Деревья Бережнева. Научно-исследовательская работа.

Управление образования Красносулинского района

Филиал Донской Академии наук юных исследователей

Математика

Исследовательская работа

Тема: «Деревья Бережнева»

Автор работы:

Бережнев Богдан Филиппович, 11 кл.,

МБОУ СОШ №6

Руководитель:

Чернышев Эдуард Николаевич,

учитель математики

МБОУ СОШ №6

г. Красный Сулин

2024

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Изучаемые в школьном курсе математики прямоугольные системы координат на плоскости и пространстве ограничивают простор для конструирования и изучения свойств  фигур и тел, являющихся моделями реальных объектов.  Так, например, в прямоугольной системе координат  не допускается рассмотрение объектов проецирования при цилиндрической, конической и азимутальной проекции, широко применяемых в картографии. Прямоугольная диметрия, используемая в черчении, регламентирует применение прямоугольной диметрической проекции, у которой ось Оz расположена вертикально, ось Ох наклонена под углом 7°10', а ось Оу – под углом 41°25' к линии горизонта.  Не  является прямым также угол между парой осей в изометрической и аксонометрической проекциях.  [5, 9, 14]

В нашем исследовании будем рассматривать  аффинную  систему координат на плоскости. Эта система координат задается   точкой О и  парой приложенных к ней неколлинеарных векторов  ,  которые являются соответственно единичными векторами оси абсцисс Ох  и оси ординат Оу соответственно. [1, 8]

Для определенности угол  будем считать равным .   (Рис. 1)

                                                        Рис. 1

В  описанной аффинной системе координат проводил исследования свойств фигур Карл Вейерштрасс. В опубликованной им в 1872 году статье «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии» описаны  свойства фрактальной кривой в аффинной системе координат. [3, 11]

В 1904 году шведским математиком  Хельге фон Кохом была описана фрактальная кривая, которая строится на основе   равностороннего треугольника и  названа кривой Коха. Ученый доказал, что снежинка Коха имеет  бесконечный периметр, что, однако, не мешает этой кривой охватывать конечную площадь, величина которой равна  примерно 1,6 площади базового треугольника. (Рис. 2)

                                                        Рис. 2

Кривая Коха  строится на основе  фрактального  подхода, который характеризуется кратным  повторением  построения  одной и той же фигуры (генерацией итераций). Фрактальной будем называть кривую, построенную на основе фрактального подхода, когда геометрическая фигура  обладает свойством самоподобия, т.е. в точности или приближённо совпадает с частью себя самой, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей. [4, 6, 7]

Ознакомление с указанными фактами и предварительное экспериментирование с построением фигур в аффинной системе координат привели нас к  определению цели, объекта, предмета и задач нашего исследования.

Цель: формирование оригинального метода построения  и  описание свойств  многоугольника, построенного в аффинной системе координат с использованием фрактального подхода.  

Задачи:

1.Описать   способ  построения  многоугольника «Дерево Бережнева» в аффинной системе координат.

2.Описать способ построения  ряда «Деревьев Бережнева» в аффинной системе координат.

3.Выявить и обосновать свойства «Дерева Бережнева».

4.Выявить и обосновать свойства ряда «Деревьев Бережнева».

5.Выявить  и обосновать свойства площади  ряда Деревьев Бережнева.

6.Оценить полученные закономерности с точки зрения оригинальности, уникальности и научной новизны.

7.Сформулировать предложения об использовании описанной теории при решении прикладных задач.

Объект исследования: фрактальная  ломаная «Дерево Бережнева».

Предмет исследования: способы построения и свойства ряда фрактальных ломаных - «Деревьев Бережнева». Оригинальное название «Дерево Бережнева»  призвано обособить изучаемый предмет от  других фигур в аффинной системе координат. Далее указанный термин будем использовать без кавычек.

Гипотеза: существует способ построения ряда фрактальных кривых в аффинной системе координат, имеющих  образ дерева и обладающих  оригинальными свойствами.

