Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Слайд 1

Слайд 2

Формулировка теоремы Пифагора Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов . Формула: a2+b2= c2 , где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Слайд 3

Геометрическое доказательство с квадратами Построим на гипотенузе треугольника квадрат со стороной c. Внутри него разместим четыре одинаковых прямоугольных треугольника, у каждого из которых будут катеты a и b. Эти треугольники будут расположены так, что образуют внутренний квадрат со стороной (b – a). Площадь большого квадрата равна c², а площадь четырех треугольников: 4 × ½ab = 2ab. Тогда площадь внутреннего квадрата равна (b – a)². Таким образом, можно записать равенство площадей: c² = 4 × ½ab + (b – a)². Если раскрыть скобки и упростить пример, получится: a² + b² = c².

Слайд 4

Доказательство через косинус угла Пусть АВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА =AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC2. Аналогично соsВ =BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС2. Складывая полученные равенства, замечая, что AD+DB=AB, получим: АС2+ВС2=АВ(AD+DB)=АВ2 Теорема доказана.

Слайд 5

Доказательство Евклида. Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал". Евклид опускал высоту BН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах. Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Слайд 6

Алгебраическое доказательство Разместим наш треугольник на системе координат: один катет будет совпадать с осью x, а другой — с осью y. Координаты вершин будут: (0, 0), (a, 0), (0, b). Длину гипотенузы можно найти по формуле расстояния между двумя точками (3): c = √((a – 0)² + (0 – b)²) = √(a² + b²). Если возведем обе стороны в квадрат, получим: c² = a² + b²

Слайд 7

Доказательство с использованием подобия треугольников 1. Построение : Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом ∠C. 2. Подобие : Построим высоту CD от вершины C к гипотенузе AB. Треугольники ACD и BCD будут подобны треугольнику ABC. 3. Соотношения подобия : Из подобия треугольников: AC/AB = CD/AC , BC/AB = CD/BC. 4. Равенство : Умножив эти уравнения, получаем AC 2 + BC 2 = AB 2 .

Слайд 8

Доказательство Хоукинса Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого - трудно сказать. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В). SCAA'=b²/2 SCBB'=a²/2 SA'AB'B=(a²+b²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому: SA'AB'B=c*DA/2+c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c² Теорема доказана.

Слайд 9

Источники: https://multiurok.ru/files/razlichnye-sposoby-dokazatelstva-teoremy-pifagora.html https://deti.mail.ru/article/teorema-pifagora/ https:// blog.tutoronline.ru/teorema-pifagora https:// science-start.ru/ru/article/view?id=44 https:// nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2015/12/13/razlichnye-sposoby-dokazatelstva-teoremy-pifagora книга «Начала». Оно появляется как Предложение 47 в этом источнике. можно найти в трактате древнегреческого математика Евклида «Начала».