Исследование делимости натуральных чисел

Оглавление

Введение……………….………...……………………………………..……………..……………………2

Теоретическая часть

Глава I. Определение и свойства делимости чисел.……..………….………..…..……………………...3

          1.1.Определения понятий делимости и признаков делимости, свойства делимости…………..3  

          1.2. Свойства делимости суммы и произведения…….………...……..………..……………...….3

Практическая часть

Глава II. Признаки делимости…….……..…...…………………………………...………………...….....4  

          2.1 Признаки делимости на 2; 5; 3; 9; 10………………………………..……......………...…..….4

          2.2.Признаки делимости на 4,6,8,11,12,13, и т.д.……….…………..……...……………....……..4

          2.3.Признаки делимости на 7…………………………..……………………………………...……5

          2.4.Признак Паскаля…………………………………………………………………..…….………6

Экспериментальная часть…………………………………………………………………………….…...8

Анкетирование……………………………………………………………………………………………..8

Заключение…..………………………………….…………………………………………….............……9

Литература………………………………………………………...………………………..............……..10

Приложение……………….…………………..…………..………..…………………………………..…..I

Исследование делимости натуральных чисел

Хубиева Карина Муратовна

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8»

Класс 6А

Введение

   На уроках математики при изучении темы «Признаки делимости», где мы познакомились с признаками делимости на 2; 5; 3; 9; 10, меня заинтересовало, а есть ли признаки делимости на другие числа, и существует ли универсальный метод делимости на любое натуральное число. Поэтому я занялась этой работой.

   Цель исследования: изучить признаки делимости натуральных чисел до 100, найти универсальный метод делимости натуральных чисел и создать буклет.    Для достижения цели были поставлены задачи:

1. Собрать, изучить и систематизировать материал о признаках делимости натуральных чисел, воспользовавшись различными источниками информации.
2. Вывести универсальный метод делимости на любое натуральное число.
3. Научиться пользоваться признаком делимости Паскаля для определения делимости чисел, а также формулировать признаки делимости на любое натуральное число.
4. Создать буклет.

   Объект исследования: делимость натуральных чисел. Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел. Методы исследования: сбор информации; работа с печатными материалами; анализ; синтез; аналогия; сравнение; анкетирование; систематизация и обобщение материала. Гипотеза исследования: если существуют признаки делимости натуральных чисел, то существует единый принцип делимости на натуральное число.

   Практическая значимость: материал можно использовать в 6 – 8 классах на факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел». Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, во-первых, данная работа систематизирует знания о признаках делимости и универсальном методе делимости натуральных чисел; во-вторых, многие ровесники и старшеклассники не знают, что существуют другие признаки делимости, кто их открыл. По результатам проведенного анкетирования лишь 29% моих ровесников считают, что существует универсальный признак делимости и 100% не знают, кто его открыл. 83% опрошенных одноклассников и обучающихся 9-11 классов хотели бы познакомиться с признаками делимости, не изученными в школе.  Таким образом, данная тема актуальна не только для меня и моих сверстников, но и для старшеклассников.

Исследование делимости натуральных чисел

Хубиева Карина Муратовна

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8»

Класс 6А

Глава I. Определение и свойства делимости чисел

1.1.Определения понятий делимости и признаков делимости, свойства делимости.  

   Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел – натуральные числа. [3,53] Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, это делимость.  Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что a = bk (например, 56 делится на 8, т.к. 56 = 8х7). [9,23]Признак делимости — правило, позволяющее установить, делится ли данное натуральное число на некоторые другие числа нацело, т.е. без остатка. [9,98]

Свойства делимости:

1. Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя.
2. Нуль делится на любое b, не равное нулю.
3. Если a делится на b (b0) и b делится на c (c0), то a делится на c.
4. Если a делится на b (b0) и b делится на a (a0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.

1.2. Свойства делимости суммы и произведения:

1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число. 2) Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делится на некоторое число, то и разность делится на некоторое число. 3) Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся, на некоторое число, то сумма не делится на это число. 4) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.  