Использованные методы:

• теоретические (анализ, обобщение, формулирование выводов, деятельность по аналогии, установление иерархии);
• эмпирические (геометрические построения, опыты, экспериментирование, конструирование формул);
• математические (вычисления по формулам, расчет средних значений).

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРВОДЕРЕВА БЕРЕЖНЕВА

        Построение Дерева Бережнева  выполняется в аффинной системе координат с углом   между положительными направлениями координатных осей. При этом мы использовали соразмерные нашим возможностям основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления. [12, 14]

        Первый шаг состоит в последовательном построении  отрезков между точками (0;0), (1;0), (1;1), (2;0) и (3;0).  (Рис. 3)

        При этом отрезки, лежащие на оси абсцисс, будем считать вспомогательными,  а первым Деревом  Бережнева будем считать равносторонний треугольник с вершинами в точках (1;0), (1;1) и (2:0).  Этот треугольник назовем «перводерево».

Условимся, что  каждое следующее построение Дерева Бережнева будет начинаться с отступом вправо по оси абсцисс на вспомогательный отрезок.

        Это перводерево имеет периметр, равный трем, и площадь, равную   .

        Для построения второго Дерева Бережнева определим, что направление оси абсцисс  является начальным направлением. В дальнейшем от начального направления будет зависить  построение и получаемые фигуры.  Перводерево с  прилежащими вспомогательными  отрезками будем называть генератором.

        Ниже, при определении фрактальной размерности Дерева Бережнева, мы опишем  еще один способ построения генератора.

Отрезок между точками (0;0) и (1;0) является вспомогательным и  частью генератора. Отрезок между точками (2;0) и (3;0) является вспомогательным и  частью генератора. Остальные отрезки, полученные при построение Деревьев Бережнева и лежащие на оси абсцисс, являются вспомогательными, но не являются частью генератора.

Поворот генератора по часовой стрелке отнесем к движению «-», а против часовой, -  «+».

        Получается, что генератор строится так:

1. Вперед на одно деление из начала отсчета системы координат.
2. Поворот на +
3. Вперед на одно деление.
4. Поворот на -
5. Вперед на одно деление.
6. Одно деление в начальном направлении.

        Итак, построение  перводерева и генератора завершилось построением вспомогательного отрезка между точками (2;0) и (3;0).

                Рис. 3        

ПОСТРОЕНИЕ  РЯДА  ДЕРЕВЬЕВ  БЕРЕЖНЕВА

Второе Дерево Бережнева будем строить из точки (3;0) по следующему алгоритму:

1. В точке завершения предыдущего генератора поворот +
2. Строим генератор.
3. В точке завершения предыдущего генератора поворот на
4. Строим генератор.
5. В точке завершения предыдущего генератора поворот в начальное направление.
6. Строим вспомогательный отрезок.

Таким образом, второе Дерево Бережнева  является девятиугольником с вершинами в последовательно расположенных точках (3;0), (3;1), (2;2), (3;2), (3;3), (4;2), (5;2), (5;1), (6;0).

Точки (6;0) и (7;0) соединяют вспомогательный отрезок, не являющийся частью  второго Дерева Бережнева.

Для построения третьего Дерева Бережнева  применим следующий алгоритм, находясь в начальном положении в точке (7;0):

1. Поворот на + от начального направления.
2. Строим два генератора подряд без  изменения направления.
3. Поворот на  
4. Строим два генератора подряд без изменения направления.
5. Возврат на начальное направление.
6. Строим вспомогательный отрезок.

Таким образом, третье Дерево Бережнева является  пятнадцатиугольником с вершинами в последовательно расположенных точках (7;0), (7;1), (6;2), (7;2), (7;3), (6;4), (7;4), (7;5), (8;4), (9;4), (9;3), (10;2), (11;2), (11;1) и (12;0).

