            учащихся 9 «б» класса МОУ «Гимназия № 87»:

   Попандопуло Геннадия, Сулимановой Дарьи, Сухоруковой Валерии.

                                    Руководители:

       учитель физики Жданова Наталия Рафаэлевна

                         и учитель информатики.

         Попандопуло Ирина Геннадьевна 2009 год.

Содержание

Введение                                                                                        3

Глава 1. Понятие числа π. Общие сведения.                                        4

Глава 2. История числа π                                                                4

2.1. Математика Древнего Междуречья, Древнего Египта                4

2.2. Математические достижения в Древней Греции                        4

2.3. Приближения числа π в Индии и Китае                                5

2.4. Европейские исследователи числа π (15 – 19 вв.)                        6

2.5. Число π в современной математике.                                         7

Глава 3. Способы вычисления числа π                                                8

3.1. Математический способ                                                        8

3.2. Формулы с бесконечным числом членов                                8

3.3. Аналитические методы                                                        9

3.4. Метод иглы Бюффона                                                        9

Глава 4. Необычное использование числа π                                        10

4.1 Рекорды запоминания числа π                                                 10

4.2. Мнемонические способы для запоминания π                        10

4.3. День числа π                                                                        12

Глава 5. Экспериментальное определение числа                                       13

        5.1.  I способ                                                                                           13-14

        5.2.  II способ                                                                                          14-15

        5.3.  III способ                                                                                         15-16

Вывод                                                                                                              17

Заключение                                                                                                     18

Список использованных источников                                                           19

Приложение                                                                                   20-22

Введение

Абсолютно каждый школьник знает, что такое π ("пи"). Многочисленные геометрические формулы содержат его значение. Но знакомое всем со школы число возникает и в далеких от геометрии областях математики. Число π появляется в формулах, используемых во многих сферах. Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому, как нет конца знакам числа π, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа. Английский математик Август де Морган назвал как-то "пи" “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”. Это таинственное число, связанное с одной из трех классических задач Античности - построение квадрата, площадь которого равна площади заданного круга - влечет за собой набор драматических исторических и курьезных занимательных фактов.

В каждой книге по занимательной математике вы непременно найдете историю вычисления и уточнения значения числа π ("пи"). В данной работе собраны самые интересные и занимательные факты из «жизни» таинственного числа, а также описываются наиболее простые методы практического подтверждения его значения.

Глава 1. Понятие числа π. Общие сведения.

Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр. Общеупотребительным такое число стало с середины 18 века. Число π выражается бесконечной непериодической десятичной дробью и приближённо равно 3,141592653589793238462643...

Используя число π, можно вычислить длину окружности абсолютно любого круга, независимо от его радиуса. Для этого используется формула , где l – длина окружности, - диаметр окружности. Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи».

Глава 2. История числа π

2.1. Математика Древнего Междуречья, Древнего Египта

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Однако уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π, которое получается из формулы площади круга диаметра d:

.

Этому правилу из 50 – й задачи папируса Райнда (приблизительно 1650 г. до н.э.) соответствует значение π = 4=3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу - неясно.

2.2. Математические достижения в Древней Греции.

С 6 века до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древние греки Евдокс Книдский, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга – к построению равновеликого квадрата.

Архимед [приложение 1] в III в. до  н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:

1) всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;

2) площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;

3) отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 и больше 3 .

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Архимед, возможно, первым предложил способ вычисления π математическим способом. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники [приложение 2]. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Так, для шестиугольника (см. рисунок) получается .

Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку , а это означает, что π = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...

2.3. Приближения числа π в Индии и Китае

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в 6 веке до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число π принимали равным дроби 3,162… Это значение приводит индийский математик 7 века Брахмагупта.

Китайские учёные в 3 веке использовали для π значение 3, которое не точнее приближения Архимеда. В конце 5 века китайский математик Цзу Чун Чжи получил приближение  (π=3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам, и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г.

2.4. Европейские исследователи числа π (15 – 19 вв.)

В первой половине 15 века в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил “пи” с 16 десятичными знаками.

