Проект по теме" Многогранники"

Слайд 1

Слайд 2

Не редко мы задаемся вопросом что же такое многогранники ,но редко кто может ответить на этот вопрос и поэтому мы ответим на этот вопрос в конце моего доклада и перейдем к рассмотрению многоугольников…….

Слайд 3

Итальянский учёный-францисканец Лука Пачоли на рубеже 15-16 вв. писал и публиковал математические труды, которые иллюстрировал, в том числе, Леонардо да Винчи. На портрете Пачоли (он в центре, а автор - не Леонардо да Винчи) - многогранники (один стеклянный, наполовину полон водой):

Слайд 4

"Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук". Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько? Оказывается, ровно пять - ни больше ни меньше. Подтвердить это можно с помощью развертки выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360о, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника). «Правильные многогранники»

Слайд 5

Что такое многогранник? Многогранником называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного).

Слайд 6

Какие же они бывают? "тетраэдр» - "четырехгранник«; "октаэдр» - "восьмигранник«; "гексаэдр» - "шестигранник«; "додекаэдр» - "двенадцатигранник«; "икосаэдр» - "двадцатигранник«;

Слайд 7

Их виды:

Слайд 8

н екоторые из них: гранёный глобус фуллерены футбольный мяч посадочный кокон звук из динамиков пирит двойственные многогранники развертки многогранников

Слайд 9

Глобус не обязательно делать на основе шара. Можно использовать тот или иной многогранник. Например - куб. Впрочем, лучше выбрать что-то с б о льшим числом граней. По ссылке - набор готовых “многогранных” PDF с глобусами, для печати, вырезания и склеивания. гранёный глобус

Слайд 10

Как верно заметили в комментариях к предыдущему пятничному многограннику , усечённый икосаэдр образуют атомы углерода, составляющие фуллерен. Фуллерены - это такие особенные молекулы, впервые синтезированные, вроде бы, в 1985-м году: фуллерены

Слайд 11

Усечённый икосаэдр строится из правильных пяти- и шестиугольников и получается таким образом: у икосаэдра “срезают” каждую вершину - то есть, на месте вершины появляется грань, представляющая собой правильный пятиугольник. футбольный мяч

Слайд 12

Кокон был устроен таким образом, что успешно раскрывался и обеспечивал “выезд” робота изнутри, независимо от того, на какой грани кокон окажется после падения на поверхность Марса. посадочный кокон

Слайд 13

виде додекаэдров изготавливают “всенаправленные” динамики, как на картинке звук из динамиков

Слайд 14

пирит Пирит (минерал такой) при подходящих условиях образует кристаллы, по форме близкие к додекаэдру:

Слайд 15

Вполне исчёрпывающую подборку развёрток многогранников (в формате PDF, для печати) можно найти “у Вольфрама”, по ссылке . Например, там есть тела Архимеда - полуправильные многогранники (есть 13 типов этих многогранников, впервые их исследовал Архимед, правда, соответствующее его сочинение утеряно - так что в реальности теорию тел Архимеда разработал Кеплер). развертки многогранников

Слайд 16

двойственные многогранники Правильных многогранников - пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Это известно с античности. Если центры граней правильного многогранника принять за вершины нового многогранника, то получится правильный многогранник, дуальный (двойственный) исходному. Октаэдру двойственен куб. Икосаэрду - додекаэдр. Несложно догадаться, что тетраэдр дуален сам себе. Так что, в одном из смыслов, получаем три типа правильных многогранников. Понятно, правда, что никакого философского смысла в этом нет, а только геометрический.

Слайд 17

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным. Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода=воздух/огонь. Атомы "стихий" настраивались Платоном в совершенных консонансах, как четыре струны лиры. Напомню, что консонансом называется приятное созвучие. Надо сказать, что своеобразные музыкальные отношения в платоновых телах являются чисто умозрительными и не имеют под собой никакой геометрической основы. Этими отношениями не связаны ни число вершин платоновых тел, ни обьемы правильных многогранников, ни число ребер или граней . и стория ….

