Городские научные чтения имени И.В.Курчатова

Секция: математика

Золотое сечение в музыке

Выполнили: Макеева Екатерина,

Новосельцева Юлия,

8А класс МБОУ СОШ №24

Руководитель: Яркова Наталья Михайловна

Озерск

2015

Содержание

   Введение………………………………………………………..3

1. Теоретическая часть………………………………….5

1.  Что такое «золотое сечение»………………………………….5

2.2. Первое математическое исследование золотого

сечения в музыке……………………………………………7

II.  Практическая часть………………………………………9

          2.1. Применение метода золотого сечения в музыке……..9

Заключение…………………………………………………….11

Литература……………………………………………………..12

ВВЕДЕНИЕ

«…Геометрия владеет двумя сокровищами –

теоремой Пифагора и золотым сечением,

и если первое из них можно сравнить с мерой золота,

то второе – с драгоценным камнем…»  

Иоганн Кеплер

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного - золотое сечение. Наша задача узнать, что же такое золотое сечение и установить где человечество нашло применение золотого сечения.

Цель проекта: доказательство проявления  золотого сечения в музыке.

Мы исходили из гипотезы, что если золотое сечение является одной из слагаеармонии, то оно должно присутствовать и в музыкальных произведениях.мых красоты и

Задачи:

• дать определение  золотого сечения;
• узнать, кто провёл одно из первых математических исследований музыкальных произведений;
• проанализировать произведения гениальных композиторов с точки зрения золотого сечения.

Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, использующими в своей основе золотое сечение. Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете - посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели "золотое сечение". О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть "золотого сечения". Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий - свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно "золотому сечению". А Аристотель нашел соответствие "золотого сечения" этическому закону. Высшую гармонию "золотого сечения" будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и "золотое сечение" - это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы "золотого сечения", спасаясь от Дьявола. При этом ученые - от Пачоли до Эйнштейна - будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой - 1,6180339887...

Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое "золотое сечение". Но вы непременно увидите эту пропорцию и в изгибах морских раковин, и в форме цветов, и в облике жуков, и в красивом человеческом теле. Все живое и все красивое - все подчиняется божественному закону, имя которому - "золотое сечение". Так что же такое "золотое сечение"?.. Что это за идеальное, божественное сочетание? Может быть, это закон красоты? Или все-таки он - мистическая тайна? Научный феномен или этический принцип? Ответ неизвестен до сих пор. Точнее - нет, известен. "Золотое сечение" - это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

1. Теоретическая часть

2. Что такое «золотое сечение»

Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое “золотое сечение” – далеко не все. Расскажем вам об этом “драгоценном камне”.

Итак – “золотое сечение” – это такое деление целого на две неравные части, при котором целое так относится к большей части, как большая к меньшей.

Рассмотрим деление отрезка на части в отношении равном “золотому сечению”.

Если разделить любой отрезок на две части так, чтобы отношение большей части отрезка к целому было равно отношению меньшей части к большей, получим сечение, которое называют золотым.

На рисунке отрезок АВ разделен точкой С так, что АС : АВ = СВ : АС. Обозначим это отношение Ф. Если принять длину отрезка АВ за a, а большую часть отрезка (АС) за b, то a:b = b:(a-b), или a2-ab-b2=0. Разделив обе части уравнения на b2 и обозначив искомое отношение a/b буквой Ф, получим уравнение: Ф2-Ф-1=0. (*), или Ф2 = Ф+1. (**) 

Решив его, получим единственный положительный корень Ф = (√5+1)/2, что составляет приблизительно 1,618... Таким образом, отношение большей части отрезка к меньшей и всей длины отрезка к большей его части (Ф) равно приблизительно 1,618... Обратная величина - отношение меньшей части отрезка к большей и большей части ко всему отрезку - составляет примерно 0,618...

Нетрудно заметить, что взаимно обратные величины 0,618... и 1,618... отличаются только первой цифрой. Этот факт заложен в самом уравнении для числа Ф (**). Разделим обе его части на Ф:

Если извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения Ф2 = Ф+1, получим Ф=√(1+Ф); если заменять под корнем величину Ф на вычисленное значение (бесконечно продолжая этот процесс), получим:

Поскольку Ф = 1 + 1/Ф, можно в выражении в правой части равенства заменить в знаменателе дроби Ф на 1 + 1/Ф. Выполняя это действие снова и снова, мы получим еще одно выражение для числа Ф:

Эти числа получили название "золотых". Они действительно замечательные. Золотое сечение можно найти, рассматривая некоторые геометрические фигуры.

