Исследовательская работа на тему "Признаки делимости".

XIII Научная конференция учащихся ФНПУ СОГПИ

«По ступенькам науки-в будущее!»

Направление: Математика

Название работы

Признаки делимости натуральных чисел

Автор работы

Гагиев Георгий

учащийся 6 класса

МБОУ СОШ пос.В.Фиагдон

Научный руководитель

Басаева В.С., учитель математики.

Владикавказ

2021

Содержание

1. Введение                                                                                                             3  
2. История возникновения признаков делимости натуральных чисел             5
3. Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе                     6
4. Признаки делимости, полученные самостоятельно                                       7
5. Признаки делимости, описанные в разных источниках                                 9
6. Применение признаков делимости при решении задач                                 11
7. Заключение                                                                                                         13
8. Список использованной литературы (источников)                                        14

Введение

             В жизни часто возникает ситуация, когда нужно быстро определить, делится одно число на другое или нет. Например, мы купили в магазине три одинаковых набора-конструктора, а продавец говорит: «С вас 1000 рублей». Даже не зная точной цены покупки, можно сразу понять, что продавец ошибся. Ведь итоговая стоимость обязательно должна делиться на 3, но  1000 рублей  на 3 не делится.

            Как же узнать, делится одно число на другое, не выполняя деления  «уголком»? Для небольших делителей существуют простые признаки делимости. С ними мы знакомимся в школе, на уроках  математики. Но изученные признаки недостаточны для развития вычислительных навыков, решения олимпиадных задач, примеров. Так изучая на уроках тему «Признаки делимости натуральных чисел на 2,3,5,9 и 10» я задался вопросом: «А существуют ли еще, какие то признаки делимости чисел и можно ли их получить самому?», чтобы научиться быстро считать, выполняя  задания ВПР, ОГЭ, ЕГЭ.              Именно поэтому для своей исследовательской работы я выбрал тему «Признаки делимости».

Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2,3,5,9 и 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

Объект исследования: Делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.

Цель исследовательской работы – дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, позволяющие решать задачи, не прибегая к громоздким расчетам и вычислениям.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи: 

1)  Самостоятельно исследовать делимость чисел.

2) Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

3) Объединить и  обобщить признаки из разных источников.

4) Сделать  вывод.

5) Составить буклет «Признаки делимости натуральных чисел».

В результате проделанной работы, наша гипотеза была подтверждена.   

    Методы исследования, используемые при работе : анализ, обобщение, синтез, классификация, систематизация, сравнение.

Работа имеет практическое применение. Данное исследование будет полезным для учащихся при подготовке и выполнении  контрольных работ, ВПР, а в будущем при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на олимпиадах, конкурсах, турнирах. Думаю, что и учителя математики смогут использовать этот материал на факультативных занятиях.

2.        История возникновения признаков делимости натуральных чисел

Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:

- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.[1,с.135]

         Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

          Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

          Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

3. Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.

            При изучении данной темы необходимо знать понятия: делитель, кратное, простое и составное числа.

            Делителем натурального числа a называют натуральное число b , на которое а делится без остатка. Кратное — число, делящееся на данное целое число без остатка, например 12 кратно 3. Простыми называются натуральные числа, которые имеют только два делителя: 1 и само себя, например: 2,7,19. Числа, которые имеют более двух делителей, называют составными, например: 15(1,3,5,15).

4. Признаки делимости натуральных чисел на 4,6,8,12,15,16,18,25,30,50 полученные нами самостоятельно.

    Выполняя умножение и деление натуральных чисел ,наблюдая за результатами действий, мы увидели закономерности и получили следующие признаки:

1.Признак делимости на 4:

25*4=100,  36*4=144,  55*4=220, 125*4=500, 345*4=13380…

Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

2.Признак делимости на 6

Так как 6=2*3,то можно сделать вывод:

Натуральное число делится на 6,если оно делится и на 2 и на 3 одновременно.

Пример:

132 делится на 2(на конце 2) и делится на 3(1+3+2=6, 6:3), значит, оно делится на 6.

3.Признак делимости на 8

125*8=1000, 600*8=4800, 1234*8=9872, 2726*8=21808…

Натуральное число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 8.

4.Признак делимости на 12

Так как 12=4*3,то можно сделать вывод:

Натуральное число делится на 12,если оно делится и на 4 и на 3 одновременно.

Пример:

144 делится на 3(1+4+4+9,9:3) и делится на 4(две последние цифры числа делятся на 4), значит оно делится на 12.

5.Признак делимости на 15

Так как 15=5*3, то можно сделать вывод:

Натуральное число делится на 15,если оно делится и на 5 и на 3 одновременно.

Пример:

46725 делится на 5 (на конце 5) и делится на 3(4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, оно делится на 15.

6.Признак делимости на 16

Так как 16=8*2, то можно сделать вывод:

Натуральное число делится на 16,если оно делится и на 2 и на 8 одновременно.

Пример:

4096 делится на 2(на конце 6) и делится на8 (096:8), значит, оно делится на 16.

7.Признак делимости на 18

 Так как 18=2*9, то можно сделать вывод:

Натуральное число делится на 18,если оно делится и на 2 и на 9 одновременно.

Пример:

22410 делится на 2(на конце 0) и делится на 9 (2+2+4+1+0=9, 9:9), значит, оно делится на 18.