Для построения  n-го  (n≥4) Дерева Бережнева  следует использовать следующий алгоритм:

1. Из точки завершения вспомогательного отрезка справа от предшествующего дерева поворот на + от начального направления.
2. Построить (n-1) подряд  идущих генератора без изменения направления.
3. Поворот на  .
4. Построить (n-1) подряд  идущих генератора без изменения направления.
5. Вернуться на начальное направление.
6. Построить вспомогательный отрезок.

Таким образом, получается бесконечный ряд Деревьев Бережнева, в каждом из которых нижней границей является отрезок оси абсцисс,  а «боковые стороны» построены в соответствии с приведенными выше алгоритмами.

Заметим, что Деревья Бережнева не являются в чистом  виде фрактальными кривыми, поскольку части генератора при дальнейших действиях не повторяют итераций, проделанных для получения перводерева.

СВОЙСТВА  РЯДА  ДЕРЕВЬЕВ  БЕРЕЖНЕВА

Несмотря на то, что используемая нами аффинная система координат не является прямоугольной, Деревья Бережнева отличаются наглядной симметрией, правильными формами и равномерностью изменений по мере роста числа используемых генераторов.  (Рис. 3)

Рассмотрим некоторые свойства  как отдельных, так и целого ряда Деревьев Бережнева. Эти свойства, как правило, описаны нами с использованием правил построения формул n-го члена числовых последовательностей и соразмерной нашим возможностям теории рядов. [10, 13]

Заметим, что у перводерева 3 вершины, у второго дерева 9 вершин, у третьего дерева – 15 вершин. Очевидно, что у каждого последующего дерева на 6 вершин больше, чем у предыдущего. Тогда количество вершин n-го дерева определяется формулой:

 n – порядковый номер дерева (n≥1).

Так, например, у пятидесятого дерева  имеется 297 вершин.

Все вершины делятся на внешние и  внутренние. Так, на Рис.3 :    вершина    (3;1) является внутренней, а вершина  (2;2) внешней..

Количество внешних вершин определяется формулой

2n+1, n≥1.

Количество внутренних вершин определяется  формулой

4n-4, n≥1.

Заметим, что у  первого дерева 3 внешних и 0 внутренних вершин, у второго дерева 5 внешних и 4 внутренних вершины, у третьего дерева 7 внешних и 8 внутренних вершин, у четвертого дерева 9 внешних и 12 внутренних вершин,… у пятидесятого дерева 101 внешняя и 196 внутренних вершин. Таким образом, начиная с третьего дерева, количество внутренних вершин превышает количество внешних вершин.

Заметим, что количество вершин (в том числе,- внутренних и внешних) функционально  связаны с порядковым номером дерева.

        Рассмотрим координаты «верхних»  вершин Деревьев Бережнева.

        При n=1 (перводерево)  вершина имеет координаты (1;1).

        При n=2 (второе дерево)  вершина имеет координаты (3;3).

        При n=3 (третье дерево)  вершина имеет координаты (7;5).

        При n=4 (четвертое дерево)  вершина имеет координаты (13;7).

        При n=5 (пятое дерево)  вершина имеет координаты (21;9).

        При n=6 (шестое дерево)  вершина имеет координаты (31;11).

        При n=7 (седьмое дерево)  вершина имеет координаты (43;13).

        …

        Таким образом, n-е  дерево будет иметь самую «высокую» вершину (хn;уn), абсцисса которой определяется рекуррентно:

        ,  где n≥2,

а ордината определяется формулой 2n-1.

        Так, например, абсцисса верхней вершина  восьмого  Дерева Бережнева (n=8) равна

         соответствующая ордината равна  

        Таким образом, верхняя вершина восьмого  Дерева Бережнева расположена в точке (57;15).

        Заметим, что приращение   абсциссы указанной вершины происходит быстрее, нежели приращение ординаты. Оба приращения подчинены функциональной зависимости.