Пятиконечная звезда, получаемая при последовательном соединении через одну всех вершин правильного пятиугольника (пентаграмма), всегда привлекала внимание людей совершенством формы. Пифагорейцы именно ее выбрали символом своего союза. В этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков.

На рисунке AD:AC = AC:CD = AB:BC = AD:AE = AE:EC. Пользуясь симметрией звезды, этот ряд равенств можно продолжить. Все эти отношения равны числу Ф (1,618...).

Везде, где человек ощущает гармонию - в звуках, в цвете, в размерах, - всюду присутствует "Золотое число". Глаз радуется отрезку, разделенному не строго пополам, а именно в пропорции 0,618:0,382. Может, поэтому так часто находят золотое сечение в памятниках античной архитектуры, в пропорциях идеальных человеческих фигур, вылепленных великими Фидием и Поликлетом, в классических музыкальных произведениях (еще пифагорейцы заметили, что музыкальный звукоряд построен по закону частот, равных "золотому числу"), живописи, поэзии, формах скрипок Страдивари, а также в природе – химии, ботанике, зоологии...

Таким образом, золотое сечение есть деление известной протяженности таким образом, чтобы большая часть относилась к меньшей как целое к большей. Это де ление применимо и к пространственным явлениям, и к временным.  Феномен золотого сечения был обнаружен в искусствах»длящихся», как поэзия и музыка. И здесь наличие золотого сечения выражается в положении «кульминационного пункта» произведения или даже отдельных частей произведения.

2.2. Первое математическое исследование золотого сечения в музыке

В начале XX века на одном из заседаний Московского научно-музыкального кружка, членами которого вместе с композиторами и пианистами Танеевым, Рахманиновым, Глиэром, Гольденвейзером были и крупные московские учёные, русский советский музыковед Э.К.Розенов выступил с докладом «Закон золотого сечения в поэзии и музыке». Эту работу можно считать одним из первых математических исследований музыкальных произведений. Очевидно, что при делении целого и одной из его части возможно бесконечное множество отношений между целым и одной из его частей, а также между самими частями целого. Но только в единственном случае эти отношения могут быть равными. Этот случай и представляет собой золотое сечение - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей, когда целое относится к большей части, как большая часть к меньшей.

Розенов проанализировал популярнейшие и наиболее излюбленные произведения гениальных авторов Баха, Моцарта, Бетховена, Шопена, Глинки, а также произведения народного творчества наиболее древнего происхождения, живучесть которых является достаточным доказательством их эстетической ценности и широкой популярности.

           Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л.Сабанеевым. Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения.

         По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии

музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

        Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции.

        Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов?

        Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

2. Практическая часть

Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми "эстетическими вехами" на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые "кульминационным событием", как правило, находятся в соотношении Золотого сечения

Но помимо установления самого факта наличия закона золотого сечения в музыкальных произведениях и его огромного эстетического значения в музыке математический анализ музыки позволяет сделать некоторые выводы о характерных особенностях творчества самих композиторов.

2.1. Применение метода золотого сечения в музыке.

А можно ли говорить о “золотом сечении” в музыке? Можно, если измерять музыкальное произведение по времени его исполнения. В музыка золотое сечение отражает особенности человеческого восприятия временных пропорций. Точка “золотого сечения” служит ориентиром формообразования. Часто на нее приходится кульминация. Это может быть так же самый яркий момент или самый тихий, или самое звуковысотное мест.  Давайте попробуем услышать эти кульминации и определить точку золотого сечения в произведениях великий композиторов.

Мы находим у Баха сравнительно более детальную и органическую сплоченность. Закон золотого деления проявляется у него с поразительной точностью в соотношениях крупных и мелких частей как в строгих, так и в свободных формах, что, несомненно, соответствует с характерам, этого гениального мастера, сильным, здоровым и уравновешенным, с его глубоко сосредоточенным отношением к работе и детально отделанной манерою письма.

