Симметрия. Проектно-исследовательская работа

Симметрия.

Проектно–исследовательская работа.

Авторы: Сухова Анастасия, Краснова Анна, ученицы 8 класса МОУ СОШ №4.

Руководитель: учитель математики О. А. Куликова.

Выдвижение Формулировка проблемы. В чём заключается проблема? На какой вопрос предстоит ответить?

Цель   исследования.

Целью  нашей работы является изучение многообразия симметрии и ее использование. Выяснить: «Симметрия это –

• гармония и красота?
• равновесие?
• устойчивость?»

Задачи исследования:

• Найти симметричные фигуры и предметы в окружающем мире.
• Доказать, что действительно нас окружают симметричные предметы.
• Определить значение использования симметрии.

Для решения поставленных задач я должен провести собственное исследование:

• Изучить внешний вид насекомых, растений, птиц, животных, зданий, предметов быта.
• Показать  пути использования симметрии в жизни человека.

1. гипотезы. Каким может быть предположительный ответ?

Симметрия является той идеей,

посредством которой человек                                                  на протяжении веков пытался

постичь и создать порядок,

красоту и совершенство.

Г. Вейль.

2. Актуальность исследования.

В наше время, наверное, трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. Мир, в котором мы живем, наполнен симметрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. С симметрией мы встречаемся буквально на каждом шагу: в природе, технике, искусстве, науке.  Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого развития.  Издавна человек использовал симметрию в  архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

В настоящее время ученые расширяют свои учения о симметрии. Добавляются новые обширные разделы, такие как цветная симметрия, симметрия многомерных пространств и другие. Свои новые результаты они излагают в монографиях. Значит, выбранная нами тема актуальна.

3. Определение предмета исследования.

Понятие симметрия проходит через многовековую историю человеческого творчества.

Слово «симметрия» греческое, оно означает «соразмерность, одинаковость в расположении частей, пропорциональность». Его широко используют все  направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.

Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Если посмотреть на листья, бабочку, снежинку, то можно увидеть, что их объединяет то, что они симметричны. Также симметрию можно увидеть в природе, в предметах домашнего  обихода, в предметах, которых создал человек.  Творчество людей во всех своих  проявлениях тяготеет к симметрии. Действительно, симметричные объекты окружают нас со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде. Посредством  симметрии человек пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Это же имел в виду и французский архитектор Ле Карбюзье, когда писал, что «человеку необходим порядок; без него все действия теряют согласованность, логическую взаимосвязь…». Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.

Осевая симметрия — тип симметрии, имеющий два несколько отличающихся определения:

Отражательная симметрия. В математике осевая симметрия — вид движения, при котором множеством неподвижных точек является прямая, называемая осью симметрии. Например, плоская фигура прямоугольник в пространстве осе симметрична и имеет 3 оси симметрии (две — в плоскости фигуры), если это не квадрат.

Вращательная симметрия. В естественных науках под осевой симметрией понимают вращательную симметрию(другие относительно поворотов вокруг прямой. При этом тело (фигуру, задачу, организм) называют осе симметричными, если они переходят в себя при любом(например, малом) повороте вокруг этой прямой. В этом случае, прямоугольник не будет осе симметричным телом, но конус будет.

Центральной симме́три́ей относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X1, что A — середина отрезка XX1. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через ZA, в то время как обозначение SA можно перепутать с осевой симметрией. Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Фигуры обладающие осевой симметрией.                               У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии. А равносторонний треугольник - три основные симметрии.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии.

У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии, например, разносторонний треугольник. Центральная симметрия.                                                          1. Отрезок имеет две оси симметрии (серединный перпендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок) и центр симметрии (середина).

2. Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет одну ось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.

3. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120.

4. У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота.

Математик любит прежде всего симметрию

Максвелл Д.

Красота тесно связана с симметрией

Вейль Г.

Симметрия … является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство

Вейль Г.

Для человеческого разума симметрия обладает, по - видимому, совершенно особой притягательной силой

Фейнман Р.

Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Такое построение позволяет достигнуть впечатление покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий. В симметричной коипозиции люди или предметы расположены почти зеркально по отношению к центральной оси картины. Симметрия в искусстве основана на реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами. Например, симметрична устроена фигура человека, бабочка, снежинка и многое другое. Симметричные картины - статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены. В асимметричной композиции расположение объектов может быть самым разнообразным в зависимости от сюжета и замысла произведения, левая и правая половины не уравновешены. Композицию натюрморта или пейзажа легко представить в виде схемы, на которой ясно видно, симметрична или асимметрична построена композиция.

