О кратности площадей равнограничных прямоугольников.

Управление образования Красносулинского района

Филиал Донской Академии наук юных исследователей

Математика

Исследовательская работа

Тема: «О кратности площадей равнограничных прямоугольников»

Автор работы:

Лавренюк Константин Васильевич, 11 кл.,

МБОУ СОШ №6

Руководитель:

Чернышев Эдуард Николаевич,

учитель математики

МБОУ СОШ №6

г. Красный Сулин

2024

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

        Наш опыт изучения математики позволяет сделать некоторые обобщающие выводы. Так, например, мы утверждаем, что математика присутствует во всякой мыслительной операции, в которой имеется самосистематизирующаяся изменчивость. При изучении  деепричастных оборотов накопленные в достаточном объеме сведения позволяют  выделить обобщающие закономерности  их грамматического значения. Изучение дебютов в шахматах позволяет  дать им  классификацию, выделив, например, открытые и закрытые дебюты. Несомненно, что  указанные примеры систематизации  характеризуют имеющуюся изменчивость, а, следовательно, являются примерами математического действия. [10]

        Изучая  прямоугольники, мы  еще в средних классах убедились, что при равенстве периметров площади этих фигур могут быть различными, а из всех прямоугольником с фиксированным периметром наибольшую площадь имеет квадрат, наименьшую же площадь найти невозможно, поскольку она стремится к нулю при уменьшении доли ширины по отношению к длине прямоугольника. [7, 8]

        Прямоугольник, представляя одну из элементарных геометрических фигур, вместе с тем, хранит в себе потенциал для систематизации  изменений в своих характеристиках. В этом еще раз убеждаемся,  встретив задачу Герона Александрийского о   прямоугольниках и не найдя  ее  системного решения. [9]

Более 20 веков человечество пользуется математическим наследием Герона Александрийского. Общеизвестна созданная им формула площади треугольника  по трем сторонам. [6]

Вместе с тем, Герону приписывают и такую задачу:

«Найти две прямоугольные области равного периметра, площади которых находились бы в четырехкратном отношении». [3, 6, 11]

Двадцать с лишним веков назад, очевидно, исследователи не ставили перед собой задачу поиска всех решений. Известно лишь одно частное решение Герона, данное им самим: (48;15) и (60;3). Описание метода, с помощью которого Герон нашел это решение, неизвестно. Возможно, указанное решение было найдено способом подбора. [2, 5]

Обратим также внимание,  что задача Герона  решаема в натуральных числах, о чем, в частности, свидетельствует  приведенное автором решение.

Но единственно ли оно на множестве натуральных чисел?

Существуют  ли другие решения?

Возможно ли построить систематическое решение задачи Герона, пользуясь элементами алгебры?

В связи с поиском  ответов на поставленные вопросы нами предпринята попытка построить целостную математическую теорию по поиску на множестве натуральных чисел таких   пар по, что суммы чисел в каждой паре равны, а отношение произведений чисел каждой пары есть заданное натуральное число.

Цель исследования:

 Создание математической теории  определения размерностей равнограничных (равнопериметрных) прямоугольников, отношение площадей которых равно  заданному натуральному числу.

Задачи исследования:

1.Описать математическую модель задачи Герона на языке алгебры для натурального значения отношения площадей прямоугольников.

2.Преобразовать указанную модель с целью получения  общего метода (системы действий) по поиску  решений задачи Герона для различных  отношений площадей прямоугольников..

3.Найти несколько  решений задачи Герона с помощью общего метода.

4.Получить формулы общего члена  в последовательностях решений задачи Герона (метод последовательностей).

5.Найти несколько решений задачи Герона методом последовательностей.

6.Пользуясь установленными закономерностями и фактами их применения,  сделать вывод о  специфике методов и количестве решений задачи Герона.

Гипотеза:

Задача Герона  о кратности площадей равнограничных прямоугольников имеет бесконечно много натуральных решений, получаемых различными методами.

Методы:

Математическое моделирование, метод  подстановки в решении систем уравнений,   обобщения и формулирования  выводов, анализ фактов и информации, сравнение и сопоставление.