В «Токкато и фуге ре-минор» И.С. Баха мы взяли отрывок длительностью153 секунды. Нашли предполагаемое место золотого сечения – по смене настроения, мелодии, тональности.  Первая часть по длительности получилась 93 секунды, вторая – 60 секунд. Применив формулу золотого сечения мы получили следующие результаты:

153 : 93 ≈ 1,64         93 : 153 ≈ 0,61

93 : 60 ≈ 1,67            60 : 93 ≈ 0,64

Что вполне укладывалось в нашу гипотезу. И мы продолжили свое исследование.

   У Шопена внутренняя формальная связь сравнительно слабее и

проявляется не сплошь, а лишь местами. По силе темперамента он

сходен с Бетховеном, но проявление это более внешне и касается

чаще изящной нарядности изложения мысли, нежели его внутренней

логики.

Fantaisie-Impromptu Фредерика Шопена показала следующий результат:  

Длительность отрывка – 356 секунды.

1 часть – 221сек,  2 часть – 135 сек.

356 : 221 ≈ 1,61         221 :  356 ≈ 0,62

221 : 135 ≈ 1,63         135 : 221 ≈ 0,61

У Моцарта темперамент проявляется сравнительно слабее, закон золотого сечения направлен у него особенно часто к подчеркиванию драматических элементов и трагических положений.

Прослушивание «Симфонии сердца» Ф.Моцарта  показало следующее:

Длительность отрывка –287секунды. 

1 часть –181сек,  2 часть – 106 сек.

287 : 181 ≈  1,6       181 : 287 ≈ 0,63

181 : 106 ≈ 1,7         106 : 181 ≈ 0,58

У Глинки мы находим применение данного закона только лишь в широких масштабах при полном почти отсутствии мелочных соответствий, встречающихся так часто у Баха и Шопена.

                                        Вот «Мазурка» из оперы «Иван Сусанин»

Длительность отрывка – 104 секунды.

1 часть – 64 сек,  2 часть – 40 сек.

104 : 64 ≈ 1,63                64 : 104 ≈ 0,61

64 : 40 ≈  1,6                   40 : 64 ≈  0,63

У Бетховена проявление закона золотого сечения глубоко логично по отношению к размерам частей формы, но главным образом указывает на силу темперамента этого автора по точности совпадения всех моментов высшего напряжения чувств и разрешения подготовленного ожидания с моментами золотых сечений. 

Композитор и ученый М.А.Марутаев подсчитал количество тактов в знаменитой сонате «Аппассионата» и нашел ряд интересных числовых соотношений. В частности, в разработке - центральной структурной единице сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, - два основных раздела. В первом 43,25 такта, во втором - 26,75. Отношение 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 дает золотое сечение.

Розанов считал, «что золотое сечение должно играть в музыке выдающуюся роль как средство для приведения однородных явлений в соответствие, созданное самой природой. Золотое деление могло бы:

• установить в музыкальном произведении изящное, соразмерное отношение между целым и его частями;
• являться специальным местом подготовленного ожидания с кульминационными пунктами и с разного рода выдающимися, с точки зрения автора, эффектами;
• направлять внимание слушателя на те музыкальные произведения, которым автор придает наиболее важное  значение».

Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения, а также идеалом красоты в других произведениях искусства.

Заключение

В ходе работы мы изучили  теоретический материал о золотом сечении, о научных исследованиях связи золотого сечения и музыки.  

 Мы провели исследование некоторых произведений гениальных композиторов, таких как Моцарт, Бах, Бетховен, Глинка, проанализировали, как проявляется золотое сечение у этих авторов. Подсчитали количество тактов в знаменитой сонате «Аппассионата» и нашли ряд интересных числовых соотношений.

Таким образом, реализация цели и задач нашего исследования подтвердила правильность нашей гипотезы 

Слушая музыку великих композиторов, мы убедились, что существует тесная связь между математикой и музыкой.  И это не случайно, ведь каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии.

Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющие во всех искусствах, независимо от того, музыка это или математика. Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы.

.

.

Литература:

1. https://ru.wikipedia.org
2. www.abc-people.com/zolot_sech-txt.htm
3. www/grandars.ru/g-progressiya.html
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Bax,_HoraHH_Ce6acTbHH
5. https ://ra.w^pedia.org/wild^oaapT,_Bon^raHr_AMa4ей
6. https ://ru.wikipedia.org/wiki/beTxoBeH,_JIroflBHr_BaH
7. https '.lira.. wikipedia.org/wiki/IIIoneH,_Фред ерик_Франсу a
8. https ://rp.wiWpedia.org/wiki/raHHKa,_MHxaHiJ0BaHOBH4