Слайд 18

Итак, было выяснено, что правильных многогранников ровно пять. А как определить в них количество ребер, граней, вершин? Это нетрудно сделать для многогранников с небольшим числом ребер, а как, например, получить такие сведения для икосаэдра? Знаменитый математик Л. Эйлер получил формулу В+Г- Р=2, которая связывает число вершин /В/, граней /Г/ и ребер /Р/ любого многогранника. Простота этой формулы заключается в том, что она не связана ни с расстоянием, ни с углами. Для того чтобы определить число ребер, вершин и граней правильного многогранника, найдем сначала число к=2у - ху+2х, где х - число ребер, принадлежащих одной грани, у - число граней, сходящихся в одной вершине. Для нахождения количества граней, вершин и ребер правильного многогранника используем формулы. После этого нетрудно заполнить таблицу, в которой приведены сведения об элементах правильных многогранников: многогранник Г В Р тетраэдр 4-4-6 гексаэдр 6-8-12 октаэдр 8-6-12 додекаэдр 12-20-30 икосаэдр 20-12-30 B+ Г-Р=2

Слайд 19

Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Откуда Бермудский треугольник?

Слайд 20

Звездчатые формы вместе с правильными и полуправильными телами образуют 66 тел. Это число почти удвоится, если к ним добавить невыпуклые однородные многогранники, у которых часть граней, состоящая из правильных многоугольников, является выпуклой, а часть оказывается вдавленной внутрь объема. Это свойство тел, с одной стороны, роднит их с правильными и полуправильными телами, а с другой — объединяет и со звездчатыми телами, которые могут покоиться на плоскости, только опираясь на несколько вершин или ребер. Особый класс образуют параллелоэдры , которыми можно заполнить все бесконечное пространство, не оставляя пустоты и без того, чтобы их внутренние объемы пересекались (рис. 3.73, позиции 26 – 30).

Слайд 21

С античных времен были известны пять правильных тел Платона — тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр, додекаэдр (рис. позиции 1 – 5).

Слайд 22

В Новое время Кеплер ввел звездчатый октаэдр ( stella octangula ), который получался в результате взаимного проникновение двух тетраэдров, построенных внутри куба. У него получилось, что из каждой грани одного тетраэдра торчит вершина другого тетраэдра в форме трехгранной пирамиды. Эта фигура уже не относится к выпуклым многогранникам, так как ее невозможно поставить, скажем, на стол одной какой-то гранью. Выпуклым называется такой многогранник, который остается по одну строну от плоскости любой своей грани. В многограннике Кеплера оказалось 14 вершин, 24 грани и 36 ребер. К звездчатым относятся и тела Пуансо (на рис. 3.73, позиции 6 – 9), у которых имеются самопересекающиеся грани. Они, как и звезда Кеплера, не противоречат определению многогранника, а это определение требует, чтобы каждое ребро многогранника разделяло две и только две грани . Если, двигаясь по граням и пересекая ребро за ребром, мы можем обойти весь многогранник по внешним, всегда видимым сторонам, не рискуя оказаться с внутренней стороны какой-нибудь из граней, то такой многогранник называется ориентированным , в противном случае — неориентированным . звездчатый октаэдр

Слайд 23

Его виды:

Слайд 24

Малый звездчатый додекаэдр - (рис.6.10) звездчатый додекаэдр первого продолжения. Он образован продолжением граней выпуклого додекаэдра до их первого пересечения. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует правильный звездчатый пятиугольник. Пересекающиеся плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к додекаэдру. Это двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра. При дальнейшем продолжении граней до нового пересечения образуется средний звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр второго продолжения. Последней же звездчатой формой правильного додекаэдра является звездчатый додекаэдр третьего продолжения - большой звездчатый додекаэдр. Он образован продолжением граней звездчатого додекаэдра второго продолжения до их нового пересечения. Малый звездчатый додекаэдр Подробнее…

Слайд 25

И…. Звездчатый октаэдр Звездчатый октаэдр - восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру (рис. 6.9.). Это малые тетраэдры основания которые совпадают с гранями октаэдра. его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба. Дальнейшее продление граней октаэдра не приводит к созданию нового многогранника. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник в 1619 году описал Кеплер (1571-1630) и назвал его stella octangula - восьмиугольная звезда.

Слайд 26

Развернутые виды многоугольников Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью.

Слайд 27

Призма - многоугольник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом призма

Слайд 28

Призматоид - многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники и трапеции, вершины которых являются и вершинами многоугольников оснований. Призматоид

Слайд 29

Тела платона: Тетраэдр - правильный четырехгранник (рис 6.4.). Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это правильная треугольная пирамида).

Слайд 30

Гексаэдр - правильный шестигранник Это куб состоящий из шести равных квадратов. Гексаэдр

Слайд 31

Октаэдр - правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины. Октаэдр

Слайд 32

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины Додекаэдр

Слайд 33

Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины Икосаэдр

Слайд 34

Теперь мы точно можем сказать, что есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. И к таким темам можно отнести "Правильные многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники.