Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

План.

Введение.

1. Метод ограниченности функций:

    1.1. Решение уравнений

    1.2.Решение неравенств

2. Метод неотрицательности функций:

    2.1.Решение уравнений

    2.2.Решение неравенств

3. Метод использования области допустимых значений:

    3.1.Решение уравнений

    3.2.Решение неравенств

4. Метод использования свойств синуса и косинуса:

    4.1.Решение уравнений

    4.2.Решение неравенств

5. Метод использования числовых неравенств:

    5.1.Решение уравнений

    5.2. решение неравенств

6. Метод использования производной:

    6.1.Решение уравнений

    6.2. решение неравенств

7. Решение неравенств методом замены функций.

8. Заключение.

9. Литература.

Введение.

« Уж лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода…»

                                                Рене Декарт.

В математике, как известно, выше всего ценится не просто верное решение, но и наиболее короткое из возможных, как говорят сами математики, более рациональное.

Как найти такое решение? Что для этого необходимо знать? Чем владеть? Что это даёт ученику? Или это только удел одарённых  учеников? На эти вопросы мы попробуем найти ответы. Учимся мы в физико – математическом  классе и увлечены математикой.

Хотим иметь прочные и высокие знания по данному предмету, которые понадобятся нам при дальнейшем обучении в вузах. Почему мы выбрали именно эту тему?

Данная тема актуальна,  она соответствует нашему профилю, потому что её изучение помогает расширить и углубить  знания по теме: «Методы  решения уравнений и неравенств». Эта работа поможет нам успешно сдать ЕГЭ и приобрести опыт выполнения научной работы.

1. Метод ограниченности функций.

     1.1. Решение уравнений.

Данный метод основан на применении  следующей теоремы:

Теорема: Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функции y=f(x), y=g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений:

Графическое представление.

 E(f(x))E(g(x))=A

    Пример 1. Решите уравнение: .

     Решение:

1. Рассмотрим функции g()=   и  f()=
2. E(g())=, т.к .
3. E(f())=, т.к , то .
4. g()=1 для функции g()= и f()=1 для функции  f()=, значит можно воспользоваться теоремой о ограниченности функции.

5. Составляем систему уравнений и решаем её:

Достаточно решить одно, более простое уравнение, и сделать проверку корней в другом уравнение.

 =1,

=0,

    lg(-2)=0,

=,

 1=,

 = 3.

          Проверка: если , то ,, -1 = -1, верно, значит      является решением исходного уравнения.  

     Ответ: 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение:

Преобразуем данное уравнение:

Рассмотрим функции  и

1. Е, т.к ,
2. Е, т.к  
3. Составляем систему уравнений и решаем её:

   Ответ:   .

1.2.  Решение неравенств.

Данный метод для решения неравенств основан на следующей теореме:

Пусть множество есть общая часть (пересечение) областей существования функций  и  и пусть для любого  справедливы неравенства  и  где - некоторое число. Тогда неравенство

равносильно системе уравнений

Пример 1.    

Обе части неравенства определены для всех действительных чисел . Для любого  , поэтому Следовательно, неравенство равносильно системе

которая, в свою очередь, равносильна системе

Единственное решение второго уравнения системы есть  Это число удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют одно решение

Ответ: -1.

Пример 2.

Обе части неравенства определены на множестве  Для любого  имеем

Поэтому неравенство равносильно системе уравнений

Первое уравнение системы имеет единственное решение , которое удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют одно решение .

Ответ: 3.

2. Метод неотрицательности функций.

     2.1. Решение уравнений.

Данный метод основан на следующей теореме:

Теорема:

 Пусть левая часть уравнения F(х)=0  (1), есть сумма нескольких функций F(x)=f(x)+f(x)+…+f(x) каждая из которых неотрицательна для любого х из области её существования.

Тогда уравнение (1) равносильно системе уравнений:

Пример 1.

Решите уравнение:

+=0,

.

Так как  и 0, то данное уравнение равносильно системе из двух уравнений:

Проверка:
если х=3, то   0 = 0, верно. Так как х = 3 является решением системы равносильной исходному уравнению, то оно является корнем первоначального уравнения.

  Ответ: 3.

Пример 2.  