Симметрия в искусстве вообще и в изобразительном в частности берет свое начало в реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами.

Для симметричной организации композиции характерна уравновешенность ее частей по массам, по тону, цвету и даже по форме. В таких случаях одна часть почти зеркально похожа на вторую. В симметричных композициях чаще всего имеется ярко выраженный центр. Как правило, он совпадает с геометрическим центром картинной плоскости. Если точка схода смещена от центра, одна из частей более загружена по массам или изображение строится по диагонали, все это сообщает динамичность композиции и в какой-то мере нарушает идеальное равновесие.

Правилом симметрии пользовались еще скульпторы Древней Греции. Примером может служить композиция западного фронтона храма Зевса и Олимпии. В основу ее положена борьба лапифов (греков) с кентаврами в присутствии бога Аполлона. Движение постепенно усиливается от краев к центру. Оно достигает предельной выразительности в изображении двух юношей, которые замахнулись на кентавров. Нарастающее движение как бы сразу обрывается на подступах к фигуре Аполлона, спокойно и величественно стоящего в центре фронтона.

Представление об утраченных произведениях знаменитых живописцев V века до н. э. можно составить по античной вазописи и помпейским фрескам, навеянным, как полагают исследователи, произведениями греческих мастеров эпохи классики…

Симметричные композиции наблюдались и у греческих мастеров IV-III веков до н. э. Об этом можно судить по копиям фресок. В помпейских фресках главные фигуры находятся в центре пирамидальной композиции, отличающейся симметрией.

К правилам симметрии нередко прибегали художники при изображении торжественных многолюдных собраний, парадов, заседаний в больших залах и т. д.

Большое внимание правилу симметрии уделяли художники раннего Возрождения, о чем свидетельствует монументальная живопись (например, фрески Джотто). В эпоху Высокого Возрождения итальянская композиция достигла зрелости. Например, в картине «Святая Анна с Марией и младенцем Христом» Леонардо да Винчи компонует три фигуры в заостренный кверху треугольник. В правом нижнем углу он дает фигурку агнца, которого держит маленький Христос. Все скомпоновано таким образом, что этот треугольник только угадывается под объемно-пространственной группой фигур.

Симметричной композицией можно назвать и «Тайную вечерю» Леонардо да Винчи. В этой фреске показан драматический момент, когда Христос сообщил своим ученикам: «Один из вас предаст меня». Психологическая реакция апостолов на эти вещие слова связывает персонажей с композиционным центром, в котором находится фигура Христа. Впечатление целостности от этой центростремительной композиции усиливается еще и тем, что художник показал помещение трапезной в перспективе с точкой схода параллельных линий в середине окна, на фоне которого четко рисуется голова Христа. Таким образом, взор зрителя невольно направляется к центральной фигуре картины.

Среди произведений, демонстрирующих возможности симметрии, можно также назвать «Обручение Марии» Рафаэля, где нашли наиболее полное выражение приемы композиции, характерные для эпохи Возрождения.

Картина В. М. Васнецова «Богатыри» также построена на основе правила симметрии. Центром композиции является фигура Ильи Муромца. Слева и справа, как бы в зеркальном отражении, размещены Алеша Попович и Добрыня Никитич. Фигуры расположены вдоль картинной плоскости спокойно сидящими на конях. Симметричное построение композиции передает состояние относительного покоя. Левая и правая фигуры по массам неодинаковы, что обусловлено идейным замыслом автора. Но обе они менее мощные по сравнению с фигурой Муромца и в целом придают полное равновесие композиции.

Устойчивость композиции вызывает у зрителя чувство уверенности в непобедимости богатырей, защитников земли русской. Мало того, в «Богатырях» передано состояние напряженного покоя на грани перехода в действие. А это значит, что и симметрия несет в себе зародыш динамического движения во времени и пространстве.

Симметрия в химии проявляется в геометрической конфигурации молекул, что сказывается на специфике физических и химических свойств молекул в изолированном состоянии, во внешнем поле и при взаимодействии с другими атомами и молекулами.

Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии равновесной конфигурации: осями симметрии, плоскостями симметрии и т. д. (см. Симметрия в математике). Так, молекула аммиака NH3 обладает симметрией правильной треугольной пирамиды, молекула метана CH4 - симметрией тетраэдра. У сложных молекул симметрия равновесной конфигурации в целом, как правило, отсутствует, однако приближённо сохраняется симметрия отдельных её фрагментов (локальная симметрия). Наиболее полное описание симметрии как равновесных, так и неравновесных конфигураций молекул достигается на основе представлений о т. н. динамических группах симметрии - группах, включающих не только операции пространственной симметрии ядерной конфигурации, но и операции перестановки тождественных ядер в различных конфигурациях. Например, динамическая группа симметрии для молекулы NH3 включает также и операцию инверсии этой молекулы: переход атома N с одной стороны плоскости, образованной атомами Н, на другую её сторону.

Симметрия равновесной конфигурации ядер в молекуле влечёт за собой определённую симметрию волновых функций различных состояний этой молекулы, что позволяет проводить классификацию состояний по типам симметрии. Переход между двумя состояниями, связанный с поглощением или испусканием света, в зависимости от типов симметрии состояний может либо проявляться в молекулярном спектре, либо быть запрещенным, так что соответствующая этому переходу линия или полоса будет отсутствовать в спектре. Типы симметрии состояний, между которыми возможны переходы, влияют на интенсивность линий и полос, а также и на их поляризацию. Например, у гомоядерных двухатомных молекул запрещены и не проявляются в спектрах переходы между электронными состояниями одинаковой чётности, электронные волновые функции которых ведут себя одинаковым образом при операции инверсии; у молекул бензола и аналогичных соединений запрещены переходы между невырожденными электронными состояниями одного и того же типа симметрии и т. п. Правила отбора по симметрии дополняются для переходов между различными состояниями правилами отбора, связанными со спином этих состояний.

У молекул с парамагнитными центрами симметрия окружения этих центров приводит к определённому типу анизотропии g-фактора (Ланде множитель), что сказывается на структуре спектров электронного парамагнитного резонанса, тогда как у молекул, ядра атомов которых обладают ненулевым спином, симметрия отдельных локальных фрагментов ведёт к определённому типу расщепления по энергии состояний с различными проекциями ядерного спина, что сказывается на структуре спектров ядерного магнитного резонанса.

В приближённых подходах квантовой химии, использующих представление о молекулярных орбиталях, классификация по симметрии возможна не только для волновой функции молекулы в целом, но и для отдельных орбиталей. Если у равновесной конфигурации молекулы имеется плоскость симметрии, в которой лежат ядра, то все орбитали этой молекулы разбиваются на два класса: симметричные (s) и антисимметричные (p) относительно операции отражения в этой плоскости. Молекулы, у которых верхними (по энергии) занятыми орбиталями являются p-орбитали, образуют специфические классы ненасыщенных и сопряжённых соединений с характерными для них свойствами. Знание локальной симметрии отдельных фрагментов молекул и локализованных на этих фрагментах молекулярных орбиталей позволяет судить о том, какие фрагменты легче подвергаются возбуждению и сильнее меняются в ходе химических превращений, например при фотохимических реакциях.

Представления о симметрии имеют важное значение при теоретическом анализе строения комплексных соединений, их свойств и поведения в различных реакциях. Теория кристаллического поля и теория поля лигандов устанавливают взаимное расположение занятых и вакантных орбиталей комплексного соединения на основе данных о его симметрии, характер и степень расщепления энергетических уровней при изменении симметрии поля лигандов. Знание одной лишь симметрии комплекса очень часто позволяет качественно судить о его свойствах.

В 1965 P. Вудворд и Р. Хоффман выдвинули принцип сохранения орбитальной симметрии при химических реакциях, подтвержденный впоследствии обширным экспериментальным материалом и оказавший большое влияние на развитие препаративной органической химии. Этот принцип (правило Вудворда - Хоффмана) утверждает, что отдельные элементарные акты химических реакций проходят с сохранением симметрии молекулярных орбиталей, или орбитальной симметрии. Чем больше нарушается симметрия орбиталей при элементарном акте, тем труднее проходит реакция.

Учёт симметрии молекул важен при поиске и отборе веществ, используемых при создании химических лазеров и молекулярных выпрямителей, при построении моделей органических сверхпроводников, при анализе канцерогенных и фармакологически активных веществ и т. д.

