Работа по теме: "Ортоцентр и его применение в различных сферах деятельности"

Научное общество учащихся
Муниципальное Автономное Образовательное Учреждение
«Школа № 172»
Московского района г. Н. Новгорода

Ортоцентр и его применение в различных

сферах деятельности

Выполнил: Волков Арсений

Ученик 10 «А» класса

Научный руководитель:

Кирпичёва Е.Е.

Учитель математики

Н. Новгород

2023 г.

Содержание

Стр.

Введение                                                                                                 3

Глава 1. Теоретические основы исследования ортоцентра

        1.1 Открытие ортоцентра                                                                4

        1.2 Определение ортоцентра                                                                4

        1.3 Свойства ортоцентра                                                                5

Глава 2. Практическое исследование ортоцентра                                        

        2.1 Доказательства свойств ортоцентра                                                8

2.2 Основное применение ортоцентра                                                12

2.3 Нахождение и применение ортоцентра

в повседневной жизни                                                                        16

Общий вывод                                                                                        17

Заключение                                                                                        17

Список литературы                                                                                18

Введение

В работе рассмотрены основные свойства ортоцентра, ортотреугольника и использование свойств ортоцентра при доказательстве некоторых теоретических фактов.

Также показано в работе приведены примеры по применению ортоцентров при решении соответствующих задач.

Актуальность данного исследования заключается в том, чтобы понять, как ортоцентр применяется в различных сферах человеческой деятельности.

Гипотеза звучит так: «ортоцентр треугольника возможно применять в разнообразных сферах нашей деятельности».

Цель работы: выяснить возможности использования ортоцентра в различных сферах деятельности человека.

Задачи:

• Определить свойства ортоцентра треугольника;
• Выяснить сферы применения ортоцентра треугольника.

Объект исследования:

• Замечательные точки треугольника.

Предмет исследования:

• Ортоцентр и его применения.

Методы:

1. метод теоретического анализа, структурирования и обобщения;
2. методы эмпирического анализа.

Глава 1. Теоретические основы исследования ортоцентра

1.1 Открытие ортоцентра

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам.

«Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке» - таково утверждение о точке, которая теперь называется ортоцентром.

Ортоцентр был впервые использован в греческой математике в «Книге лемм» Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра сам Архимед не привёл. Даже без учёта данного факта, до середины восемнадцатого века ортоцентр нередко называли архимедовой точкой.

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

Первым строгим доказательство того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, было вынесено Карлом Фридрихом Гауссом.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или окружность Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера. Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

1.2 Определение ортоцентра

Согласно Википедии, «ортоцентр (от др.-греч. ὀρθός «прямой») — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольном), вне его (в тупоугольном) или совпадать с вершиной (в прямоугольном — совпадает с вершиной при прямом угле)».

Ортоцентром треугольника называется точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Основания являются вершинами высот треугольника, который в свою очередь называется ортотреугольником. Ортотреугольник или ортоцентрический треугольник - это треугольник, вершины которого являются основаниями высот данного треугольника.

Стоит отметить, что ортоцентр относится к замечательным точкам треугольника и перечислен в энциклопедии центров треугольника - размещённая в сети база данных, содержащая более 52 тыс. (на 2022 год) «центров треугольника» — примечательных точек, связанных с геометрией треугольника. Поддерживается профессором математики университета Эвансвилла Кларком Кимберлингом.

1.3 Свойства ортоцентра

1. Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной около этого треугольника окружности.

2. Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной около него окружности и диаметрально противоположна вершине треугольника, противолежащей данной стороне.

3. При изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.

4. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра в 2 раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

5. Сумма квадратов расстояния от вершины треугольника до ортоцентра и длины стороны, противолежащей этой вершине, равна квадрату диаметра описанной окружности.

6. Радиусы описанной окружности, проведённые к вершинам треугольника, перпендикулярны соответствующим сторонам ортотреугольника.

7. а) Стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующими сторонами данного треугольника.

б) Ортоцентр в остроугольном треугольнике является инцентром ортотреугольника (точкой пересечения биссектрис ортотреугольника, т.е. центром его вписанной окружности).

8. Угол между радиусом и стороной равен углу между высотой и стороной (все они выходят из одной вершины).

