Прямоугольный треугольник

Слайд 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС , пусть точка Н – основание высоты, опущенной из вершины прямого угла С (рис.1). Введем обозначения: АВ=с, АС= b , ВС=а, АН= , ВН= , СН= h , А=α, В=β .

Слайд 3

Эти простые утверждения и соотношения, известны из школьного курса: Треугольники ВСН , АСН , и АВС попарно подобны. а 2 = с, b 2 = с. Из этих соотношений следует теорема Пифагора: а 2 + b 2 = с + с = ( + )с=с 2 . 3. h 2 = , h 2 = = h =

Слайд 4

4. Пусть R – центр вписанной окружности, а r – её радиус (рис.2). Тогда . Доказательство: Т.к. RK BC , RL AC , RK = RL = r , CL = CK как отрезки касательных, то четырехугольник RKCL – квадрат. Воспользуемся равенством отрезков касательных: BK = BM = a – r , AM = AL = b – r , значит c = a – r + b – r , откуда .

Слайд 5

А RB = 135 о Доказательство: Т.к. AR и BR – биссектрисы углов А и В, то МА R = А , МВ R = В . Значит А RB = 180 о - А - В = 180 о - ( А+ В ) = 180 о - 90 о =135 о .

Слайд 6

Рассмотрим более сложные утверждения: Впишем окружности в треугольники АСН и ВСН (рис.3). Пусть их радиусы равны r 1 и r 2 тогда 6. r + r 1 + r 2 = h. r 1 r 2 Как доказали в п.4 . А значит из ∆АНС и ∆ВНС следует, что и . Складывая эти выражения получаем: r + r 1 + r 2 = + + = = = = Таким образом: r + r 1 + r 2 = h. Доказательство:

Слайд 7

r 1 r 2 7. r 2 =r 1 2 +r 2 2 . Доказательство: Т.к. ∆АСН~∆АВС , то , кроме того . Итак, и . Следовательно

Слайд 8

8. AC=AQ, BC=BP. P A H Q B C R S Доказательство: Докажем первое равенство: CQA = BCQ + B Т.к. ВСН = , то ВС Q = , получаем, что CQA = + = + ( 90 о - ) = НС Q + ACH = ACQ Второе равенство доказывается аналогично.

Слайд 9

Точка Т является точкой пересечения высот ∆ CRS и центром окружности описанной около ∆ CPQ . Доказательство: BS – биссектриса угла В, AT – биссектриса угла A . Т.К. ∆ ACQ и ∆ BCP – равнобедренные, то прямая BS CP и AT CQ . И прямые BS и AT делят отрезки CP и CQ пополам. Следовательно, точка Т является точкой пересечения высот ∆ CRS и центром окружности описанной около ∆ CPQ . А U P H Q B C T R S

Слайд 10

10. Прямые T 1 R и T 1 S параллельны соответственно BC и AC . Доказательство: Проведем T 1 R 2 АС (рис.4). Пусть R * - точка пересечения T 1 R 2 с АТ . Докажем, что R * = R . ∆ АТТ 1 ~ ∆А R * R 2 ( T 1 = R 2 = 90 о и А – общий). Поэтому , следовательно, R * R 2 = TT 1 cos = r cos = r 1 , ( п. 7) т.е. точка R * лежит на биссектрисе А и удалена от АС на расстояние r 1 . А это значит, что R * = R . Аналогично доказывается, что T 1 S // AC . r

Слайд 11

ST 1 =RT 1 . Доказательство: Т.К. ∆ T 1 RR 1 – прямоугольный и RT 1 R 1 = В = ( как соответственные при параллельных прямых RT 1 и ВС и секущей АВ). Имеем T 1 R sin = r 1 = r sin , откуда T 1 R = r . Аналогично доказывается, что T 1 S = r . Отсюда следует, что ST 1 =RT 1 . А R 1 R T 1 C B S r r

Слайд 12

CU=CV. Доказательство: ∆ ST 1 R – равнобедренный и прямоугольный, поэтому R= S = 45 0 . Т.к. T 1 S // AC , то T 1 SU = CUS (как накрест лежащие углы). Поэтому T 1 SR = CUV = 45 0 . Т.к. С= 90 0 , то С VU = 45 0 . А это значит, что ∆ CUV – равнобедренный. C A B U T 1 R S V

Слайд 13

13. Точки Q , S , T , R , P лежат на окружности с центром в точке Т 1 и радиусом r . Доказательство: Точки S и R лежат на этой окружности, т.к. ST 1 =R Т 1 = r Докажем, что точка Q также лежит на этой окружности. ∆ T 1 SQ ~∆А CQ (т.к. А = T 1 = , как соответственные при параллельных прямых АС и S Т 1 и Q – общий). Поэтому . Но АС = QA (п.8). Поэтому ST 1 = T 1 Q=r. Аналогично, РТ 1 = R Т 1 = r . A C B P T 1 S Q R T

Слайд 14

AT 1 BT 1 = S ABC . Доказательство: Пусть AT 1 = u , BT 1 = v . Так как S = r p (где p - полупериметр ∆ ABC ), получаем S ABC = r ( a + b + c )= r (2 r +2с) = r ( r +с), но т.к. AC= u + r, BC= v + r, получаем по т. Пифагора, что ( u + r ) 2 +( v + r ) 2 = c 2 =( u + v ) 2 . u 2 +2 ur +r 2 +v 2 +2 vr +r 2 = u 2 +2 uv +v 2 . 2 ur + 2 vr +2r 2 = 2 uv . r 2 + r ( u + v ) = uv , r 2 + rc = uv , r ( r +с) = uv , значит S ABC = uv= AT 1 BT 1 A C B T 1 u v Q P