ОБЩИЙ  МЕТОД  РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГЕРОНА

        В содержании задачи Герона речь идет о прямоугольнике с  парами противоположных сторон (x, y)  и   (p, q).  (Рис. 1)

В нашем исследовании мы предполагаем получить общие формулы для решения задачи Герона.    [1, 4]

                y                                                                                  q

x                                                                                      p

                                           Рис. 1

Математическая модель задачи имеет вид системы:

                                                                                               (1)

Попытаемся  решить систему (1), используя способ подстановки и общие понятия о делимости натуральных чисел.

Из первого уравнения           выразим переменную  х:      

Тогда система (1)   принимает вид:

                                                                                           (2)

Упростим второе уравнение системы (2), получим:

                                    (3)

Т.к.                    , , , то                

Обозначим =n, n     тогда                               (4)                                                                                      

Это общая модель корней уравнения (3).

Подставим   (4)     в      (3)        и получим

                                                     (5)

Подставим              (4)   и    (5)           в уравнение                  и получим:

                                                            (6)

ПРИМЕРЫ РЕШЕНЯ ЗАДАЧИ ГЕРОНА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБЩЕГО МЕТОДА

Задав значения , ,  можно найти x, q, y по формулам:

(4)                          

(5)                          

(6)                          

Однако пригодны лишь те значения n, которые делят (kp) или p(k-1)) нацело.

Пример 1.

В частности, при  получим

Подходят n=1,2,3,4,6,12 и другие делители числа 108.

Так, при n=1, p=3, k=4, получаем

, т.е. решениями являются (120;13), (3;130).

Здесь

Пример 2.

В частности, при k=3, p=2 получим

         Подходят n=1,2,3.4,6, 8, 12 и 24, т.е делители числа 24.

Так, при n=4, получаем

Т.е. решениями являются (12;10), (20;2).

Здесь

Пример 3.

В частности,  для    получаем

Подходят  Так, при

Решениями являются: (18;20), (2,36)

Здесь

Пример 4

При

Подходят n=1,2,3,5,6,7,10  и другие делители числа 1050.

Пусть   . Тогда

Т.о., решениями являются  (5; 222) и (185; 42).

Пример 5

При

Подходят n=1,2, 4, 7, 8, 16, 32  и другие делители числа 1792.

Пусть   . Тогда

Т.о., решениями являются  (60; 64) и (4; 120).

Таким образом, можно получить бесконечно много решений задачи Герона.

МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ГЕРОНА

Мы получили множество  решений задачи Герона и  упорядочили их по значению и   (Табл. 1)

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ГЕРОНА, ПОЛУЧЕННЫЕ  ОБЩИМ МЕТОДОМ

Таблица 1

Изучая последовательности {x}, {y} и {p}, считая k параметром, нам удалось подобрать формулы k-го члена этих последовательностей, используя соответствующую теорию о числовых последовательностях [1]:

                                                                                              (7)

Так, при  решениями задачи Герона являются (180;35), (5;210)

Здесь

Пользуясь формулами (7), можно получить решение задачи Герона для любого

ПРИМЕРЫ РЕШЕНЯ ЗАДАЧИ ГЕРОНА  С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  МЕТОДА  ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Итак, формулы 7 имеют вид:

При    получим:

=448

=63

=7

=504

Здесь

При    получим:

=18

=2

Здесь

При   получим:

=1584

=1716

Здесь

        Аналогично можно получить решения задачи Герона при любом натуральном значении параметра

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

        В процессе  исследованиями нами  использованы общие подходы к решению систем уравнений,  свойства делимости, методы  моделирования формулы n-го члена числовой последовательности, что позволило   рассмотреть  решение задачи Герона  с различных точек зрения.

        Во-первых, такого рода проблемные ситуации дают исследователю опыт  совершенствования базовых математических компетенций в нестандартных ситуациях.

Во-вторых, поиск решения  дает возможность конструировать новые оригинальные  методы.

        В-третьих, решение  проблемных вопросов позволяет  расширить область практического применения математической теории для решения частных и прикладных задач.

