Исследование математических ребусов

                                                     МОУ СОШ №7

Исследование математических                          ребусов

Автор  Михалин Никита, ученик 8 «Б» класса

Руководитель Михалина Е. А., учитель математики

2009 год

Содержание

1. Введение

2. Примеры математических ребусов

     2.1.Сложение

     2.2.Вычитание

     2.3.Умножение

     2.4.Деление

3.Ребусы в стихах

4.Ребусы с ключевыми словами

5.Ребусы различных видов

6.Способы решения некоторых ребусов

7.Результаты исследования школьной олимпиады

8.Заключение

9.Список литературы

1.Введение

   Каждый из нас изучает математику с первого дня пребывания в школе и будет ее изучать до окончания школы. Кому же придется продолжать учебу в старших классах с физико-математическим уклоном или в высших учебных заведениях после окончания школы, тот более основательно познакомлен с этой удивительной наукой. Еще в древности одним из важнейших достоинств человека считали владение математическими знаниями. В Индии, например, только тот юноша считался подготовленным к жизни, кто овладел искусством решения задач, физических упражнений и стихосложения.

   Слово «математика» в переводе с греческого означает знание, наука. Не говорит ли уже это о ее месте среди наук? Непрерывно возрастают роль и значение математики в современной жизни. В условиях научно-технического прогресса труд приобретает все более творческий характер и к этому надо себя готовить за школьной партой.

    Необходимость выполнять арифметические действия (вычислять) так же, как и считать, диктуется практикой, самой жизнью.

    Понятие арифметических действий в разные времена у разных пародов было различным. Древние египтяне к арифметическим действиям относили сложение, удвоение и деление пополам. Позже некоторые европейские ученые (XIII в.) насчитывали 9 арифметических действий, в том числе и нумерацию. В первом учебнике по математике для «российского юношества» «Арифме тике» - Л. Ф. Магницкого (1703) нумерация чисел тоже относилась к арифме тическим действиям.

   Для обозначения арифметических действий сначала употреблялись слова, затем - буквы. Знаки «+», « — » и точка как знак умножения впервые употреблены в учебниках по арифметике в XV в., а знак деления (две т очки) - в XVII в., по окончательно все чти знаки утвердились в работах выдающегося немецкого ученого Г. В. Лейбница (XVII в.).

Не правда ли, что знаки эти удобны в употреблении и их совсем нетрудно запомнить и записать? Справедливы полушуточные стихи:

          Как нет на свете без ножек столов,

          Как нет на свете без рожек козлов,

          Котов без усов и без панцирей раков,

          Так нет в математике действий без знаков.

  При разгадке математических ребусов  надо не только уметь хорошо вычислять, используя знания об арифметических действиях  их свойствах, по и проявить смекалку, терпение, выдержку и настойчивость. Это поможет вам преодолеть трудности и вас непременно ожидает успех.

Объект исследования: математические ребусы различных видов.

Цели и задачи работы:

- найти занимательные математические ребусы различных видов;

- исследовать возможные пути решения ребусов;

- провести исследование школьного тура олимпиады по математике.

Актуальность.

Материал данной работы может быть использован на уроках, на занятиях математического кружка и для подготовки к олимпиадам.

2.Примеры математических ребусов

  Рассмотрим задачи, где требуется вос становить первоначальный вид арифме тического примера, в котором все или часть цифр заменена точками или буква ми. В буквенном ребусе каждая буква означает одну определенную цифру. Оди наковым буквам соответствуют одинако вые цифры. В ребусах с точками каждая точка может обозначать любую из десяти цифр - от 0 до 9. Одни цифры могут повторяться несколько раз, а другие вообще оставаться неиспользованными. Ни одно число не начинается нулем. Рас шифровать ребус - это значит восстано вить первоначальную запись примера.

При решении, задач такого типа требу ется внимательность  к очевидным ариф метическим действиям и умение вести нить логических рассуждений.