        Говоря о других свойствах Деревьев Бережнева, отметим  следующее:

• кривая, задающая границы Дерева Бережнева, непрерывна, но нигде не дифференцируема (т.е. не имеет касательной, в том числе,- перпендикулярной оси абсцисс);
• в единичных отрезках значения периметров Деревьев Бережнева образуют ряд 3, 11, 19, 27, … ;  например, периметр пятидесятого Дерева Бережнева равен 395;
• сумма внутренних острых углов последовательно принимает значения  1800 , 300о , 4200 , 5400 , …; так, например, сумма внутренних острых углов пятидесятого Дерева Бережнева равна 60600; таким образом, сумма внутренних острых углов  последовательного ряда Деревьев Бережнева образует линейную функцию, где аргументом является номер Дерева Бережнева в общем возрастающем ряду.

СВОЙСТВА ПЛОЩАДИ  ДЕРЕВЬЕВ  БЕРЕЖНЕВА

        Заметим, что  каждое Дерево Бережнева имеет  форму многоугольника, а значит его площадь ограничена. (Рис. 3)

        Площадь перводерева равна .

        Заметим,  что в дальнейшем нахождение площадей Деревьев Бережнева удобно предварить расчетом количества перводеревьев, составляющих n-е Дерево Бережнева.

        Так, второе  дерево составляют 11 перводеревьев, третье дерево составляют 29 перводеревьев, четвертое дерево составляют 55 перводеревьев, пятое дерево составляют 89 перводеревьев, и т.д.

        Заметим, что  при вершине каждого  Дерева Бережнева лежит одно перводерево.

        Двигаясь снизу вверх в каждом Дереве Бережнева, заметим, что  количество перводеревьев  равно в каждой последующей паре  горизонтальных полос, например:

• во втором дереве количество перводеревьев  в  горизонтальных полосах при движении вверх от оси абсцисс равно 5, 5, 1;
• в третьем дереве  количество перводеревьев в горизонтальных полосах при движении вверх от оси абсцисс равно 9, 9, 5, 5, 1;
• в четвертом дереве  количество перводеревьев в горизонтальных полосах при движении вверх от оси абсцисс равно 13, 13, 9, 9, 5, 5, 1;
• в пятом  дереве  количество перводеревьев в горизонтальных полосах при движении вверх от оси абсцисс равно 17, 17, 13, 13, 9, 9, 5, 5, 1;
• в шестом дереве  количество перводеревьев в горизонтальных полосах при движении вверх от оси абсцисс равно 21, 21, 17, 17, 13, 13, 9, 9, 5, 5, 1;
•  и т.д. (Рис. 4)

                                                        Рис. 4

Логично использовать понятие арифметической прогрессии для  расчета площади Дерева Бережнева.  Получаем следующее:

1). Найдем сумму n-первых членов арифметической прогрессии  1, 5, 9, 13, 17, …:

2). Удвоим обе части равенства:  

3). Уменьшим обе части на единицу:

Таким образом, площадь n-го Дерева Бережнева  измеряется  в перводеревьях по  формуле

В частности,

• площадь второго дерева (n=2) равна  11 перводеревьям, или   единичных отрезка в квадрате;
• площадь третьего дерева (n=3) равна  29 перводеревьям, или   единичных отрезка в квадрате;
• площадь четвертого  дерева (n=4) равна  55 перводеревьям, или   единичных отрезка в квадрате;
• площадь  пятого  дерева (n=5) равна  89 перводеревьям, или   единичных отрезка в квадрате;
• площадь шестого  дерева (n=6) равна  131 перводереву, или   единичных отрезка в квадрате;
• и т. д.

В единичных отрезках площадь Дерева Бережнева равна    

 .

Таким образом, площади последовательного ряда Деревьев Бережнева образуют квадратичную функцию от  номера дерева в возрастающем ряду.

Нами также предпринята попытка установить  рекуррентную функциональную зависимость между  значениями площадей  Деревьев Бережнева, измеряемых в перводеревьях, представленных в виде бесконечного ряда  :

1; 11, 29, 55, 89, 131, ….

