Топологические опыты

Слайд 1

РЕФЕРАТИВНАЯ РАБОТА « ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЫТЫ» НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: ПОТЕХИНА ТАТЬЯНА ВИКТОРОВНА АВТОР РАБОТЫ: БЕЛОКРЫС ДМИТРИЙ 2010 МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ШКОЛА № 6 Г. ДОЛГОПРУДНЫЙ, МОСКОВСКАЯ ОБЛАСТЬ НАУЧНАЯ ОБЛАСТЬ: МАТЕМАТИКА

Слайд 2

ЧТО ТАКОЕ ТОПОЛОГИЯ? Слово «топология» происходит от двух греческих слов: τόπος – «тόпос», что значит «место», и λόγος – «лόгос» – учение. Топология изучает такие свойства фигур, которые не изменяются при их непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. При непрерывных деформациях не должно происходить разрывов (то есть нарушения целостности фигуры) или склеиваний.

Слайд 3

КОГДА ПОЯВИЛАСЬ ТОПОЛОГИЯ? КТО ПРИДУМАЛ ЭТУ НАУКУ? Анр ú Пуанкар é Франция (1854 – 1912) Ге ό рг К á нтор Германия (1845 – 1918) Ф é ликс Хаусд ό рф Германия (1868 – 1942) Павел Александров Россия – СССР (1896 – 1982) Топология – молодая область математики: она зародилась в 19-м веке. Основные труды, положившие начало современной топологии, создали французские, немецкие и русские учёные.

Слайд 4

КАКИЕ СВОЙСТВА ФИГУР И ТЕЛ ИЗУЧАЕТ ТОПОЛОГИЯ? Топология изучает свойства фигур и тел, которые не изменяются при их непрерывных деформациях, то есть при их растяжении, сжатии или изгибании. Пример такого свойства: замкнутость . Не отрывая карандаша от бумаги, нарисуем на листе бумаги какую-нибудь линию, которая нигде не пересекает себя и возвращается в начальную точку:

Слайд 5

Это замкнутая линия: она делит плоскость на две области: ЗАМКНУТАЯ ЛИНИЯ внутреннюю ... и внешнюю (это остальная часть плоскости)

Слайд 6

Если во внутреннюю область замкнутой линии посадить паука, то он никогда не сможет попасть во внешнюю область, не пересекая линию. Паук заперт, замкнут внутри линии, и поэтому она так называется. ЗАМКНУТАЯ ЛИНИЯ

Слайд 7

Что произойдёт при различных непрерывных деформациях замкнутой линии? НЕПРЕРЫВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ЗАМКНУТОЙ ЛИНИИ Это не непрерывная деформация, ведь происходит разрыв ! Это – непрерывная деформация: разрывов или склеек не происходит В топологии разрывы не разрешаются! Это тоже непрерывная деформация 1 2 3 4 И это тоже

Слайд 8

А ЭТО НЕПРЕРЫВНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ? ?

Слайд 9

А ЭТО НЕПРЕРЫВНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ? ? НЕТ! Ведь происходит склейка , а в топологии склейки не разрешаются!

Слайд 10

Паук всегда остаётся внутри и никогда не сможет попасть во внешнюю область, не пересекая линию, какую бы форму мы ей ни придавали. ЧТО ЖЕ МЫ ВИДИМ ПРИ ЛЮБЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ ЗАМКНУТОЙ ЛИНИИ?

Слайд 11

ЗАМКНУТОСТЬ СОХРАНЯЕТСЯ ПРИ ЛЮБЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ. ЭТО ВАЖНОЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО

Слайд 12

Возьмём лист бумаги. Это поверхность . У этой поверхности есть край и две разных стороны . Если посадить нашего старого знакомого паука на одну сторону, то он никогда не сможет попасть на другую сторону, не пересекая край. О ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Слайд 13

ОДИН КРАЙ И ДВЕ СТОРОНЫ – ПРИ ЛЮБЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ ПОВЕРХНОСТИ

Слайд 14

НО БЫВАЮТ И ДРУГИЕ ПОВЕРХНОСТИ. СКЛЕИМ КРАЯ БУМАЖНОЙ ПОЛОСКИ И ПОЛУЧИМ ОБЫЧНОЕ КОЛЬЦО

Слайд 15

У КОЛЬЦА ТОЖЕ ДВЕ СТОРОНЫ И УЖЕ ДВА КРАЯ Две разных стороны: паук на одной, а муха на другой. Если запретить пауку перелезать через края, он никогда не сможет добраться до мухи Каждую сторону кольца ограничивают два края

Слайд 16

У КОЛЬЦА ОСТАЁТСЯ ДВЕ СТОРОНЫ ПРИ ЛЮБЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ Как бы мы ни растягивали кольцо, сжимали его, изгибали, как бы ни меняли его форму – если паук и муха были на разных сторонах кольца, они никогда не встретятся, не пересекая край

Слайд 17

У КОЛЬЦА ВСЕГДА ОСТАЁТСЯ ДВА КРАЯ Мы можем даже «развернуть» кольцо, превратив его в плоское – краёв всё равно останется два 1 2 1 2 1 2 1 2

Слайд 18

КОЛИЧЕСТВО СТОРОН И КРАЁВ – ОДНО И ТО ЖЕ ПРИ ЛЮБЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ ЭТО ТОЖЕ ВАЖНОЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО

Слайд 19

РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ Обычный лист бумаги: один край, две стороны Кольцо: два края, две стороны ВОЗМОЖНА ЛИ ТАКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, У КОТОРОЙ ТОЛЬКО ОДНА СТОРОНА? ?