«Симметрия» - такая тема, о которой можно говорить и высоким слогом поэзии, и лаконичным языком математики. Приведём слова поэта Валерия Брюсова из произведения «Сонет к форме», которые как нельзя лучше характеризуют всеобщность симметрии: «Есть тонкие властительные связи…» Можно сказать, что симметрия властвует и в природе, и в искусстве, и в науке, и в других областях человеческой деятельности.

Можно любоваться листьями и цветами, понаблюдать за бабочками на лугу, присмотреться к снежинкам на окнах, узорам на коврах, причудливой резьбе на храмах и соборах; вглядеться в изумительную красоту памятников архитектуры прошедших эпох или просто обратить внимание на современные здания, машины, привычные предметы нашего быта и… увидеть во всём этом проявление законов симметрии.

Когда мы  собирали ягоды (смородину, рябину, черемуху), мы обратили внимание на то, что они центрально симметричны (рисунок 4). Действительно, когда мы их разрезали, то увидели, что в разрезе они представляют собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии.

Также мы остановились на цветах, которых выращивают наши мамы. Нас привлекло внимание виолы, нарциссы, фиалки.  Виолы и фиалки (рисунок №5) обладают осевой симметрией. А цветы нарцисса (рисунок №6) являются центрально симметричными.  Из литературы я узнал, что центральной симметрией обладают цветок  одуванчика, мать- и -  мачехи, цветок кувшинки. Симметричные цветы более привлекательны для пчел, так как у них больше нектара.

Выводы:

1. В любом растении можно найти какую - то часть, обладающую осевой, центральной симметрией.
2. Центральная симметрия характерна для плодов растений и некоторых цветов.
3. Симметрия форм придает им красоту.

II. Симметрия в животном мире.

Теперь мы хотим остановиться на животном мире и выяснить, как связан животный мир и симметрия.

Вот над поляной порхает яркая бабочка. Ее крылышки кажутся совершенно одинаковыми. Как бы для того, чтобы подтвердить это, она садится на цветок, складывает их, и мы видим, что форма одного крыла в точности повторяет форму другого.

Если  мы нарисуем бабочку на листе бумаги, то особую роль для этой плоской фигуры будет играть вертикальная прямая, проходящая посередине туловища бабочки. По обе стороны от этой прямой на одинаковом расстоянии от неё находятся одинаковые элементы рисунка. В этом случае говорят, что данная плоская фигура симметрична относительно прямой, а прямую, которая разделяет фигуру на правую и левую половины, называют осью симметрии. В раскраске бабочки можно обнаружить небольшие отклонения. Поэтому говорят, что симметрия бабочки не является математически точной.

Животные симметричны слева направо, а не сверху вниз. Это называют двусторонней симметрией. Животных эволюционировали таким образом из-за необходимости быть устойчивыми и способными к быстрому движению. Если бы животные были не симметричные, т. е., например, имели бы две ноги с одной стороны и одну с другой, им было бы очень сложно балансировать или быстро передвигаться. Неустойчивый и медлительный представитель не может уйти от хищника и с трудом добывает себе пропитание.

Симметрию можно назвать залогом успеха в строительстве. Почти все здания в мире, во избежание разрушения, строятся исключительно симметрично. Вот почему симметрия так важна в строительстве.

Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры. Архитектурный облик здания архитектор создает с помощью строительного материала, образ же его созидается творческим мышлением. Одним из художественных средств, которые он использует, является композиция здания. От неё в первую очередь зависит впечатление, которое оставляет архитектурное сооружение Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий, архитектуры фасадов, в оформлении внутренних помещений, колоннах, потолках и т.д.  В большинстве случаев они обладают осевой симметрией.

Мы хотим рассказать о нашем наблюдении. Недавно мы гуляли по нашему городу. Прогуливаясь по улицам города, мы сделали несколько снимков.  Рассматривая эти фотографии, мы пришли к выводу, что  большинство архитектурных сооружений нашего города имеют ось симметрии.  Если разбить строение на маленькие пристройки, мы обнаружим, что они обладают осевой симметрией. Сравнивая фасады зданий, имеющие  и не имеющие ось симметрии, мы пришли к выводу,   что с симметричной композицией здания ясны и уравновешенны. Симметрия придает гармоничность, законченность.

Выводы:

1. Симметрия широко используется в архитектуре.
2. Использование симметрии при строении зданий и домов создают красоту и гармонию.

