Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в ней совершенство, простоту и гармонию. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна тесно связаны друг с другом.
Вложение | Размер |
---|---|
doklad_s.tumusova.docx | 39.47 КБ |
Министерство культуры и духовного развития РС(Я)
ГБОУ ВО «Высшая школа музыки РС(Я) (институт) им. В.А.Босикова»
Доклад на тему:
«Математика и ритм»
Выполнил:
ученик 8 класса ФО ВШМ РС(Я)
Тумусов Саша
Руководитель:
Петрова Е. И.
г. Якутск 2017г.
Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в ней совершенство, простоту и гармонию. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна тесно связаны друг с другом.
Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением мира, как утверждали древние мудрецы. В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Леонард Эйлер в своей работе «Диссертация о звуке» писал: «Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков». Лейбниц считал, что «музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать». По мнению Гольдбаха «музыка – это проявление скрытой математики».
Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он был не только философом, но и математиком, и теоретиком музыки. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Известно, что пифагорейцы пользовались специальными мелодиями против ярости и гнева. Они проводили занятия математикой под музыку, так как заметили, что она благотворно влияет на интеллект. Одним из достижений Пифагора и его последователей в математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента – лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно перенастраивать. Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт (его первый труд «Трактат о музыке») , Готфрид Лейбниц, Христиан Гольдбах, Жан Д’Аламбер, Даниил Бернулли и другие.
Стоит услышать слово ритм, как наши мысли невольно обращаются к музыке, и это вполне понятно: ведь ритм – один из важнейших элементов музыки. Ритм – это чередование долгих и коротких, одинаковых и разных по длительности звуков. Музыкальный ритм (обычно одновременно с высотой звука) фиксируют с помощью музыкальной нотации. Музыкальные звуки различны по своей длительности, вследствие чего между ними создаются определенные временны́е соотношения. Объединяясь в различных вариациях, длительности нот образуют различные ритмические фигуры, из которых складывается общий ритмический рисунок музыкального произведения. Ритм не привязан ни к каким абсолютным единицам измерения времени, в нём заданы лишь относительные длительности нот (эта нота звучит дольше той в 2 раза, а эта — в 4 раза короче и т. д.).
Ритм проявляется в восприятии пространства и времени, в таких процессах как биение сердца и дыхание, смене дня и ночи, чередовании времён года. Нескончаемой чередой приходят на смену друг другу дни и ночи, времена года. Их четкий ритм подчиняется движению Земли, при этом один оборот вокруг своей оси совершает за 24 часа, один оборот вокруг Солнца – за 1 год. И здесь все движения подчинены определенному ритму.
Окружающий мир полон ритмов. Ритмично звучат шаги, стучат и грохочут машины: моторы автомобилей, двигатели тракторов, колеса поездов, станки в заводских цехах. Ритмично мелькают кадры кинофильма, сменяя друг друга так быстро, что мы не успеваем уловить, когда один кадр переходит в другой: для нашего глаза движения, разложенные на отдельные фазы, сливаются. Ритмичны и многие звуки: звон колокола и пилы, тикание часов, пение трещетки и кукушки. Биение сердца имеет сложный ритм, который записывает специальный медицинский прибор электрокардиограф. Все перечисленные мной ритмы звучат в повседневной жизни.
Ритмы можно обнаружить и среди чисел. Взять хотя бы дробь 1/81. Её можно записать в виде
1/81 = 0,012345679012345679012345679… или, кратко,
1/81 = 0,(012345679)
Дробь 1/81 записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби, да и период ее также отличается необыкновенной правильностью: 012345679. Единственный «изъян» периода – среди цифр нет восьмерки.
Дробь, допускающую разложение в бесконечную периодическую десятичную дробь с периодом 0123456789, найти совсем нетрудно. Из школьного курса математики известно, что
0,(0123456789) = 123456789 = 13717421
9999999999 1111111111.
Дробь 1/81 таит в себе и другой ритм. Его мы могли обнаружить, если нам когда-нибудь случалось делить 1 на 81. Если же мы никогда не делали этого, то это выглядит вот так:
1: 81 = 0,0123456790123…
10
100
190
280
370
460
550
640
730
100 → здесь впервые вновь встретился первый
190 остаток деления, далее весь цикл повторяется
280
Обратим внимание на последовательность, в которой расположены остатки: 1, 10, 19, 28, … Мы видим, что каждый остаток на 9 больше предыдущего, причем возрастание остатков происходит до тех пор, пока они не превосходят делитель, то есть число 81, после чего все повторяется сначала:
… 64, 73, 1, 10, …
Следующие дроби представляют интерес главным образом не сами по себе, а в сравнении одна с другой:
1/7 = 0,142857142857 …
2/7 = 0,285714285714 …
3/7 = 0,428571428571 …
4/7 = 0,571428571428 …
5/7 = 0,714285714285 …
6/7 = 0,857142857142 …
Период каждой из десятичных дробей состоит из одного и того же набора цифр, но начинается каждый период с разных мест.