5) Если в произведении целых чисел один из множителей делится на m, а другой на n, то произведение делится на mn.

Кроме этого, изучая признаки делимости чисел, я познакомилась с понятием «цифровой корень числа». Возьмём натуральное число. Найдём сумму его цифр. У результата также найдём сумму цифр, и так до тех пор, пока не получится однозначное число. Полученный результат называется цифровым корнем числа. К примеру, цифровой корень числа 654321 равен 3: 6+5+4+3+2+1=21,2+1=3. А теперь можно задуматься над вопросом: «А какие существуют признаки делимости и есть ли универсальный признак делимости одного числа на другое?»

Исследование делимости натуральных чисел

Хубиева Карина Муратовна

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8»

Класс 6А

Глава II. Признаки делимости.

2.1. Признаки делимости на 2,3,5,9,10.

    Среди признаков делимости самые удобные и известные из школьного курса математики 6 класса:

• Деление на 2. Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой или нулём, то число делится на 2.Число 52738 делится на 2, так как последняя цифра 8- четная. [3,69]
• Деление на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3[3,70] (число 567 делится на 3, т.к. 5+6+7 = 18, а 18 делится на 3.)
• Деление на 5. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5 или нулём, то число делится на 5 (число 130 и 275 делятся на 5, т.к. последними цифрами чисел являются 0 и 5, но число 302 не делится на 5, т.к. последней цифрой числа не являются 0 и 5).
• Деление на 9. Если сумма цифр делится на 9, то и число делится на 9 (676332 делится на 9 т.к. 6+7+6+3+3+2=27, а 27 делится на 9).

• Деление на 10. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится на 10 (230 делится на 10, т.к. последняя цифра числа 0).

2.2.Признаки делимости на 4,6,8,11,12,13 и т.д.

Поработав с различными источниками, я узнала еще другие признаки делимости. Опишу некоторые из них.

• Деление на 6. Нужно проверить делимость интересующего нас числа на 2 и на 3. Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное, а его цифровой корень делится на 3. (Например,678 делится на 6, так как оно четное и 6+7+8=21, 2+1=3) Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6. (73,7*4+3=31,31 не делится на 6, значит и 7 не делится на 6.)
• Деление на 8. Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8. [3,70] (12 224 делится на 8 т.к. 224:8=28). Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9*4 + 5 *2 + 2 = 48.
• Деление на 4 и 25.  Если две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4[3,69] или (и) на 25, то число делится на 4 или (и) на 25 (число 1500 делится на 4 и 25, т. к.  оно оканчивается двумя нулями, число 348 делится на 4, поскольку 48 делится на 4, но это число не делится на 25, т.к. 48 не делится на 25, число 675 делится на 25, т.к. 75 делится на 25, но не делится на 4, т.к. 75 не делится на 4).
• Деление на 11. Если разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11, то и число делится на 11[12,268] (число 593868 делится на 11, т.к. 9 + 8 + 8 = 25, а 5 + 3 + 6 = 14, их разность равна 11, а 11 делится на 11).
• Деление на 12. Число делится на 12 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 4. Например. 127344 делится на 12, т.к. оно делится на 3 и на 4. Проверим признаки делимости на 3 и на 4.1+2+7+3+4+4=21, 21:3=7, 44:4=11.
• Деление на 13.   Число делится на 13 тогда и только тогда, когда на 13 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 354862625 делится на 13? 625-862+354=117 делится на 13, 117:13=9, значит, и число 354862625 делится на 13.  [6,2]
• Деление на 23. Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся 288 + 3*42 = 414 и 4 + 3*14 = 46.
• Деление на 30. Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0, и сумма всех цифр делится на 3.
• Деление на 59. Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся 76 + 6*7 = 118 и 11 + 6*8 = 59.
• Деление на 79. Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся 71 + 8*1 = 79.
• Деление на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится 1 + 25 + 73 = 99.
• Деление на 100. На 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры нули. [3,70]

2.3 Признаки делимости на 7.