Слайд 20

УЧЁНЫЕ-ТОПОЛОГИ ПРИДУМАЛИ МНОГО СТРАННЫХ И НЕОБЫЧНЫХ ОБЪЕКТОВ. СРЕДИ НИХ ЕСТЬ И ТАКОЙ. ЭТО – ЛЕНТА МЁБИУСА

Слайд 21

ОДИН ИЗ САМЫХ «ЗНАМЕНИТЫХ» ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Лента Мёбиуса. Её также называют лист Мёбиуса или петля Мёбиуса. Лента Мёбиуса придумана ещё в 1858 году немецким математиком Á вгустом Мёбиусом. Á вгуст Мёбиус , Германия (1790 – 1868)

Слайд 22

ИЗГОТОВИТЬ ЛЕНТУ МЁБИУСА ОЧЕНЬ ПРОСТО: ПЕРЕД СКЛЕИВАНИЕМ ПЕРЕКРУТИТЬ ОДИН КОНЕЦ БУМАЖНОЙ ПОЛОСЫ НА ПОЛОВИНУ ОБОРОТА

Слайд 23

СКОЛЬКО СТОРОН У ЛЕНТЫ МЁБИУСА? ДОГОНИТ ЛИ ПАУК МУХУ?

Слайд 24

ПРОВЕРКА: ПРИЖИМАЕМ КАРАНДАШ С ЛЮБОЙ СТОРОНЫ И ЧЕРТИМ НЕПРЕРЫВНУЮ ЛИНИЮ ПО СЕРЕДИНЕ ЛЕНТЫ, НЕ ОТРЫВАЯ КАРАНДАША ОТ БУМАГИ

Слайд 25

СКОРО, НЕ ПЕРЕСЕКАЯ КРАЯ, МЫ ПРИДЁМ В ТУ ТОЧКУ, С КОТОРОЙ НАЧАЛИ, ТОЛЬКО С ДРУГОГО КОНЦА. ПРИ ЭТОМ ЛИНИЯ БУДЕТ ПРОЧЕРЧЕНА ПО ВСЕЙ ЛЕНТЕ!

Слайд 26

У ЛЕНТЫ МЁБИУСА ТОЛЬКО ОДНА СТОРОНА. ПАУКУ НЕ НАДО ПЕРЕБИРАТЬСЯ ЧЕРЕЗ КРАЙ, А МУХЕ НЕКУДА БЕЖАТЬ: ОБА ОНИ НА ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ – ЕДИНСТВЕННОЙ – СТОРОНЕ ЛЕНТЫ

Слайд 27

У ЛЕНТЫ МЁБИУСА ОДИН КРАЙ. В ЭТОМ ЛЕГКО УБЕДИТЬСЯ, ПРОЧЕРТИВ ЛИНИЮ КАРАНДАШОМ ПРЯМО У КРАЯ ВЕСЬ ЭТОТ – ЕДИНСТВЕННЫЙ – КРАЙ МОЖНО ПРОЧЕРТИТЬ, НЕ ОТОРВАВ КАРАНДАША ОТ БУМАГИ

Слайд 28

У ЛЕНТЫ МЁБИУСА ЕСТЬ И ДРУГИЕ НЕОБЫЧНЫЕ И ИНТЕРЕСНЫЕ СВОЙСТВА

Слайд 29

ЧТО ПОЛУЧИТСЯ, ЕСЛИ РАЗРЕЗАТЬ ВДОЛЬ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЛИНИИ ОБЫЧНОЕ КОЛЬЦО? ДВА НОВЫХ КОЛЬЦА, КАЖДОЕ ИЗ КОТОРЫХ ВДВОЕ УЖЕ

Слайд 30

А ЧТО ПОЛУЧИТСЯ, ЕСЛИ ТАК ЖЕ РАЗРЕЗАТЬ ЛЕНТУ МЁБИУСА? ЭТО НУЖНО ПРОВЕРИТЬ НА ОПЫТЕ! ?

Слайд 31

ПОЛУЧИТСЯ ТОЛЬКО ОДНА – НОВАЯ ЛЕНТА МЁБИУСА ТОЛЬКО ВДВОЕ ДЛИННЕЕ И УЖЕ ПЕРВОЙ

Слайд 32

А ЧТО БУДЕТ, ЕСЛИ ТАК ЖЕ, ПО СЕРЕДИНЕ РАЗРЕЗАТЬ ЭТУ НОВУЮ ЛЕНТУ? ЭТО НУЖНО ПРОВЕРИТЬ НА ОПЫТЕ! ?

Слайд 33

ОЧЕНЬ ИНТЕРЕСНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ! ДВЕ СЦЕПЛЕННЫЕ ЛЕНТЫ МЁБИУСА !

Слайд 34

А ЕЩЁ ОЧЕНЬ ИНТЕРЕСНО РАЗР É ЗАТЬ ЛЕНТУ МЁБИУСА НЕ ПО СЕРЕДИНЕ, А ОТСТУПИВ ОТ КРАЯ ОДНУ ТРЕТЬ ШИРИНЫ ?

Слайд 35

! ОПЯТЬ ИНТЕРЕСНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ! ДВЕ СЦЕПЛЕННЫЕ ЛЕНТЫ МЁБИУСА, НО УЖЕ ДРУГОЙ ФОРМЫ

Слайд 36

А ТАК ЛЕНТУ МЁБИУСА, ПО КОТОРОЙ БЕЗ КОНЦА ПОЛЗУТ МУРАВЬИ, ИЗОБРАЗИЛ НИДЕРЛАНДСКИЙ ХУДОЖНИК МАУРИЦ ЭШЕР: ТОПОЛОГИЯ ЗНАЕТ ЕЩЁ МНОГО УДИВИТЕЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