Рассмотрим ещё одну группу интересных дробей:
1/99 = 0,010101 … 1/11 = 0,090909 …
1/999= 0,001001 … 1/111= 0,009009 …
1/9999= 0,00010001 … 1/1111= 0,00090009 …
Если сравнить числа, стоящие на одном и том же уровне в левых и правых частях приведенных равенств. Они совершено, однотипны и отличаются лишь тем, что в любых двух равенствах, расположенных на одной горизонтали, единицы замены десятками, а десятки – единицами (если не считать единицы, стоящие в числителе).
Есть ещё и такие дроби:
1/27= 0,037037037 … 1/37= 0,027027027 …
Оба равенства переходят друг в друга при замене 27 на 37 и наоборот.
1/297= 0,003367003367 … 1/3367= 0,000297000297 …
Оба равенства переходят друг в друга при замене 297 на 3367 и наоборот.
1/693= 0,001443001443 … 1/1443= 0,000693000693 …
Оба равенства переходят друг в друга при замене 693 на 1443 и наоборот.
1/481= 0,002079002079 … 1/2097 = 0,000481000481 …
Оба равенства переходят друг в друга при замене 481 на 2079 и наоборот.
А произведение знаменателей таких дробей всегда состоит только из девяток. Например: 27*37=999
297 * 3367 = 999999;
693 * 1443 = 999999;
481 * 2079 = 999999.
Очень красивы примеры правильных и неправильных ритмов встречаются в математике. Запишем первые сто натуральных чисел, расположив их в виде изящной правильной фигуры – так называемого пифагорова квадрата:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Займемся поиском ритмов, скрытых в этой таблице. Некоторые особенности ее можно заметить, что у чисел, стоящих в одной строке, совпадают первые цифры, у чисел, стоящих в одном столбце, совпадают вторые цифры. Обнаружить закономерности, скрытые в таблицах, приведенных ниже, не столь просто. Эти таблицы представляют собой пифагоров квадрат, в котором отмечены все числа, кратные 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Но каким ритмом обладают кратные какого–нибудь числа. Например, возьмем 0 (нуль) и, увеличивая каждый раз на единицу, будем акцентировать все числа, кратные 3. Вот что получится: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 и т.д. Я пришёл к красивому, правильному ритму, звучащему, как музыкальный размер 3/4
Правильный равномерный ритм выявляется при рассмотрении кратных не только числа 3, но и других чисел.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Рис. 1 Рис. 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Рис. 3 Рис. 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Рис. 5 Рис. 6
В таблицах становится заметными многие важные свойства делимости.
1 рис. Числа делятся на число 2;
2 рис. Числа делятся на число 3;
3 рис. Числа делятся на число 4;
4 рис. Числа делятся на число 5;
5 рис. Числа делятся на число 6;
6 рис. Числа делятся на число 7.
Теперь наложим две таблицы друг на друга
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 41 42 4344 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
таб. 7 таб. 8
Например, таб. 7, взяли таблицу кратных числа 4 (красные числа) и наложим ее на таблицу кратных числа 6 (синие числа). Числа, обведенные чертой, располагаются в правильной последовательности. Именно так выглядит таблица кратных нового числа – двенадцати. Разумеется, такое совпадение не случайно, причину его легко понять: число 12 – наименьшее общее кратное чисел 4 и 6.
А на таблица 8, лишенная всякого ритма, для сравнения с таблицей 7. Зелеными числами называют простые числа, то есть числа, делящиеся на единицу или на самих себя.
«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимосвязях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая и духовная деятельность человека. Что между ними размещается все, что человечество создало в области наук и искусства» – писал Г. Нейгауз. Изучив работы ученых, мною было установлено, что в прошлом были неоднократные попытки рассматривать ритм, как один из объектов изучения математики. Важно отметить, что все ритмические численные соотношения переносятся и в звуковысотную сферу, что говорит об универсальности музыкальных закономерностей.
Таким образом, гармония чисел является сродни гармонии звуков и следовательно математика и музыка дополняют друг друга.
Использованная литература:
Любимое яичко
Д.С.Лихачёв. Письма о добром и прекрасном: МОЛОДОСТЬ – ВСЯ ЖИЗНЬ
Чем пахнут ремёсла? Джанни Родари
Сказка "Колосок"
5 зимних аудиосказок