К концу 16 века в европейской математике сформировались понятия рациональных и иррациональных чисел [приложение 3]. Хотя многие были убеждены, что число π - иррациональное, доказать это никто не мог.

В то же время некоторые математики продолжали заниматься вычислением точного значения числа π. Спустя полтора столетия после ал-Каши, в Европе математик Ф.Виет [приложение 4] нашёл число “пи” только с 9 правильными десятичными знаками. Но при этом он первым сделал открытие, имеющее большое значение, так как позволило вычислять π с какой угодно точностью.

Поиски точного выражения числа π продолжались и после работ Ф.Виета. В начале 17 века голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540 – 1610) (некоторые историки называют его Лудольф ван Кейлен) нашёл 32 знака. С тех пор (год публикации 1615)значение числа π с 32 знаками получило название числа Лудольфа.

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова “периферия” ("periferia" - "окружность"). Общеупотребительным введённое У.Джонсоном обозначение стало после работ Л.Эйлера [приложение 5], который воспользовался этим символом впервые в 1736 г.

В конце 19 века профессор Мюнхенского университета Карл Фердинанд Линдеман нашёл строгое доказательство того, что π - число не только иррациональное, но и трансцендентное, т.е. не может быть корнем никакого алгебраического уравнения. Его доказательство поставило точку в истории древнейшей математической задачи о квадратуре круга [приложение 6]. На протяжении тысячелетий она не поддавалась усилиям математиков, и выражение “квадратура круга“ даже стало синонимом неразрешимой проблемы. “Загадочное упорство” этой задачи, как оказалось, связано именно с природой числа π.

В память об открытии трансцендентности числа π в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображён круг, пересечённый квадратом равной площади, внутри которого начертана буква π.

2.5. Число π в современной математике.

К концу 19 века, после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

В наше время с помощью компьютера число π вычислено с миллионами правильных знаков после запятой [приложение 7]. Но такая точность не нужна ни в каких вычислениях и представляет скорее технический, чем научный интерес.

В современной математике число π - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул. Существует формула, которая устанавливает связь числа π с другой математической константой - числом “е” (формула Л.Эйлера) [приложение 8]. Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа π.

Глава 3. Способы вычисления числа π

3.1. Математический способ

Самый “простой” путь - вписывать в окружность правильный многоугольник и вычислять отношение периметра многоугольника к его “радиусу”. Архимед, возможно, первым предложил данный способ вычисления числа π (рассмотрен в п. 2.2. данной работы). В 1593 году Адриан ван Ромен вычислил периметр вписанного правильного многоугольника с 1073741824 (т.е. 230) сторонами и определил 15 знаков π. Лудольф ван Цейлен (1536—1610) затратил десять лет на вычисление числа π с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596-м). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n=60·233. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Cirkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях было обнаружено ещё 15 точных цифр числа π. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне.

3.2. Формулы с бесконечным числом членов

Известно много формул с числом π:

Хорошее приближение для π даёт выражение π = + . Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая – трансцендентное. Следовательно, эти числа равными быть не могут.

Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

3.3. Аналитические методы

Для вычисления π используются аналитические методы, основанные на тождествах. Но знаний автора работы пока не достаточно для глубокого анализа данного метода. Ограничимся только перечислением наиболее ярких достижений.

Первую эффективную формулу нашёл в 1706 Джон Мэчин: 

Ещё быстрее работают алгоритмы, основанные на формулах Рамануджана и Чудновского

В 1997 Дэйвид Х. Бэйли, Питер Боруэйн и Саймон Плуфф открыли способ быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа π без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле .

3.4. Метод иглы Бюффона

Данный метод заключается в следующем: на разлинованную равноудаленными прямыми плоскость произвольно бросается игла, длина которой равна половине расстояния между соседними прямыми. (Так что игла либо не пересекает прямые, либо пересекает ровно одну при каждом бросании). Можно доказать, что отношение числа пересечений иглы с какой-нибудь линией к общему числу бросаний стремится к Пи при увеличении числа бросаний до бесконечности. Нужно сделать очень много испытаний, чтобы получить более-менее приличную точность приближения полученной дроби к π, а, кроме того, при эксперименте надо внимательно следить, чтобы бросание иглы было "равновероятным": метод иглы Бюффона существенным образом базируется на методах теории вероятностей.