Решите уравнение:

преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты двух выражений

(х+22)+(2-1)=0.

Так как данные функции f(x)=(x+22) и g(x)=(2-1) неотрицательны, то данное уравнение равносильно системе двух уравнений:

Проверка: если x = 0, то 2 = 0, неверно.

Так как уравнение  имеет единственное решение

 x = 0, которое не является  решением второго уравнения , то система не имеет решений, следовательно первоначальное уравнение не имеет решений.

  Ответ: нет решений.

    2.2.  Решение неравенств.

Данный метод для решения неравенств основан на следующей теореме:

Пусть левая часть неравенства  есть сумма нескольких неотрицательных функций , каждая из которых неотрицательна для любого  из области определения ее существования, тогда данное неравенство равносильно системе уравнений

Пример 1.

Так как для любого  справедливы неравенства

 и  , то

данное неравенство равносильно системе уравнений

Второе уравнение системы имеет два решения:  и . Из этих чисел только  удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеют единственное решение

Ответ: 2.

Пример 2.

Каждая функция  и  неотрицательна для любого  из области ее существования. Поэтому неравенство равносильно системе уравнений  

Первое уравнение системы имеет два решения:  и . Из этих чисел только 4 удовлетворяет второму уравнению системы. Следовательно, система и неравенство имеет одно решение .

Ответ: 4.

3. Метод использования области допустимых значений .

     3.1. Решение уравнений.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения подстановкой чисел из ОДЗ.

  Пример 1. Решите уравнение:

  Решение:

ОДЗ этого уравнения состоит из всех , одновременно удовлетворяющих условиям   и , т.е ОДЗ есть пустое множество, значит ни одно из чисел не может являться решением, т.е.это означает, что уравнение корней не имеет.

Ответ: нет корней.

Рассмотрим ещё один пример.

  Пример2. Решите уравнение:

Решение:

ОДЗ этого уравнения состоит из чисел, удовлетворяющих условиям   т.е. ОДЗ есть   Сделаем проверку, подставив эти значения в уравнение, получим верное равенство.

Ответ:  

   3.2. Решение неравенств.

Суть этого метода в следующем:  если при рассмотрении неравенства выясняется, что обе его части определены на множестве  М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования неравенства, достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного неравенства.

Рассмотрим этот метод на следующих неравенствах:

Пример 1.          

    1.Найдем область допустимых значений неравенства и объединим их в систему:

     2.Решим эту систему:

3. Решением этой системы являются два числа: и .

4.Сделав проверку  в первоначальное неравенство, x = 1 не удовлетворяет  ему. Следовательно, решением неравенства является x = 5.

Ответ: 5.

Пример 2.                

1. Найдем область допустимых значений неравенства и объединим их в систему:

        2.Эта  система не имеет решений, а значит и данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4. Метод использования свойств синуса и косинуса.

    4.1. Решение уравнений.

Решение некоторых тригонометрических уравнении может быть сведено к решению систем уравнений. Примерами таких уравнений могут быть следующие:

где , , А и В – данные отличные от нуля числа, m и n – данные натуральные числа. При этом используются следующие свойства: если для некоторого числа  справедливо строгое неравенство или  , то такое число  не может быть корнем ни одного из уравнений  данного вида.

 Пример 1. Решите уравнение:  (1)

Решение:

1. Если число - решение уравнения (1), то sin=1 или sin=-1.
2. Если , то из уравнения (1) следует, что , а это невозможно.
3. Если sin=1, то cos4=1.
4. Eсли sin=-1, то cos4= - 1.
5. Следовательно, любое решение уравнения (1) является решением совокупности двух систем уравнений

 (2)

 (3)

6. Первое уравнение системы (2) имеет решения .

Все они удовлетворяют второму уравнению системы (2), т.е. являются её решением.

7.  Первое уравнение системы ( 3) имеет решения . Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению системы (3). Поэтому система (3) не имеет решений.
8. Значит, все решения уравнения (1) совпадают со всеми  решениями системы (2).

Ответ:

4.2. Решение неравенств.

Аналогичные рассуждения могут применяться и при решении неравенств.

Рассмотрим следующий пример:

Пример 1.

Решение.

