Геометрический паркет глазами Эшера

Геометрический паркет глазами Эшера

Введение

В оформлении учебника «Математика 10 – 11 класс» Мордковича использованы картины голландского художника Маурица Корнелиса Эшера, которые иллюстрируют некоторые математические законы, например мозаичное разбиение плоскости, то есть геометрический паркет.

Цель: изучить геометрические паркеты.

Задачи:

• Изучить теоретический материал по данной теме.
• Найти примеры геометрических паркетов в работах художника.
• Разработать собственный паркет.
• Раскрыть красоту и многообразие математики.

Объект исследования: различные виды паркетов в работах Мориса Эшера.

Предмет исследования: рисунки Эшера.

Методы исследования:

• Анализ учебной, методической, энциклопедической, научно - популярной литературы, практический.
• Практическое исследование гравюр Эшера.

Гипотеза: картины голландского художника М. К. Эшера помогают изучить тему «Геометрический паркет».

Теоретическая часть

Паркет или замощение -  разбиение плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий. Паркеты могут быть правильными, полуправильными  и неоднородными.

Правильные паркеты – паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников. Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет. 

Полуправильные паркеты – паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии, переводящее одну из них в другую.

Существует 8 полуправильных паркетов: курносый квадратный, тришестиугольный, ромботришестиугольный, усеченный квадратный, усеченный шестиугольный, ромбоусеченный тришестиугольный, курносый тришестиугольный, изокуроносый треугольный.  Существует бесконечное множество неоднородных паркетов.

Так же существуют геометрические паркеты на сферической поверхности и торе. Примером паркета на сферической поверхности является футбольный мяч, а фигурой, из которой составлен паркет, является шестиугольник и пятиугольник. Так выглядит этот паркет на плоскости.  Тор – поверхность, полученная вращением окружности относительно прямой, лежащей в плоскости этой окружности и не имеющей с ней общих точек.

Замощение трехмерной поверхности многоугольниками используется в компьютерной графике. Метод повышения количества многоугольников в компьютерном моделировании называется тесселяцией.

Рассмотрим геометрические паркеты на плоскости на примере работ М.К. Эшера. Он говорил: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам». 

Из всех работ Эшера больше всего известны его орнаменты или мозаики, которые он умело, включает в необычные, подчас озадачивающие неожиданными решениями композиции.

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании, он старательно изучал и зарисовывал орнаменты в Альгамбре, выполненные в период мавританского владычества. Впоследствии он сказал, что это было для него «богатейшим источником вдохновения».

Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрия, отражение, смещение и др.

Так же он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искажения образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.

Наибольшей известностью пользуются хитроумные орнаменты Эшера, заполняющие всю плоскость. Рассмотрим несколько его паркетов:

Практическая часть:

Рассмотрим ящерицу из одного из известнейших паркетов Эшера. В основе этого паркета лежит правильный  шестиугольник. Найдем соответствие между выступающими частями и не заполненными частями внутри шестиугольника. Заметим соответствие между ними. Значит что для того что бы составить правильный или полуправильный геометрический паркет нужно:

1. Выбрать основу для составления паркета.

2. Изменить фигуру таким образом, что бы ее выступающие части соответствовали незаполненным частям внутри фигуры.

3.  Расставить фигуры таким образом, что бы они заполняли плоскость без промежутков и перекрытий.

Составим свой собственный паркет: елочки.

1.  Разобьем плоскость на треугольники.

2.  Нарисуем в вершине одного из треугольников верхушку елочки.

3. С помощью симметрии рисуем вершину другой елочки.

4. Соединяем вершины. Проводим ось симметрии у елочек и отражаем линию.

5. Дорисовываем елочки.

6. Проводим оси симметрии у других елочек и дорисовываем паркет.

7. Убираем вспомогательные линии.

8. Заливаем елочки оказавшиеся перевернутыми.

Как у любого гения, у Эшера есть последователи, это - Макото Накамура - японский сценарист, режиссер-мультипликатор, Ёсиаки Араки -  японский актер.

Вывод: При работе над темой я узнала много интересного о жизни замечательного художника Эшера. Я познакомилась с новыми понятиями: регулярные и нерегулярные разбиения плоскости, тор. Я считаю, что цель и задачи, которые я поставила перед собой, полностью реализованы. Гипотеза – подтверждена.

Интернет источники:

https://multiurok.ru/peter-solodusha/blog/gieomietrichieskii-parkiet-glazami-m-k-eshiera.html

http://geometry-and-art.ru/esher.html