Глава 4. Необычное использование числа π

4.1 Рекорды запоминания числа π

Запомнить знаки π человечество пытается уже давно. Но как уложить в память бесконечность? Разработано множество уникальных теорий и приёмов освоения огромного количества информации. Многие из них опробованы на этом числе.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа π принадлежит японцу Акира Харагучи. Он запомнил число до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать все число целиком. Российский рекорд значений числа π 1 декабря 2003 года в Челябинске установил Александр Беляев. За полтора часа с небольшими перерывами на школьной доске Александр написал 2500 цифр числа. До этого рекордным в России считалось перечислить 2000 знаков, что удалось сделать в 1999 году в Екатеринбурге. По словам Александра Беляева, руководителя центра развития образной памяти, такой эксперимент со своей памятью может провести любой из нас. Важно лишь знать специальные техники запоминания и периодически тренироваться.

4.2. Мнемонические способы для запоминания π

Три первые цифры числа π = 3,14… запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи.

1. Чтобы правильно запомнить,
   Нужно правильно прочесть:
   Три, четырнадцать, пятнадцать,
   Девяносто два и шесть.
2. Гордый Рим трубил победу
   Над твердыней Сиракуз;
   Но трудами Архимеда
   Много больше я горжусь.
   Надо нынче нам заняться,
   Оказать старинке честь,
   Чтобы нам не ошибаться,
   Чтоб окружность верно счесть,
   Надо только постараться
   И запомнить всё как есть:
   Три, четырнадцать, пятнадцать,
   Девяносто два и шесть^[1].

Тот, кто выучит эти четверостишия, всегда сможет назвать 8 знаков числа π = 3,1415926…В следующем стихотворении упоминается большее количество знаков:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове. Такие тексты называют мнемонические.

“Что я знаю о кругах?” (3,1416)

Данную поговорку предложил замечательный популяризатор науки Яков Исидорович Перельман. Учитель одной из московских школ придумал строку: “Это я знаю и помню прекрасно”,а его ученица сочинила забавное продолжение: “Пи многие знаки мне лишни, напрасны”.

“Вот и знаю я число, именуемое Пи. – Молодец!” (3,1415927);

“Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать” (3,14159265359).

4.3. День числа π

Неофициальный праздник «День числа π» отмечается некоторыми математиками 14 марта в 1:59 (в американской системе записи дат — 3.14; π = 3,14159). Обычно празднуют в 1:59 дня (в 12-часовой системе), но придерживающиеся 24-часовой системы считают, что это 13:59, и предпочитают отмечать ночью. В это время читают хвалебные речи в честь числа π, его роли в жизни человечества, рисуют антиутопические картины мира без π, едят π-рог, пьют на-π-тки и играют в игры, начинающиеся на «пи».

Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.

Предложите и реализуйте несколько экспериментальных способов определения числа π.

• I способ:

Цель работы: рассчитать число π, определив массу цилиндра с помощью рычажных весов, по выведенной формуле.  

 , где

Преобразуем формулу (4) подставив в нее формулу (2).

                                                 Рабочая формула.

Приборы и материалы: алюминиевый цилиндр, рычажные весы и набор разновесов, штангенциркуль.

Ход работы:        

1)Определим массу цилиндра, используя рычажные весы.

2)Определим диаметр и высоту с помощью штангенциркуля.

3)Используем табличное значение плотности алюминия.

4)Подставим полученные величины в рабочую формулу.

5)Рассчитаем приборную погрешность .

Приборные погрешности:

Для рычажных весов ;

Для штангенциркуля .

Ответ: π=3,204±0,035

• II способ:

Цель работы: рассчитать число π по выведенной формуле, определив экспериментально объем шара,  используя формулу для вычисления объема шара.

, где  

Выведем из формулы (3) формулу для расчета числа π.

                                                 Рабочая формула.