1.Допустим -решение данного неравенства, тогда  так как в противном случае было бы справедливо неравенство что невозможно. Следовательно, решением неравенства является решение системы:

2. Решая первое уравнение, получается  Это решение удовлетворяет второму уравнению. Значит, это решение является решением неравенства.

Ответ:

5. Метод использования числовых неравенств.

     5.1. Решение уравнений.

Применяя то или иное числовое неравенство к одной из его частей уравнения, его можно заменить равносильной ему системой уравнений. Примером такого неравенства является неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, где a и b – неотрицательные числа, причём равенство здесь возможно лишь при a=b.

Можно использовать следствие из этих неравенств, например, , при , причём  тогда и только тогда, когда , или  при , причём  

 тогда и только тогда, когда

Пример 1. Решите уравнение:

Решение.

1. ОДЗ=R.
2. Преобразуем левую часть:

причём она равна четырём, если x=0.

3. Правая часть при х=0 также равна четырём, а для всех меньше четырёх

          4. Следовательно, х=0 , единственное решение

Ответ: х = 0.

Пример 2. Решите уравнение:

.

   Решение.

1. Введём новые переменные: , , где a>0 и  b>0.
2. Перепишем левую часть уравнения и докажем, что
3. Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

 и ,откуда

 т.е.

    4. ОДЗ:                                            

   5. Так как , а

то данное уравнение равносильно системе из двух уравнений

  6. Из второго уравнения системы находим его решения  и . Подставим эти значения в первое уравнение системы,  получим верное равенств, следовательно, они являются его решением. Значит,  и являются  решением исходного уравнения.

Ответ:  и .

5.2.  Решение неравенств.

Пример.

1. Преобразуем  левую часть неравенства, получаем:

Применяя формулу этого метода, получаем, что для любого x справедливо неравенство:

Равенство здесь справедливо, когда x=0.

 Так же для любого x справедливо неравенство:

,

Равенство здесь справедливо, когда x=0.

2.Следовательно, неравенство имеет одно решение x=0.

3. Из последних двух неравенств следует, что исходное неравенство справедливо лишь тогда, когда обе части исходного неравенства равны 4, а это возможно лишь при х = 0.

Ответ: 0.

6. Метод использования производной.

     6.1.  Решение уравнений.

       Использование монотонности функции.

     Пример 1. Решите уравнение: 

     Решение:

1. Рассмотрим функцию 
2. D
4.  Эта производная принимает только положительные значения на всей области определения, значит функция  возрастает. Следовательно, она принимает каждое своё значение только в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.
5. Подбором находим, что  .

     Ответ:  

       Использование наибольшего и наименьшего значений функции

    Пример 2. Решите уравнение: .

     Решение:

1. ОДЗ уравнения есть интервал  .
2. Рассмотрим функцию  на отрезке
3.  

5.   Так как функция непрерывна на своей области определения, то её наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел , ,
6.   Наибольшее значение есть , следовательно уравнение имеет  единственный корень .

   Ответ: 3.

Применение теоремы Лангранжа.

Теорема: Если функция  непрерывна на отрезке  и имеет производную на интервале , то найдется такая точка с интервала , что .

Пример 3. Решите уравнение:

Решение.

1. Подбором находим, что  и . Докажем, что других корней уравнение не имеет.
2. Предположим, что уравнение имеет три корня
3. Рассмотрим функцию . Она непрерывна на всей числовой прямой.
4. Найдем её производную: . Данная функция тоже непрерывна на всей числовой прямой.
5. По теореме Лагранжа имеем

6. Значит, существует хотя бы две точки  и , в которых производная  функции f(x) равна нулю.
7.  Уравнение  имеет только один корень.
8. Значит , заданное уравнение имеет два корня: -2 и 1.

Ответ: -2, 1.

1. 6.2. Решение неравенств.

Пример1. Решить неравенство

Решение.

1. Рассмотрим функцию

D(f) = ().

2. D() = ().  на области определения, значит функция f(x) возрастает на своей области определения и принимает каждое своё значение ровно в одной точке.

3. Тогда уравнение f(x) = 0  может иметь не более одного корня и таким корнем является х = 0.