        2.1.Сложение        

         А           6             СИНИЦА        342457          КАФТАН        364768                                                                            

   +  АБ     + 67          + СИНИЦА     + 342457      + КАФТАН    +  364768                                                                  

    АБВ      674              ПТИЧКИ         684914         ТРИШКА        729536                                                         

    БВБ      747                                                                                                                

         ОЗОРНИК       4748253                    РЕШИ          9382                  СПОРТ          43972

            ЗОРНИК         748253               +    ЕСЛИ       + 3152              + СПОРТ       + 43972

              ОРНИК           48253                   СИЛЁН        12534                 КРОСС          97944

        +       РНИК    +       8253

                    НИК               253                    ТУЗИК               ОДИН   (этот ребус имеет 13

                       ИК                 53                 + ТУЗИК           + ОДИН    вариантов решений!)    

                          К                   3                  КАРТУЗ               ИДВА        

         5 5 5 3 3 2 1       5553321

        ОХОХО         90909              ТРИ      769                БУЛОК        87130

    +  АХАХА     +   10101          + ДВА   + 504            +    БЫЛО     +  8213

      АХАХАХ        101010          ПЯТЬ     1273               МНОГО       95343  

       СНЕГ          5324               МОРЕ         5324                 ЛЕТО                 А           6    

    + СНЕГ      + 5324            + МОРЕ      + 5324              + ЛЕТО           + АБ      + 99          

   ВЬЮГА        10648            ОКЕАН       10648               ТЕПЛО                А           6

                                                                                                                        ССС       111  

               Б                  2           АБВГ        1085            АБВГ         9541                                  

      АААА            9999        + ФГЕТ     + 9567        + ВБВА      + 4549                                                         

  +  АААА        + 9999          АБЕГР      10652         ГВДАД       14090                                        

      АААА            9999                                                                                                                        

    БАААА         29999        

ХОД + ХОД + ХОД + ХОД + ХОД = МАТ        

имеет много решений, например:                                  

123 + 123 + 123 + 123 + 123 = 615                                        

146 + 146 + 146 + 146 + 146 = 730

152 + 152 + 152 + 152 + 152 = 760

   НОС                   СТОЛ                 МУХА              ТРАССА            СПОРТ

+ СОН                + СТУЛ             + МУХА           + ТРАССА            + ПОРТ

 ЛЕТО                ДОСКА                 МУХА            КОСМОС                  ОРТ

                                  У=5                   СЛОН                                             РРРРР

    УДАР                   ШИФЕР                                  

 + УДАР               + ШИФЕР       

  ДРАКА                 КРЫША    

                                                                  2.2.Вычитание

         ТРИ        769            ПОДАЙ          10652                  ПЯТЬ       1273                                                                    

       - ДВА       - 504          - ВОДЫ          - 9067                   - ТРИ        -  769                                                        

         ЯРД          265           ПАША             1585                     ДВА           504    

    СНЕГ               МОЛ                   ОКЕАН         ИКС – А = ТРИ

  - КРУГ             - ЛОМ                   - ОМУТ         ИГРЕК – СОРОК = СОРОК

 СПОРТ                НОС                      ВОДА

                                                2.3.Умножение

       ДВА            209               ТРИ            153                  ГГГГ                2222

    * ДВА         * 209            * ТРИ         * 153                 * ГГГ               * 222

    ОЛЛО         1881               СРО            459                АААА                4444

  +  ЧОЯ      + 418__           ПАР              765           +  АААА            +  4444

 ЧИСЛО         43681        ТРИ___        153__          АААА                  4444

                                ЧИСЛО        23409         АБВВГДА           493284

        РЕБУС        79365                ЛОСИ             5291                

  *           С       *          5            *    ИКС          *   189               

    СССССС         555555          ПАРИС              47619

                                             +  ПОТОК           + 42328

                                                 ЛОСИ___           5291

                                                 СССССС            9999999    

        . . 3              123                  39        397               АБ         37         ВГД

    *  . . 3           * 163               *  3       *  34            * ВГ       * 21       *  АБ

       3 . .           20049             . . 8 .     13498               АБ       777        ЕДЖ

     . 3 .                                  1191                            Б .__                    ВГД__

   . . 3                                     1. .98                           БББ                   ББВЖ

   . . . . .

  АБВ                                              ТРИ                               СЕМЬ

  * ГД                                           * ТРИ                            * СЕМЬ

   ЕДВ                                            ИВЫ                              .  .  .  .

ГДВ_                                           РОВ                            .  .  .  .  

ИЗБВ                                        ТРИ___                      .  .  .  .____

                                                  ТАТРЫ                      .  .  .  .  .  .  .