1) Возьмем для испытания число 5236. Запишем это число следующим образом: 5236=5*1000+2*100+3*10+6=103*5+102*2+10*3+6 («систематическая» форма записи числа), и всюду основание 10 заменим основанием 3); 33*5 + З2 *2 + 3*3 + 6 = 168.Если получившееся число делится (не делится) на 7, то и данное число делится (не делится) на 7.  Так как 168 делится на 7, то и 5236 делится на 7. 68:7=24, 5236:7=748.

2) В этом признаке надо действовать точно так же, как и в предыдущем, с той лишь разницей, что умножение следует начинать с крайней правой и умножать не на 3, а на 5. (5236 делится на 7, так как 6*53+3*52+2*5+5=840, 840:7=120)

 3) Этот признак менее легок для осуществления в уме, но тоже очень интересен. Удвойте последнюю цифру и вычтите вторую справа, удвойте результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение и уменьшая каждый результат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи. Если окончательный результат делится (не делится) на 7, то и испытуемое число делится (не делится) на 7. ((6*2-3) *2+2) *2-5=35, 35:7=5.

4) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится знакопеременная сумма чисел, образованных последовательными тройками цифр данного числа. Как узнать, например, что число 363862625 делится на 7? 625-862+363=126 делится на 7, 126:7=18, значит, и число 363862625 делится на 7, 363862625:7=51980375.  [4,2]

5) Один из самых старых признаков делимости на 7 состоит в следующем. Цифры числа нужно брать в обратном порядке, справа налево, умножая первую цифру на 1, вторую на 3, третью на 2, четвёртую на -1, пятую на -3, шестую на -2 и т.д. (если число знаков больше 6, последовательность множителей 1, 3, 2, -1,-3,-2 следует повторять столько раз, сколько нужно). Полученные произведения нужно сложить.  Исходное число делится на 7, если вычисленная сумма делится на 7. Вот, например, что дает этот признак для числа 5236.    1*6+3*3+2*2+5*(-1) =14. 14: 7=2, значит и число 5236 делится на 7.

6) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 число 49, которое получаем по этому признаку: 15* 3 + 4 = 49.

          2.4.Признак Паскаля.

   Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль (1623–1662), французский математик и физик. [2,50] Он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел". Практически все известные ныне признаки делимости являются частным случаем признака Паскаля: «Если сумма остатков при делении числа a по разрядам на число в делится на в, то и число а делится на в». Знать его полезно даже в наши дни. Как же доказать сформулированные выше признаки делимости (например, знакомый нам признак делимости на 7)? Постараюсь ответить на этот вопрос.  Но прежде условимся о способе записи чисел. Чтобы записать число, цифры которого обозначены буквами, условимся проводить над этими буквами черту. Таким образом, abcdef будет обозначать число, имеющее f единиц, е десятков, d сотен и т.д.:

abcdef = a • 105 + b • 104 + c • 103 + d • 102 + e • 10 + f. Теперь докажу сформулированный выше признак делимости на 7. Мы имеем:

       . . .   109     108      107     106      105      104    103     102   10    1

               -1         2         3        1         -2        -3       -1       2      3      1 (остатки от деления на 7).

В результате, мы получаем сформулированное выше 5-е правило: чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.

     Возьмем для примера числа 4591 и 4907 и, действуя, как указано в правиле, найдем результат:

    а) 4   5     9   1

       -1   2    3    1    

       -4+10+27+1 = 38 – 4 = 34: 7 = 4 (остаток 6) (не делится нацело на 7)

       б) 4   9    0 7

          -1   2    3  1

          -4+18+0+7 = 25 – 4 = 21: 7 = 3 (делится нацело на 7)