…

Так, например,-

Таким образом, площади последовательного возрастающего ряда Деревьев Бережнева связаны рекуррентной формулой.

КРАЕВОЙ ИНДЕКС И ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ДЕРЕВЬЕВ БЕРЕЖНЕВА

В прикладных методиках математики рассматривают так называемый краевой индекс как отношение периметра к корню из площади многоугольника. Однако, для, например, снежинки Коха,  этот индекс неприменим, что установлено исследователями опытным путем. [12, 14]

Определим применимость краевого индекса для Деревьев Бережнева.

КРАЕВОЙ ИНДЕКС  ДЕРЕВЬЕВ БЕРЕЖНЕВА

Таблица 1

По всем приведенным  расчетам среднее значение  краевого индекса равно ≈ 5,54; однако, признавая, что  при увеличении  номера дерева его  свойства проявляются более точно,  примем в качестве краевого индекса число, расчитанное для деревьев с третьего по восьмое включительно; это число равно ≈5,78. (Табл. 1)

Проверим,  сохранится ли примерное значение краевого индекса для  последующих Деревьев Бережнева. (Табл. 2)

КРАЕВОЙ ИНДЕКС  ПОСЛЕДУЮЩИХ ДЕРЕВЬЕВ БЕРЕЖНЕВА

Таблица 2

        Таким образом, краевой индекс, определенный для  3-8 члена ряда Деревьев Бережнева в дальнейшем не  сохраняется. Делаем вывод о невыполнении краевого  индекса   для  Деревьев Бережнева. Это роднит Деревья Бережнева с Кривой Коха. [12, 14]

        Вычислим фрактальную размерность Дерева Бережнева.

        Напомним, что использованный генератор Дерева Бережнева получается так:

1.Берем  отрезок длиной 3 на оси абсцисс.

2.Делим его на три равные части.

3.Среднюю часть   удаляем.

4.На место  средней части  добавляем два отрезка углом так, чтобы образовалась  непрерывная ломаная из четырех звеньев. Это и есть генератор.

Для определения  фрактальной размерности Дерева Бережнева воспользуемся формулой Минковского: , где  М- количество фрагментов целого при его делении на равные части; N – количество полученных частей  после достраивания; логарифм можно брать по любому основанию. [2]

В нашем случае М=3, N=4. Тогда .  

Заметим, что   полученная величина равна фрактальной размерности снежинки Коха, т.е. Дерево Бережнева и снежинка Коха имеют одинаковую фрактальную размерность.

Строгой формулировки с описанием смысла фрактальной размерности нет, но можно ее интерпретировать так: фрактальная размерность чувствительна ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. В курсе по анализу комплексных систем упоминается следующая трактовка: дробная размерность — это своего рода плотность самоподобия. Так, например,  если делить  первичный отрезок на  пять частей, среднюю часть удалить и достроить до ломаной из шести звеньев (М=5, N=6), тогда

,

1,113 меньше, чем 1,26, что  свидетельствует о более высокой плотности самоподобия в Деревьях Бережнева.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

        Конструирование и  функциональное описание принципиально новых математических объектов обуславливают развитие не только научной теории, но и  роли математики в познании окружающего мира.

        Приступая к работе, мы указали на актуальность   использования аффинной системы координат в решении прикладных задач черчения, географии, геометрии, смежных наук.

        Используя  фрактальный подход,  мы сконструировали генератор и на его основе построили  ряд фрактальных ломаных, названных Деревьями Бережнева. Способ построения подробно описан и проиллюстрирован. При этом дано четкое определение сопутствующих терминов: вспомогательный отрезок, перводерево, начальное направление. Выполнено построение  Деревьев Бережнева  с использованием подробного алгоритма.