Симметрия используется в таких видах искусства, как литература, русский язык, музыка, балет, ювелирное искусство.

Если присмотреться к печатным буквам М, П, Т, Ш, В, Е, З, К, С, Э, Ж, Н, О, Ф, Х, можно увидеть, что они симметричны. Причем у первых четырех ось симметрии проходит вертикально, а у следующих шести – горизонтально, а буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии. Симметрию можно увидеть и в целых словах, таких, как «казак», «шалаш» -  они читаются одинаково как слева направо, так и справа налево. А вот целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами): «Искать такси», «Аргентина манит негра», «Ценит негра аргентинец», «Леша на полке клопа нашел». Такие фразы и слова называются палиндромами.

В литературных произведениях существует симметрия образов, положений, мышлений. Вспомним хотя бы закон возмездия в греческой трагедии, где виновный становится жертвой такого же преступления. В «Евгении Онегине» А.С. Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет был вынужден испытать горечь отвергнутой любви. В трагедии А.С. Пушкина «Борис Годунов» прекрасно выписана симметрия образов. Убийцу царственного наследника сменяет на троне такой же умный, такой же наглый и беспощадный убийца юноши царевича.

В музыке ряд музыкальных форм строятся симметрично. В знаменитых фуэте  балерина вращается на одной ножке 6 раз, 12 … 32 раза! Эти движения однотипны, и именно их повторяемость порождает эстетический эффект, служащий достойным завершением танца.

Одно из лучших ранних произведений Рафаэля – «Обручение Марии» - создано в 1504 году (рисунок №2). Симметрия придает картине ясную упорядоченность, движением персонажей завершенность. Под солнечным голубым небом раскинулась долина, увенчанная белокаменным храмом. На первом плане – обряд обручения. Первосвященник сближает руки Марии и Иосифа. За Марией – группа девушек, за Иосифом – юноши. Обе части симметричной композиции скреплены встречным.

Оказывается, симметрия используется не только в математике, но и в русском языке и литературе, в балете.

В ходе исследования мы рассмотрели  несколько  направлений:

• Симметрия в архитектуре;
• Симметрия в буквах и словах;
• Симметрия в природе;
• Симметрия в исскустве

Исследования, проведенные мной, показали, что симметрия   является одним из принципов гармонического построения мира. «Сфера влияния» симметрии поистине безгранична. Всюду она определяет гармонию природы, мудрость науки и красоту.

Действительно, симметрию мы можем наблюдать везде. Она противостоит хаосу, беспорядку. Значит, симметрия –

• гармония и красота,
• равновесие,
• устойчивость.

Человеческие представления о красивом формируются  под влиянием того, что человек видит в живой природе. В различных своих творениях, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И человек в живописи, скульптуре, архитектуре, музыке применяет эти же принципы. Основополагающими принципами красоты при этом являются пропорции (в частности "золотая пропорция") и симметрия.

Трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии, которая объясняет наличие определенного порядка, закономерность в расположении частей чего-либо.

Ясно, что в целом скрыт дивный

Могучий закон.

Стройным красивым колечком

Становятся листья-малютки

Или в числе небольшом,

Или без счету вокруг

Внешние чашечкой станут,

Цветочную ось окруживши

Внутренний ряд лепестков венчик

Роскошный родит.

Ныне блистает растение

Полной своей красотою.

Члены за членами в нем

Стройном порядке  идут,

Сочными листьями  стебель покрыт

И  пышно качаясь

Дивно-прекрасный цветок

Гордо венчает его.

Гёте.

А собственно, как бы нам жилось без симметрии?

Точнее, какую роль играет симметрия в нашем мире? Неужели она лишь украшает его?

Оказывается, что без симметрии наш мир выглядел бы совсем по-другому. Ведь это именно на симметрии основаны многие законы сохранения. Например, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются следствиями пространственно-временных симметрий, которые являются, как математическими, так и физическими симметриями. И без этих симметрий не было бы законов сохранений, которые во многом управляют нашим миром.

Так что симметрия – пожалуй, чуть ли не самая главная вещь во Вселенной.

Список использованной литературы:

• http://wikikurgan.orbitel.ru 
• http://www.schoolbase.ru/ 
• http://irinmorozova.narod.ru/best.htm , 
• http://www.milogiya2007.ru/simmetr01.htm 

http://fio.ifmo.ru/archive/group19/c1wu9/str01a.htm