        В нашем исследовании удалось  сконструировать и  применить два   оригинальных метода  решения задачи Герона.

        Общий метод предполагает, что  изначально задана одна из сторон прямоугольников и  значение отношения  площадей.  Так, например, если длина одной из сторон одного из прямоугольников равна 2, а отношение площадей равно 5, то  искомые прямоугольники имеют размеры (18;20) и (2;36). Кроме того, применение данного метода предполагает  определение в ходе решения значения параметра  n, который выбирается из числа делителей натурального числа. В этом мы видим   трудоемкость общего метода, являющегося, однако,  универсальным.

Применение общего метода убедительно свидетельствует о бесконечности числа решений задачи Герона, в том числе, при конкретном значении отношения площадей прямоугольников.

        Метод последовательностей стал применяться нами тогда, когда  были накоплены  решения задачи Герона общим методом.  Оказалось, что  множества длин сторон прямоугольников являются числовыми функциями (последовательностями) от  параметра, задающего соотношение площадей этих фигур.  Метод последовательностей позволяет получать решения задачи Герона только по указанному соотношению площадей. Так, например, решениями задачи Герона являются длины сторон прямоугольников (100;24) и (120;4).

        Фактов об ограниченности в  применении общего метода и метода последовательностей нами  не  обнаружено.

Полученные формулы и соответствующие методы  свидетельствуют о бесконечном количестве решений задачи Герона в натуральных числах.

Настоящее исследование применимо в рамках  курсов алгебры и геометрии с целью демонстрации проектного и исследовательского подходов к изучению и развитии математики.

        Практическое применение   материалов исследования  целесообразно в геометрии, картографии, межевании  территории, решении задач на поиск оптимальных соотношений площадей геометрических фигур, раскрое заготовок, в решении экономических задач и др. Кроме того, наше исследование удачно и  интересно иллюстрирует  материалы  школьного курса математики по  темам «Площадь прямоугольника», «Решение систем уравнений» и «Числовые последовательности».

Выполненное  исследование позволило  создать условия для повышения у автора  уровня математической грамотности, степени готовности к адекватному и рациональному  решению нестандартных интеллектуальных проблем, изобилующих в олимпиадных задачах и заданиях повышенной сложности  в материалах государственной  итоговой аттестации.

Нам античный герой  оставил   в наследство проблему

Недосказанную и недорешенную.

Мысль Герона  стремимся постичь мы сквозь время,

Мысль  глубокую, думу  не временную.

Интеллекта  мечту простирая сквозь время,

Словно в общем строю мы с Героном идем,

Возлагая на плечи свои груз мышления бремя,

Вместе мыслим и вместе решенья находим!

Пусть простят нас   века, коли мы недопели,

Недодумали,  недомыслили, недоглядели.

Мы усильем своим    обессмертим их.  Предков идеи.

Пусть продолжатся в нас.  В это свято мы верим!

ЛИТЕРАТУРА

1. http://cos-cos.ru/math/94/ как составить формулу
2. https://eruditov.net/publ/geometria/otnoshenie/2-1-0-140
3. https://kakizobreli.ru/geron-aleksandrijskij/
4. https://math24.biz/article?id=resheniye_slau_4_poryadka_metodom_gaussa
5. https://www.n-asveta.by/dadatki/2016/yakush.pdf сложные задачи с прямоугольником
6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., исправл. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. — 544 с.
7. Геометрия : 8 класс : учебное пособие / А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков ; под ред. В.Е. Подольского. – М. : Вентана-Граф, 2019.
8. Геометрия : 9 класс : учебное пособие / А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков ; под ред. В.Е. Подольского. – М. : Вентана-Граф, 2019.
9. Грачева Н.Ю. Геометрические задачи на формирование творческой деятельности учащихся V–VI классов? //Математика в школе. 2007, №7. С.31.
10. Егупова М.В., Мошура Ю.В. Задачи на практические приложения геометрии как средство достижения метапредметных образовательных результатов. //Математика в школе. 2020, №2. С.37-42.
11. Кордемский Б.А.Герон, возможно, утаил? //Математика в школе. 1994, №1. С.73-74.