8.Признак делимости на 25:

25*4=100, 25*10=250, 25*21=525, 25*27=675…

Натуральное число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 25.

9. Признак делимости на 30

Натуральное число делится на 30,если оно делится и на 3 и на 10 одновременно.

10.Признак делимости на 50

50*2=100, 50*3=150, 50*6=300, 50*11=550, 50*28=1400…

Натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или 50.

5.        Признаки делимости, описанные в разных источниках

Признаки делимости на натуральные числа 7,11,13,17,19, полученные в ходе изучения различных источников:

1.Признак делимости на 7

Натуральное число делится на 7, если разница между этим числом без последней цифры и удвоенной последней цифрой делится на 7.

Пример:

Число 364 без последней цифры — 36, удвоенная последняя цифра 4* 2 = 8. Разность 36 − 8 = 28, а число 28, как мы отлично знаем, делится на 7. Поэтому и число 364 делится на 7.

2.Признак делимости на 11

Натуральное число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11. (Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д.  То есть знаки перед слагаемыми чередуются).

Пример:

Число 1234321. Знакочередующаяся сумма цифр этого числа равна 1 − 2 + 3 − 4 + 3 − 2 + 1 = 0. Так как 0 делится на 11, то и число 1234321 делится на 11.

3.Признак делимости на 13

Натуральное число делится на 13, когда на 13 делится число, полученное из него зачеркиванием последней цифры и прибавлением к полученному числу учетверенного значения этой цифры. Этот алгоритм можно выполнять несколько раз, пока не получится число, делящееся на 13.

Пример:

Число 12831. 1283+4*1=1287. 128+4*7=156. 15+4*6=39:13,значит и 12831:13

4.Признак делимости на 17

Натуральное число делится на 17, если модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Пример:

Число 221 делится на 17 (|22-1·5|=17 :17).

5.Признак делимости на 19

Натуральное число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.  

Пример:

Число 475 делится на 19 (47+10=57:19)

         Итак, я исследовал признаки делимости натуральных чисел с 2 до 20, также еще на 25, 30 и 50.

         Таким образом, все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

     1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифре (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50.

    2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9,  на 11.

    3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 17, на 19.

    4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на16, на 18,на 30.

6.        Применение признаков делимости при решении задач

          Задача 1 (логическая задача): У одного гражданина было 7 друзей. Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер? [3]

Решение:

Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7. НОК (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420

Ответ: 1 раз в 420 дней.

         Задача 2 (олимпиада): Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Решение: Если бы стоимость детской путевки была равна стоимости взрослой, то три путевки стоили бы 3543+500=4043 золотые монеты. Но это число не делится на три.

        Задача 3 (ЕГЭ, база [1]): Задание 19 № 507052

Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.

Решение.

      Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8.

Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, делящееся на 8. Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.

Число делится на 3, если его сумма цифр числа делится на 3. Поскольку три последние цифры числа нули, первые три должны быть единицами.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.

Ответ: 111 000.

      Задача 4 (ЕГЭ, база [1]): Задание 19 № 509764

Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Число делится на 88, если оно делится на 8 и на 11. Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8. Натуральное число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11. Используя признак делимости на 8, и учитывая, что все цифры искомого числа должны быть чётны и различны, получаем, что последними цифрами числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Используя признак делимости на 11 получим, что условию задачи удовлетворяют числа: 6248, 8624, 2640.

Ответ: 2640, 6248 или 8624.

7.         Заключение

       В своей работе собранный материал я систематизировал,  объединив признаки делимости в группы по схожести правил,   исследовал  возможности использования признаков делимости  при решении практических задач, предлагаемых на ЕГЭ, и олимпиадных задачах.

Выводы:

         Работая над темой исследования, я расширил свои знания по математике. Кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на  4,6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15,16, 17, 19, 30, 50  некоторые из них мы получили самостоятельно, о других узнали из научно-популярной литературы и интернет-источников.

         Знание и использование признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, экономя время и исключая ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Замечу, что формулировки у некоторых признаков сложные,  наверное, поэтому их не изучают в школе.

         Данная исследовательская работа дала мне возможность развивать вычислительные навыки, логическое мышление, совершенствовать навыки работы с научно-популярной литературой и интернет источниками.

        Собранный материал в виде буклета, я подарил всем своим одноклассникам, они могут им пользоваться при выполнении различных вычислений. А может, кому то из них тоже  станет интересно узнать, новые признаки делимости чисел, ведь я собрал только малую их часть. Например, существует еще 3 признака делимости на число 7. Есть над чем работать!

8.        Список использованной литературы (источников)

Учебники:

1. С.М. Никольский и др. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных учреждений, 2018 г.

Справочники:

1. Математика. Энциклопедия для детей Аванта+
2. Выгодский И.К. Справочник по элементарной математике. – М: Просвещение,1998. https://vakopro245558018.files.wordpress.com/2019/04/0394.vigodskii-sprav_po_element_matematike.pdf

        Образовательные порталы:

1. Образовательный портал для подготовки к экзаменам: Решу ЕГЭ

            https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=229

2.  Профессиональный репетитор по математике Александр Анатольевич   http://www.matematika-shkolnikam.ru/del2.html
3. Книги онлайн    https://rbook.me/book/14723730/read/page/57/