              ИГРЕК                  СТО                       ПОП                 НАУКА

           * ИГРЕК               * СТО                    * ПОП               *            И            

          И . . ЕЩЕ                .  .  .  .                       ПОП                  ЖИЗНЬ

          ИГРЕК                 .  .  .  .___              ПОП

    .  .  .  .  .                     ДВЕСТИ                ПОТОП

 .  .  .  .  ._______

 . ИКС  .  .  .  .  .

               КАК                                         ДУБКИ                                                  

             * ТАК                                      * ГРОЗЫ                                                           

       .  .  .  .  .  .                                         .  .  .  БЫ                                              

      .  .  .                                                .  .  .  .  И                                              

.  .  .                                               .  .  И .  .  Р                                              

ТАБАК                                     .  .  .  .  .  Г______                                                                                 

                                                  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .                              

2.4. Деление 

   ТОКИО  ИО           ББВЖ    АВ           ДЫМКА    КА__        .  .  .  .  .  .    .  .  .    

 - ТОН        КИО       - ВД         ВГД       - ДАР           МАК         .  .  .            .  .  .  . , .  .  .  .

      КИ                          ЕВ                        ЯМК                                .  .  .

      -  ОН                      -  ДГ                    - ОКА                                  .  .  .

       ТИО                      ЕЖ                         АМА                                 .  .  .

       - ТИО                    - ЕЖ                      - АМА                                 .  .  .

                                                                                                                     .  .  .

                                                                                                                     .  .  ._

                                                                                          .  .  .  .

                                                                                                                        .  .  .  .

АБСД    СД_                     3 . . .   . 3                                    

СД          ВСД                   .  3                                                 НННЧН   ННН

   ЕС                                     .  .                                               НЧН

   ДЕ__                                 .  .                                                   НЧЧ

   ВСД                                 .  3  .                                                ЧЧЧ

   ВСД                                                                                            ЧЧН

         . . . . .                                                                                      ЧЧН

         . . . . .                                                                                      

           . . . . .                                                                   Ч – четные цифры

           . . . . .                                                                    Н – нечетные цифры

3.Ребусы в стихах

Задание 1. Веселый клоун Нибумбум

                   Сегодня мрачен и угрюм.

                   Что огорчает Нибумбума?

                   Пример решал он восемь раз, И каждый раз другая сумма!

                   Печальный случай! (А у вас?)

                   При решеньи не забудьте

                   (В том-то вся и четкость смысла!)

                   Одинаковые буквы - одинаковые цифры!

    КОШКА

 + КОШКА

    КОШКА

    СОБАКА

   Обратив внимание на то, что последние две буквы (цифры) слагаемых и суммы одинаковы, постараемся их расшифровать. Понятно,  что одна из этих букв (или А, или К) означает 0, а другая- 5. Может ли А = 5, чтобы К = 0? Остальные буквы рассматриваемые справа налево, расшифровываются в зависимости от этих двух. 

Сумма трёх А оканчивается на А, поэтому А= 0 или а = 5. Но, если А = 5, тогда                    (К + К + К + 1) не может оканчиваться на К. Следовательно А = 0, К = 5. Так как ( Ш + Ш + Ш + 1) оканчивается на А = 0, то Ш = 3. Так как К + К + К = 15, то С = 1. Имеем

      5*350                   56350                   57350

  +  5*350                + 56350               + 57350

      5*350                   56350      или      57350

    1**050                 169050                172050

Задание 2.

                                                     ЗАДАЧА ОЧЕНЬ НЕПРОСТА –

                                                     НАЙТИ НЕ КАЖДЫЙ СМОЖЕТ:

                                                     ЧЕМУ РАВНЯЕТСЯ ЗВЕЗДА,

                                                     ВЕЛОСИПЕД И ЁЖИК?

Данный ребус интересен тем , что слова обозначают только 1 цифру.

ВЕЛОСИПЕД          ЕЖИК               7

+        

      ЗВЕЗДА                 ЕЖИК                4

         6                    ВЕЛОСИПЕД     ЕЖИК

1 ВЕЛОСИПЕД                0                ЗВЕЗДА 

   Расшифровку ребусов попробуем начать с рассмотрения средней колонки слагаемых и их суммы. При сложении двух одинаковых чисел и третьего, отличного от них, при условии передачи единицы из низшего разряда получаем число, оканчивающееся цифрой 0. Какой же может быть сумма

                             ЕЖИК + ЕЖИК + ВЕЛОСИПЕД?