        Изучение свойств как отдельных, так и ряда Деревьев Бережнева позволило  получить и проиллюстрировать их оригинальные свойства. В частности:

• координаты вершины, периметр и сумма внутренних острых  углов  Деревьев Бережнева являются членами соответствующих  числовых последовательностей  и функциями от номера  соответствующего многоугольника;
• площадь  Дерева Бережнева является значением квадратичной функции от номера этого многоугольника;
• значения площадей  Деревьев Бережнева образуют числовую последовательность, описываемую в том числе  рекуррентной формулой;
• для ряда Деревьев Бережнева о выполнении краевого индекса можно говорить только в пределах первого десятка;
• Деревья Бережнева обладают высокой фрактальной размерностью, т.е. плотностью самоподобия.

Наше исследование носит научно-теоретический характер, в его  замысле отсутствуют задачи на практическое применение созданной теории.  Вместе с тем    описанные фрактальные объекты могут быть использованы  в  технических чертежах, географических картах, изображении фигур и тел в проективной геометрии и др. Об актуальности и  практическом применении фрактального подхода говорят многочисленные факты.

С момента выхода книги Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» началось бурное развитие фрактальной геометрии. Фракталы обнаружили практически во всех естественных явлениях и процессах. «Сейчас анализ на фрактальных множествах развит в той же мере, что и анализ на гладких многообразиях», — говорит Р. Стричартц, профессор американского университета Корнелл. Идеи и достижения новой геометрии нашли самые разнообразные приложения. Фрактальные модели применяют в медицине для ранней диагностики раковых опухолей; в геологии и почвоведении; в материаловедении при изучении процессов разрушения изделий; в ядерной физике и астрономии для изучения элементарных частиц, распределения галактик во Вселенной, процессов на Солнце; в информатике для сжатия данных и улучшения трафика в сети Интернет; для анализа колебаний рыночных цен в экономике, сердечного ритма в кардиологии, погоды в метеорологии; в химии, искусствоведении… — перечень можно продолжать бесконечно. [5, 9, 12, 14]

В компьютерной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур, рисунков на поверхности объекта.

Так, например, с помощью фрактальных многоугольников   учеными Новосибирского госуниверситета построена модель Чивыркуйского залива озера Байкал. Фрактальные геометрические модели облачности позволяют Росгидромету моделировать  поведение атмосферы в долгосрочной перспективе. [12]

Созданная нами  теория созвучна с общими тенденциями развития  содержания фрактальной  геометрии.

Симметричность Деревьев Бережнева позволяет использовать их форму в орнаментах и узорах в различных  областях прикладного искусства.

Гипотетическое предположение о  существовании нового  вида  фрактальных кривых, - Деревьев Бережнева,  обладающих оригинальными свойствами, в нашем исследовании подтвердилось и обрело вид целостной научной теории.

ЛИТЕРАТУРА

1. http://fn.bmstu.ru/images/FN11/serial/2.pdf 
2. http://www.michurin.net/fractals/dim.html   
3. https://cyberleninka.ru/article/n/velikiy-kochevnik-benua-mandelbrot 
4. https://elementy.ru/posters/fractals/Koch 
5. https://habr.com/ru/articles/235283/ 
6. https://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_Коха#/media/Файл:Koch_curve_construction.svg
7. https://ru.wikipedia.org/wiki/Кривая_Коха#/media/Файл:KochFlake.svg
8. https://scask.ru/c_book_agm.php?id=18 
9. https://studwork.ru/spravochnik/oformlenie/cherteji/proekcii-na-cherteje 
10. https://www.wolframalpha.com/input 
11. https://www.yaneuch.ru/cat_99/podobie-form-v-prirode-i/255959.2205501.page2.html 
12. Балханов В.К. Основы фрактальной геометрии и фрактального исчисления.- Улан-Уде: Изд-во Бурятского госуниверситета, 2013.-224с.  
13. Гредасова Н.В., Желонкина Н.И., Корешникова М.А. и др. Ряды: учебное пособие.- Екатеринбург: Изд-во Уральского университета, 2016.-116с.
14. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.-= М., 2002,-656 с.