Приборы и материалы: металлический шар, мензурка, вода.

Ход работы:

1)В мензурку с водой поместим металлический шар и определим его объем, вычтя из объема воды с шаром объем воды без шара.

2)Измерим диаметр шара.

3)Данные подставим в выведенную формулу и рассчитаем число π.

4)Рассчитаем абсолютную погрешность.

5)Рассчитаем приборную погрешность .

Приборные погрешности:

Для штангенциркуля ;

Для мензурки .

Ответ: π=3,121±0,018

• III способ:

Цель работы: рассчитать число π по выведенной формуле, рассчитав экспериментально частоту свободных колебаний нитяного маятника.

                                                    Рабочая формула.

Приборы и материалы: штатив с муфтой и лапкой, шарик с прикрепленной к нему нитью, часы с секундной стрелкой.

Ход работы: 

1)Закрепим металлический шар на нити к штативу.        

2)Отклоним шар от положения равновесия на амплитуду 5 см и отпустим.

3)Измерим промежуток времени t, за который маятник совершит 30 полных колебаний.

4)Полученные результаты подставим в рабочую формулу и рассчитаем π.

5)Рассчитаем относительную погрешность по формуле .

Приборные погрешности:

Для измерительной ленты ;

Для часов с секундной стрелкой .

Ответ: π=3,125±0,022

Вывод:

При сравнении результатов данных экспериментов мы убедились, что последний способ определения числа  π  дал наиболее близкий к истинному значению результат.

Но и он не совсем точно совпадает со значением числа  π = 3,14. Это можно объяснить тем, что в вычислениях мы брали не совсем точное значение ускорения свободного падения. Кроме того, нитяной маятник совершает свободные колебания, которые являются затухающими из - за сопротивления воздуха, поэтому амплитуда колебаний постепенно уменьшалась. Всё это видимо повлияло на неточность результата при использовании последнего способа.

Заключение

Работать над данной темой было очень интересно и поучительно. Многие сведения об удивительной математической постоянной мне были неизвестны. Мы вспомнили основные понятия, связанные с числом π, изучили историю уточнения числа, проанализировали способы вычисления числа π, выучили стихотворения и поговорки для запоминания большего числа знаков π. Предлагаем 14 марта отмечать в гимназии «День числа π».

Список использованных источников

1. Энциклопедия для детей . Т. 11. Математика - М.: Аванта+, 1998.
2. Г.И.Глейзер. История математики в школе. – М.: Просвещение,1983.
3. С.И.Ожегов и Н.Ю.Шведова. Толковый словарь русского языка. – М.: Азбуковник, 1999.
4. Алгебра: Учебник для 8 класса средней школы/Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского. – М.: Просвещение, 1994.
5. Геометрия: Учебник для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений / Л.А.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - М.: Просвещение, 2004.
6. http://crow.academy.ru/dm/materials_/pi/author.htm
7. http://www.iht.com/articles/ap/2006/10/04/asia/AS_ODD_Japan_Memorizing_Pi.php
8. http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
9. http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/index1.html
10. http://ru.wikipedia.org/wiki/

Приложение

Приложение 1

Архимед

Приложение 2

Определение 2.1. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Определение 2.2. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Определение 2.3 . Если все стороны многоугольника касаются окружности, то многоугольник называется описанным около этой окружности.

Определение 2.4. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в эту окружность.

Приложение 3

Определение 3.1. Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Термин “рациональное число“ произошёл от латинского слова ratio, что в переводе означает “отношение“ (частное). Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической дроби.

Определение 3.2. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка “ир” означает отрицание).

Приложение 4

Ф.Виет

Приложение 5

ЭЙЛЕР ЛЕОНАРД (1707-1783)

Приложение 6

Определение 6.1. Квадратура круга – неразрешимая задача построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равного по площади данному кругу.

Приложение 7

Первая тысяча знаков числа π.

π= 3,

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066   1300192787   6611195909   2164201989

Приложение 8

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. e = 2,718281828459045… Иногда число e называют числом Эйлера или неперовым числом. Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении.

Формула Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа π и числа e:

, где