    Из двух значений удовлетворяет лишь одно. Имея сумму трёх слагаемых (ЕЖИК, ЕЖИК, ВЕЛОСИПЕД), устанавливаем, какие слагаемые удовлетворяют условию задачи. Получив «ключ» легко откроем «замок».            

(ЕЖИК + ЕЖИК + ВЕЛОСИПЕД + 1) оканчивается цифрой 0. Значит, (ЕЖИК + ЕЖИК + ВЕЛОСИПЕД) = 9 (или 19). Равенство ЕЖИК + ЕЖИК + ВЕЛОСИПЕД = 19 невозможно. Значит, возможна сумма 9, тогда из случаев 1 + 1 + 7 = 9, 2 + 2 + 5 = 9, 3 + 3 + 3 = 9, 4 + 4 + 1 = 9 подходит только 2 + 2 + 5 = 9. В результате ЕЖИК = 2, ЗВЕЗДА = 3, ВЕЛОСИПЕД = 5:

Ответ: 527 + 324+ 652 =1503

4. Ребусы с ключевыми словами

  Ниже представлены ребусы, в которых цифры зашифрованы буквами, причем раз ным цифрам соответствуют и разные бук вы. Между зашифрованными числами по ставлены математические знаки, показы вающие действия по горизонталям и по вертикалям. Путем рассуждений нужно восстановить числовые значения букв так, чтобы выполнить указанные действия. Рас ставив буквы соответственно их число вому значению (от 1 до 9 включая 0), получите ключевое слово.

1)  ТА+ ИТ =     ЛЕТ                            2)   КРА + ОЛИ = ИАЯ

      X      -          +                                         X          :           -

      ЕС х СН =   ЛЛАС                                     Л   х  АР= КЯИ

     ЛЕАА +  ЕЦ =  ЛЕЕЦ                           ОИИ +    АЛ = РКА

 3) СТУН + САРН + ЕАТД = ДНЕЕ

      -             -            +           -

     ЛОЕН-ЛЕУН +САРН = СЕТН

     ЕЛОА - ЛДСА + ТЛТТ = ТОУТ

4) УЕИ - ЕАС = СЕУ                           5)  ИЦГ-УАЕ = ЕИН

  :          +         -                                       :          +         -    

   БЕ   х    Т = НЕ                                      ИГ х     Е = СЕЕ

   ПП+ЕАЦ=ЕУС                                       ГГ + УГА = УУГ

6) ВЕОЬ :   МЕ   =  ОК                              7) МЕЛ  : СЛ -=  СП

         -           х           +                                         -           х        +

     СВС + В Р =   ССА                                   ЕФФ + ЛС = ЕРА

     ВСВВ-КМО = СМК                                    РАО - ОАС=САЛ

8)  АЕО - КЦЦ =  ИСЕ                      

        :           -          -

       Л   X   КОН = ЛИЦ

     ЛКЕ   + НО = ЛИН

Ответы: 1) Лестница; 2) Калория ; 3) Лесотундра; 4) Беспутница; 5) Гусеница;

 6) Восьмерка; 7) Лесоферма; 8) Колесница.

  Существуют числовые ребусы в виде примеров деления. Делимое и делитель выглядят как обычные слова. Частное и промежуточные выкладки представляют неосмысленные сочетания букв. Решив ре бус, расположите буквы в порядке их цифро вых значений (от 1 до 9 и включая 0) -получится третье слово, которое являет ся ответом и называется ключом ребуса.