4. Определим знаки функции: так как функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то для  x < 0 имеем f(x)<0, а для      x >0 имеем f(x)>0.

5. Значит , решением исходного неравенства являются все х из промежутка (0;).

Ответ: (0;).

7. Решение неравенств методом замены функций.

Данный метод основан на следующем утверждении:

Если область определения, нули и промежутки знакопостоянства функции  соответственно совпадают с областью определения, нулями и промежутками знакопостоянства функции , то неравенства

и

равносильны. 

     Это утверждение означает то, что если одна из функций  или  имеет более простой вид, то при решении этих неравенств ее можно заменить на другую. Рассмотрим основные примеры таких пар функций.

        Функции

 и

Области определения функций  и  совпадают. Кроме того, при :

Следовательно, для функций  и  условия утверждения выполнены.

Пример 1.  Решите неравенство

Приведем числитель дроби к основанию 2, а знаменатель к основанию 5.

Последнее неравенство решается методом интервалов, его решением является объединение промежутков 

Ответ:

Функции

 и .

Области определения функций   и  совпадают. Кроме того,

Следовательно, для функций  и  условия утверждения выполнены.

Пример 1.

Последнее неравенство решаем методом интервалов.

Ответ:

Пример 2.

Данное неравенство равносильно неравенству

Множество  - решение последнего неравенства.

Ответ: .

Функции

 и ,

 где при четном .

При нечетном  утверждение   справедливо. Кроме того, при четном области определения функций совпадают, и

Следовательно, при четном  для функций  и  также выполнены условия утверждения.

Пример 1.

Так как  и , то

Ответ:

Пример 2.

Так как  и , то

Решив последнюю систему методом интервалов, получаем

Ответ:

Функции

, при  и

Области определения функций  и  совпадают. Кроме того, при :

Следовательно, для функций  и  при  выполнены условия первоначального утверждения.

Пример 1.

Это неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Пример 2.

Это неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Изложенные методы решения эффективны при решении неравенств, левая часть которых представляет собой произведение или частное двух функций указанных выше видов, а правая часть равна нулю.

Для того , чтобы  успешно  решать такие уравнения и неравенства , предлагаем придерживаться общего алгоритма:

1.Визуально проанализировать уравнение(неравенство)

( определить тип, не спешить раскрывать знак модуля, скобки, возводить в степень)

2. Преобразовать, если необходимо
3. Определить способ решения и учитывать его особенности при выполнении
4. В процессе преобразований необходимо постоянно следить за областью допустимых значений и равносильностью преобразований
5. Уравнение – проверка!

Заключение.

Работа над данной темой была интересной и познавательной. Изучив новые методы решения уравнений и неравенств, мы обогатили свой опыт:

1. Новыми научными понятиями
2. Научились работать со справочной литературой
3. Узнали методы, которые выходят за рамки школьной программы
4. Углубили и расширили свои знания

Самыми трудными оказались методы: применение производной: использование теоремы Лагранжа( ещё требует дополнительного изучения), использование свойств синуса и косинуса, использование числовых неравенств.

Также мы приобрели навыки пользователя компьютера:

1. Форматирование и редактирование текста
2. Работа с редактором формул в Microsoft Word
3. Работа с мастером функций в Microsoft Excel

Данные методы позволяют рационально решать сложные уравнения и  неравенства, а порой являются и единственными способами. Для того, чтобы овладеть этими методами, необходимо иметь прочные навыки по стандартным методам, преобразованиям, знать много теоретического материала и дополнительно решать.

Литература.

1. Никольский С.М. « Алгебра и начала анализа . 11 класс», Москва,               « Просвещение» - 2004.
2. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко « Уравнения и неравенства», Москва, «Экзамен» - 1998.
3. Журнал « Математика для школьников», № 4 – 2005.
4. С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко  «Уравнения и неравенства. Нестандартные методы», Москва, « Дрофа» - 2002.
5. Школьная энциклопедия « Математика», Москва, « Дрофа» - 1997.
6. Мордкович А.Г. « Алгебра и начала анализаю 10-11 класс. Учебник и задачник», Москва, « Мнемозина» - 2002.
7. Медиаресурсы: «Вся математика», « Повторяем весь школьный курс»,     « Алгебра 7 – 11».