           Этим способом можно найти признак делимости на любое число т. Надо только найти, какие коэффициенты (остатки от деления) следует подписывать под цифрами взятого числа А. Для этого нужно каждую степень десяти 10 заменить по возможности имеющим тот же остаток при делении на т, что и число 10. При т = 3 или т = 9 эти коэффициенты получились очень простые: все они равны 1. Поэтому и признак делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При т = 11 коэффициенты тоже были не сложными: они попеременно равны 1 и – 1. А при  т =7 коэффициенты получились посложнее; поэтому и признак делимости на 7 получился более сложный. Рассмотрев признаки деления до 100, я убедилась, что самые сложные коэффициенты у натуральных чисел 23 (с 1023 коэффициенты повторяются), 43 (с 1039 коэффициенты повторяются).

Исследование делимости натуральных чисел

Хубиева Карина Муратовна

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8»

Класс 6А

Экспериментальная часть

Анкетирование

Анкетирование проводилось среди обучающихся 6-х, 9-11-х классов. В опросе приняли участие 189 обучающихся МБОУ «СОШ №8». Им было предложено ответить на следующие вопросы:

1. Существуют ли другие признаки делимости отличные от тех, которые изучались на уроке?
2. Есть ли универсальный признак делимости для любого числа?
3. Хотели бы вы узнать другие признаки делимости?
4. Какие признаки делимости вам знакомы?                     

   Моим ровесникам знакомы только признаки делимости, изученные в школе. Все опрошенные считают, что существуют признаки делимости на другие числа. По результатам проведенного анкетирования лишь 29% моих ровесников считают, что существует универсальный признак делимости и 100% не знают, кто его открыл. 83% респондентов хотели бы познакомиться с признаками делимости, не изученными в школе.  

Результаты проведенного опроса отражены в диаграммах. (Приложение II)

Исследование делимости натуральных чисел

Хубиева Карина Муратовна

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8»

Класс 6А

Заключение

   Таким образом, в ходе выполнения работы были решены поставленные задачи: 1) изучен теоретический материал по данной проблеме; кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10, я узнала, что существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и т.д.; 2) выведен универсальный признак делимости на любое натуральное число (метод остатков); 3) показано применение данного признака, создан буклет.

   Выдвинутая мной гипотеза подтвердилась, я выяснила, что существует универсальный признак делимости, с помощью которого можно получить признак делимости на любое натуральное число.

   Результатом исследовательской работы является систематизированный материал «Признаки делимости чисел» и таблицы остатков, которые можно использовать на уроках математики, во внеклассных занятиях с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных задач.

   В дальнейшем предполагаю продолжить работу над применением признаков делимости чисел к решению задач.

Литература

1. Виленкин Н.Я.,  Жохов В.И.,  Чесноков А.С.,  Шварцбурд С.И. Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2009. — 288 с.
2. Воробьев В.Н. Признаки делимости.-М.:Наука,1988.-96с.
3.  Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – Элиста.: Джангар, 1995. – 416 с. 
4. Гарднер М. Математические досуги. / Под. Ред. Я.А.Смородинского. -  М.: Оникс, 1995. - 496 с.
5. Гельфман Э.Г., Бек Е.Ф. и др. Дело о делимости и другие рассказы: Учебное пособие по математике для 6 класса. - Томск: Изд-во Том.ун-та, 1992. – 176с.
6. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд.— М.: Просвещение, 1990. — 416 с.
7. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.В.Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва.: Просвещение, 1984. - 289с.
8. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989. - 97с.
9. Куланин Е.Д.Математика. Справочник. -М.: ЭКСМО-Пресс,1999-224с.
10. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Триада-Литера,1994. -199с.
11. Тарасов Б.Н. Паскаль. -М.:Мол. Гвардия,1982.-334с.
12. Что такое. Кто такой: В 3 т.Т.3 – 4-е изд. перераб.и доп.-М.: Педагогика-Пресс,1997. -336с.
13. Чуянов В.А. Энциклопедический словарь юного физика.-М.:Педагогика-Пресс,1995.-336с.
14.   Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин. -М.: Педагогика, 1989.-352 с.