Загадывающий задумывает слово, состоящее из 10 неповторяющихся букв, например «трудолюбие», «специально», «просвещать». Приняв буквы задуманного слова за цифры, загадывающий изображает посредством этих букв какой-нибудь случай деления. Если задумано слово просвещать, то можно взять такой пример деления:

 просвещать       123564   3548               провес     овса

12345657809       10644       34                 пьесс       ос

                               17124                            пщпрс

                               17192                            пспрс

                                 2932                              ртор

Делимое – провес, 123564

Делитель – овса, 3548

Можно взять и другие слова:

   восстать    свет                        

   свет           ппета

       щщвт

       свет

       оптьа

        рщспс  

          сстст

          сппрт

            оараь

            оеввр

               пщра

делимое – восстать 53449890

делитель – свет 4569

трудолюбие                           блюдо    труд

1234567890                             блуб         юе

                                                    уло

делимое – блюдо, 86745

делитель – труд, 1234

5. Способы решения некоторых ребусов

Среди математических задач и развлечений часто встречаются числовые ребусы или крипторифмы. Вот несколько из них. В этих примерах все цифры заменены буквами.

Одинаковы ми буквами обозначены одинаковые цифры, а разными буквами - неодинаковые цифры. Требуется восстановить первоначальный вид примера.

                            УРАН

Задание  1.     + УРАН

                        НАУКА

Решение подобных задач достигается не механическим перебором вариантов, а строго логически. Можно рассуждать, напри мер, так:

сумма двух четырехзначных чисел равна пятизначному. Это возможно, если буква Н обозначает 1:

                        УР21

Значит, буква А обозначает цифру 2:       +  УР21

                                                                       12УК2

                                                                  6Р21

Далее, буква У обозначает цифру 6:  + 6Р21                                                                                        

                                                                126К2

Таким образом, буква Р обозначает цифру 3, буква К- цифру 4.                                  

                                      6321

Окончательно           + 6321                                                                                                                                                                                       

                                    12642                              

Решение единственное.                                                                                                                    

Задание  2. Восстановить цифры в примере (число СТО делится на 139).

                                                                           ВОРОН

                                                                          + СТАЯ

                                                                        ЛЕТЕЛА                                                                          

Решение. Заметим, что сумма пятизначного и четырехзнач ного чисел может быть шестизначной только когда первая цифра суммы 1, вторая цифра 0, а первая цифра пятизначного числа 9.

                                                                        9ОРОН

Поэтому данный пример принимает вид  + СТАЯ                                                                           

                                                                        10Т01А                                                                                                                                                                        

 Так как СТО делится на 139, то оно является одним из следующих чисел: 139, 278, 417, 556, 695, 834, 973, и поскольку разные буквы обозначают разные числа, то надо рассмотреть только два случая: СТО = 278 и СТО = 834.                                   

 В первом случае в разряде тысяч «сверху вниз» стоят цифры 8, 2, 7, но при сложении 8 + 2 даже при переносе единицы из разряда сотен не может получиться цифра 7, и, следовательно, этот случай невозможен, т.е. = 834. Теперь пример принимает вид:

      94Р4Н

    + 83АЯ   .

    10301А  

Ясно, что при сложении в разряде десятков переносится единица, и по этому Р = 6, и из того же разряда десятков видно, что А = 7. Для букв Н и Я остаются две возможности: одна из них 2 другая 5.

   Таким образом, данный пример расшифровывается двумя способами:                      

 103017            103017          

 -  8375             -  8372    

   94642              94645

 Задание 3.    ДВА

                 * ДВА

                    ****

          +     ***В

               Е***   

            ЧЕТЫРЕ

Решение: буква А обозначает не единицу, не пятёрку и не шестёрку, так как последние цифры множителей и произведения разные. Значит, второе частное произведение

ДВА * В = ***В

Может оканчиваться буквой В, только если она обозначает пятёрку, а буква А- какую-то нечётную цифру.

Из столбца шестого разряда видно, что Е меньше Ч. Следовательно, Е не может обозначать девятку, поэтому А не может быть тройкой или семёркой. Отсюда А = 9, Е = 1. После этого несложно найти, что Ч = 2, Д = 4.

       Окончательно,        459

                                     * 459

                                      4131

                                +  2295

                                  1836    

                                  210681

Решение единственное.

6. Ребусы различных видов

Задание 1. Расшифруйте числовой ребус

                                  СЛОВ,О + СЛОВ,О = ПЕСНЯ

Обратив внимание на то, что при сложении двух одинаковых дробей получаем целое число, определяем цифру, обозначенную буквой О. Определяется также сразу цифра, обозначенная буквой П, так как в целой части каждого слагаемого по 4 цифры, а в полученном результате 5.  Так как Н = 1 то для Н остаётся одно значение. Какое? Методом проб определяем остальные цифры.