Глава 2. Практическое исследование ортоцентра

2.1 Доказательства свойств ортоцентра

1. Точка P симметрична точке H. Треугольники AHB и APB симметричны, следовательно, они равны, значит, ∠APB = ∠AHB =180° − ∠ACB (как угол между высотами). В четырехугольнике ACBP ∠C + ∠P =180°. Следовательно, он – вписанный, тогда точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC.

2. Рассмотрим треугольник AHB.

Доказательство почти буквально повторяет доказательство свойства 1. Полезно заметить, что AHBQ – параллелограмм. Это нам пригодится при доказательстве свойств 3 и 8 и в решении задач.

3. Из п. 2 известно, что AHBQ – параллелограмм. Значит, BQ || AH и AH ⊥ BC (т.к. AH содержит высоту треугольника). Получили, что ∠CBQ = 90°. Следовательно, CQ – диаметр.

4. Совместим на одном чертеже свойства 2 и 3 (см. рис). CQ – диаметр, тогда OE – средняя линия треугольника CQH.

5. I способ:

Из треугольника COM по теореме Пифагора OC2 = OM2 + CM2. По свойству 4 OM = 1/2 AH. Получим, что R2 = (AH2)/4 + a2/4, 4R2  = AH2 + a2. Обратим еще раз внимание, что в треугольнике COM собраны три элемента треугольника ABC – радиус описанной окружности, половина стороны и угол. Поэтому это дополнительное построение можно использовать для решения совсем других задач. С помощью треугольника COM можно доказать, например, теорему синусов для остроугольных треугольников, когда точка О лежит внутри треугольника АВС.

II способ:

Воспользуемся свойствами 2 и 3. AH = BQ (см. доказательство свойства 2). Из треугольника CBQ по теореме Пифагора 4R2 = BQ2 + a2 = AH2 + a2.

6. Вспомним, что такое «Важная конструкция, связанная с двумя высотами». Обозначим углы треугольника ABC ∠A =α, ∠B = β, ∠C = γ.

 Конструкция, о которой идет речь, возникает в задачах довольно часто, поэтому стоит запомнить очень полезную формулу «угла между высотами»: ∠AHB = 180° − γ. Проведем через точку C касательную к описанной окружности треугольника ABC. Можно сказать о взаимном расположении этой касательной и прямой, содержащей сторону A1B1 ортотреугольника как о параллельных (т.к. по свойству касательной ∠DCB = ∠CAB = α. По свойству внешнего угла вписанного четырехугольника углы ∠CA1B1 = ∠B1AB =α. Следовательно, прямые CD и A1B1 параллельны).

Мы доказали, что касательная в точке C параллельна стороне A1B1 ортотреугольника. Радиус перпендикулярен касательной и, следовательно, прямой A1B1.

7. Свойство: внешний угол вписанного четырехугольника равен противоположному внутреннему углу. Верно и обратное.

Стоит обратить внимание на то, что в точках A1 и B1 можно воспользоваться методом выпрямления траектории. В большинстве случаев решить задачу с такой конструкцией можно, сделав простое дополнительное построение: продолжим луч AB за точку B.

Другими словами, мы «выпрямляем» траекторию движения. Этот метод и называют «метод выпрямления траектории». Получаем, что ∠1 = ∠3 = ∠2.

Следовательно, на чертеже возникает биссектриса, а вместе с ней и симметрия, свойства которых можно подключить к решению задач.

Продолжим лучи C1B1 и C1A1. Тогда B1C и A1C – биссектрисы внешних углов треугольника A1B1C1. Точка С – центр вневписанной окружности треугольника A1B1C1.

8. Равенство нужных углов следует из того, что ∠COM = ∠CAB = α.

2.2 Основное применение ортоцентра

В задачах на ортоцентр треугольника часто используются свойства и признаки вписанных четырехугольников, вписанные углы, прямой угол опирается на диаметр и т.д.

При решении задач часто приходится использовать признаки того, что четыре точки лежат на одной окружности. Перечислим те, которые могут пригодиться при решении и некоторые полезные вспомогательные факты.

1. Свойство и признак касательной.

Свойство: угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между ними.

Признак: прямая, проходящая через вершину треугольника и образующая со стороной, исходящей из этой вершины, угол, равный углу треугольника, лежащему против этой стороны, является касательной к описанной окружности треугольника.

2. Признаки и свойства вписанного четырехугольника.

Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то четырехугольник вписан в окружность. Верно и обратное.

Свойство: внешний угол вписанного четырехугольника равен противоположному внутреннему углу. Верно и обратное.

3. Геометрическое место точек.

а) Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, есть окружность, построенная на данном отрезке как на диаметре, без концов отрезка.

б) Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, есть две симметричные дуги (см. рисунок), без концов отрезка.

4. Радиус – как важное дополнительное построение.

С этой конструкцией связано еще одно дополнительное построение. Опустим перпендикуляр на хорду AB из центра O окружности. Получим прямоугольный треугольник, в котором ∠MOA равен вписанному ∠BAC. Мы воспользуемся этим дополнительным построением при доказательстве свойств ортоцентра.

Вписанный угол равен половине центрального: ∠AOM = γ.

5. Линия центров двух пересекающихся окружностей.

Линией центров двух окружностей называется прямая, походящая через

их центры.

Свойство: линия центров двух пересекающихся окружностей является

серединным перпендикуляром к их общей хорде.

Теперь, когда мы вспомнили, какие свойства мы можем применять при решении задач на ортоцентр, можно перейти к нашему решению нескольких задач, дабы проверить основные свойства ортоцентров и ортотреугольников.

Задача 1.

Докажите, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Решение.

Пусть AA1, BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC. Проведем через вершины треугольника ABC прямые, параллельные противоположным сторонам      (A2B2 ∥AB, A2C2 ∥AC, B2C2 ∥BC).

Тогда заметим, что ABA2C — параллелограмм, значит, A2C =AB. Аналогично ABCB2 — параллелограмм, и B2C = AB. Следовательно, C — середина отрезка A2B2. Аналогично докажем, что A — середина B2C2, B — середина A2C2.       CC1 ⊥ AB, AB ∥ A2B2, значит, CC1 ⊥ A2B2. Аналогично AA1 ⊥ B2C2 и                  BB1 ⊥ A2C2. Таким образом, прямые AA1, BB1 и CC1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A2B2C2, следовательно, пересекаются в одной точке.

Задача 2.

Пусть высоты AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H —ортоцентре треугольника ABC. Докажите, что:

а) четырёхугольники AC1HB1, BA1HC1, CB1HA1 являются вписанными.

б) четырёхугольники ABA1B1, BCB1C1, CAC1A1 являются вписанными.

Решение.

а) Заметим, что ∠AC1H = ∠AC1C =90∘ и ∠AB1H = ∠AB1B = 90∘, так как BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC.  

Следовательно, ∠AC1H + ∠AB1H = 180∘, значит, AC1HB1 — вписанный четырехугольник, так как сумма его противоположных углов равна 180∘.

Четырёхугольник BA1HC1 является вписанным, так как сумма его противоположных углов равна:

∠BA1H + ∠BC1H = ∠BA1A +∠BC1C = 90∘ + 90∘ = 180∘

Четырёхугольник CB1HA1 является вписанным, так как сумма его противоположных углов равна:

∠CB1H + ∠CA1H = ∠CB1B +∠CA1A = 90∘ + 90∘ = 180∘

б) Заметим, что в четырёхугольнике ABA1B1 углы AA1B и AB1B,   опирающиеся на сторону AB, равны 90∘, значит, ABA1B1 — вписанный четырёхугольник.

В четырёхугольнике BCB1C1 углы ∠BB1C и ∠BC1C, опирающиеся на сторону BC, равны 90∘, значит, BCB1C1 — вписанный четырёхугольник.

В четырёхугольнике ACA1C1 углы ∠AA1C и ∠AC1C, опирающиеся на сторону AC, равны 90∘, значит, ACA1C1 — вписанный четырёхугольник.

Заметим, что в этой задаче случаи прямоугольных и тупоугольных треугольников не разбираются отдельно. Несложно убедиться, что они устроены практически аналогично.

Задача 3.

Пусть AA1, BB1 и CC1 — высоты треугольника ABC. Докажите, что

а) ∠BA1C1 = ∠CA1B1.

б) прямые AA1, BB1 и CC1 являются биссектрисами углов ортотреугольника A1B1C1.

Решение.

а) Заметим, что ABA1B1 — вписанный четырёхугольник, так как ∠AA1B = ∠AB1B = 90∘, значит, по свойству вписанного четырёхугольника его внешний угол CA1B1 равен противоположному внутреннему углу BAB1.  