Запишем выражение в столбик  

                                  СЛОВ,О

                              +  СЛОВ,О

                                   ПЕСНЯ

Так как в результате получим целое число, то О = 5. Буква П может обозначать только цифру 1, тогда Н = 0. Так как С    5, то методом проб находим С = 9, Л = 4 и тд.

 Получаем 9453,5 + 9453,5 = 18907.

Задание 2. Расшифруйте ребус возведения числа в степень.

(АР) М =МИР      (16) 2 =256

Задание 3. Расшифруйте ребусы с иностранными словами и буквами.

     SNEG         DONALD                     526485                            FIN (один)               821            

 + KRUG      + GERALD D = 5       + 197485                            FIN                            821

   SPORT          ROBERT                   723970                          + FIN                        + 821

                                                                                                       FIN                            821

  VINGT        94581            HUIT        8253                            VIER (четыре)         3284

 + CING       + 6483         + HUIT    + 8253                            

    CING          6483           SEIZE       16506                     SEPT         9834

 PENTE      107817                                                          + SEPT     + 9834

                                                                                                 SIХ          906

ankylose * ny = neoneoneo                                              VINGT      20574

12345679 * 24 = 296296296

               THIS               4379                           LEONARD              12345678

         *         IS            *     79                         - 1 2 3 2 5551            -12325551

          .  . TOO             39411                                 EULER                    20127

      HARD .__           30653                                                     

       .  .  .  .  .  .            345941                                            

Задание 4. Расшифруйте числовые ребусы, выполняя действия как по горизонтали, так и по вертикали.

АБК    :   НК     =   НК         961    :   31   =   31        АБ   + ЛДП  =  ПЛФ     37    +  182  =  219

-               х               +          -             х           +           х           -          +            х            -          +

ВИЕ   +  КН     =  ВЕК        257    +   13  = 270         ЛК   х   Ф     =  ЛПО      14   х    9   =   126

ЕЛП  -  ПЛН    =  НЛК       704   -  403   = 301         РЛД - ЛБА  =  АКР       518  -  173  = 345

АБО   - ДАО   = ЕОЛ        396   -   136   = 260         АВВ   :  КВ   =   БЛ       744  :  24     =   31

:       +              -                  :       +              -                -              х           +         -          х            +

  ДЕ   х    М     =   ПФ          12    х    7   =  84            ЛПВ   -  ЛБ  =  КРД        194  +  13    = 207

АА   +  ДФА =  ДМО        33   +   143  =  176           ММР - БЛК = КБС        550  -  312  = 238

РСР   -   ВР  =  НЯЛ         242    -   62   =  180         АБВГ  :  ДБ    =   ВЕ      1624  :  56   =   464

:               +           -           :                +          -           -               х           +          -            х           +

НН    х    Я   =    ЯЯ          11      х    8    =  88           ЖАЖ  + АК = ЖЖИ        313   +  17  =  330  

РР     +  ФЛ   =  ЮР          22     +    70   =  92           АЖАА-ЕДВ=ЖДЕ        1311  -  952  = 359

                          7. Результаты  исследования математической

олимпиады (школьный тур)

  Одним из шести предложенных заданий олимпиады был математический ребус, заданный в виде крипторифмы. Все 69 участников приступили к этому заданию, верно выполнили – 62. Результаты олимпиады свидетельствуют о том, что по сравнению с другими заданиями буквенные ребусы вызвали у учащихся интерес. Большинство ребят решали в первую очередь это задание.

8. Заключение

        Задачи, представленные в занимательной форме, очень интересны. Их хочется решать, они увлекают своей необычностью, неочевидностью ответа. Появляется желание совершить пусть даже нелёгкий путь поиска решения. Занимательность и строгость вполне совместимы. Каждое самостоятельно решенное задание – это возможно, небольшая, но всё же победа.

9. Список литературы

1. Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики – М.: Просвещение, 1990.
2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: пособие для учащихся. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение,1984.
3. Шейнина О.С., Соловьёва Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5 – 6 кл. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2005.
4. Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. - ср. шк. – М.: Просвещение, 1992.  
5. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире чисел. Издательство Русанова, состав. 1994.