Аналогично внешний угол BA1C1 вписанного четырёхугольника ACA1C1   равен его противоположному внутреннему углу C1AC.   Тогда имеем:

∠CA1B1 =∠BAB1 = ∠BAC = ∠C1AC = ∠BA1C1

б) Докажем, что прямая AA1 является биссектрисой угла B1A1C1. Заметим, что ∠AA1B = ∠AA1C = 90∘.   По предыдущему пункту ∠BA1C1 = ∠CA1B1, значит, ∠AA1B − ∠BA1C1 = ∠AA1C − ∠CA1B1 ⇔ ∠AA1C1 = ∠AA1B1.

Таким образом, AA1 — биссектриса угла B1A1C1.  

С помощью рассуждений из пункта а) мы можем получить, что ∠AB1C1 =∠CB1A1   и ∠AC1B1 = ∠BC1A1.   Далее аналогично можем доказать, что BB1   и CC1 — биссектрисы углов A1B1C1 и A1C1B1 соответственно.

2.3 Нахождение и применение ортоцентра

в повседневной жизни

1. Ортоцентры могут применяться в сфере компьютерной графики.

2. Ортоцентры, как часть геометрии, могут служить как изобразительное средство для многих видов искусства.

3. Архитектура полностью состоит из геометрии, особенно внешний вид зданий и сооружений, а значит, в ней так же имеет место быть ортоцентр (например, при построении различных чертежей, планировки и так далее).

4. Так как геометрия широко применяется в географии, то ортоцентры могут служить для составления географических карт - проекции с числовыми отметками, разверток поверхности земли, для определения координат точек земной поверхности, определение объема земляных работ при строительстве дорог и других объектов и прочих.

5. Ортоцентры используется в тяжелом машиностроении, для проектировки и сборки деталей и механизмов, в текстильной и обувной промышленности, в воздушно-космических силах, в кораблестроении, самолетостроении и т.д.

6. Может так же являться инструментом в такой сфере деятельности, как инженерия. В проектных организациях инженеры выполняют работы по комплексному проектированию, например, конструктивной части (электроснабжение, отопление и вентиляция, водопровод и канализация, слаботочные системы — телефон, пожарная сигнализация, теленаблюдение и др.). Они создают планы проектируемых комплексов, куда входят дороги, земляные работы, организация строительства. Направление деятельности строителей очень широкое — кроме возведения зданий, производственных комплексов, фабрик, они проектируют мосты, гидротехнические сооружения, плотины, дамбы и т. д.

7. Ортоцентр, как элемент геометрии, может применяться в дизайне - творческой деятельности, целью которой является определение формальных качеств изделий промышленности. Эти качества включают и внешние черты изделия, но главным образом те структурные взаимосвязи, которые превращают изделие в единое целое, как с точки зрения потребителя, так и с точки зрения изготовителя.

Общий вывод

В работе были рассмотрены основные свойства и формулы, связанные с ортоцентром треугольника, систематизированы задачи по их применению. Так же были представлены доказательства теорем и свойств, а также практические решения задач.

Заключение

Ортоцентр – не единственное, но и не менее важное свойство любого треугольника. Как мы выяснили в своём исследовании, их применение возможно во многих сферах человеческой деятельности, будь то строительство, механика или всевозможные жанры искусства. Ортоцентр, как часть геометрии, подобно ей, окружает нас повсюду. Так же, как геометрия, ортоцентр – незаметная, но такая «замечательная» часть нашей жизни.

В конце концов, можно сделать вывод о том, что данная работа была нацелена рассмотреть применения ортоцентра в различных сферах деятельности, что было успешно подтверждено в различных теоретических и практических материалах. Таким образом, ортоцентр действительно применятся в нашей повседневной жизни, что и подтверждает нашу гипотезу.

Список литературы

1. geometry.ru/articles.php, статьи на сайте, посвященном геометрии.

2. Егоров А., Ортоцентрический треугольник, Квант, №4, 2001.

3. Филипповский Г.Б., О двух параллелограммах в треугольнике, Квант, №4, 2008.

4. Филипповский Г.Б., Лемма о “дважды биссектрисе”, Математика в школе, 2008, №4.

5. Филипповский Г.Б., "О двух точках, симметричных ортоцентру треугольника", Математика в

школе, 2009, №3.

6. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ортоцентр, общедоступная многоязычная универсальная интернет-энциклопедия.

7. https://2.shkolkovo.online/catalog/3644?SubjectId=1