Исследовательская работа "Комбинаторика в нашей жизни"
Данная работа направлена на выявление практической значимости изучения комбинаторики, как важного раздела математики. В работе поставлены цель, задачи, предмет и объект исследования, актуальность, что указывает на исследовательский характер работы. В теоретической части рассматривается, как возникла комбинаторика как наука, какие разделы в себя включает. Рассматриваются основные типы перечислительных комбинаторных задач и методы их решения. Подобраны практические задачи, связанные с жизнью Нижнесергинского района и решению этих задач с помощью комбинаторики. Работа выполнена на достаточно высоком уровне, содержит ряд выводов, представляющих практический интерес.
Данную работу можно использовать в качестве дидактического материала для внеклассной работы: факультатив, кружковая работа.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 dobychina_tanya_kombinatorika_vokrug_nas.docx | 805.39 КБ |
 kombinatorika.pptx | 1.73 МБ |
Предварительный просмотр:
Нижнесергинский муниципальный район
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Средняя школа № 1 г. Михайловска»
Комбинаторика вокруг нас
Работу выполнила: Добычина Татьяна,
ученица 8 а класса
МАОУ СШ №1
г. Михайловска
Руководитель: Матвеева Мария Павловна,
учитель математики
МАОУ СШ №1
г.Михайловска
г. Михайловск
2024год
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
I. Основы комбинаторики 5
II. Применение комбинаторики в жизни 8
III. Практические исследования 10
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 15
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ РЕСУРСОВ 16
ПРИЛОЖЕНИЕ 17
ВВЕДЕНИЕ
«Число, положение и комбинация – три взаимно пересекающиеся, но различные сферы мысли, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр (1844 г.) |
В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого, надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.
Комбинаторика – это раздел математики, который изучается в старших классах. Я нередко решаю олимпиадные математические задачи, в которых встречаются комбинаторные. Меня этот раздел математики заинтересовал тем, как можно его применить в повседневной жизни.
Мной была выдвинута гипотеза: комбинаторика играет большую роль в практической деятельности человека.
Цель: изучить практическое применение комбинаторики для развития интереса к математике у учащихся.
Задачи:
- изучить и систематизировать материал о комбинаторике, истории её развития;
- показать практическую значимость комбинаторики; рассмотреть применение правил комбинаторики в различных сферах жизни;
- составить небольшой тренажер по комбинаторным задачам для использования одноклассниками.
Объект исследования: раздел математики – комбинаторика.
Предмет исследования: комбинаторные задачи.
Моя исследовательская работа посвящена изучению практического применения комбинаторики в повседневной жизни человека. В своей работе я рассмотрела примеры комбинаторных задач из жизни, связанных с дорогой, транспортом, способы их решения.
Актуальность темы работы заключается в следующем:
- умение решать комбинаторные задачи пригодится учащимся в разных жизненных ситуациях;
- опыт решения комбинаторных задач развивает логическое и математическое мышление, расширяет кругозор;
- рассмотрение прикладных задач подтверждает практическое применение знаний комбинаторики.
Практическая значимость моего исследования: данный материал можно использовать как на уроках, так и во внеклассной работе.
Для того чтобы определить, в каких жизненных ситуациях человек встречается с комбинаторикой, используем методы наблюдения, исследования.
I. Основы комбинаторики
Комбинаторика - раздел математики, изучающий все возможные перестановки элементов, цифр, каких-либо данных и т. п.
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, казалось, долгое время лежала вне основного русла развития математики и ее приложений. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ.
Комбинаторика как наука стала развиваться в XVIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье, Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым В. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма.
Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г. Он также впервые ввел термин «комбинаторика».
Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер.
После создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров, стало возможным делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет.
Комбинаторика включает в себя несколько разделов:
1. Перечислительная комбинаторика - (или исчисляющая) рассматривает задачи о перечислении или подсчете количества различных конфигураций.
2. Структурная комбинаторика – это раздел комбинаторики, к которому относятся некоторые вопросы теории графов.
3. Вероятностная комбинаторика отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определенного свойства у заданного множества.
4. Топологическая комбинаторика применяет идеи и методы комбинаторики в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.
5. Инфинитарная комбинаторика - применение идей и методов комбинаторики к бесконечным множествам.
В своей работе я остановлюсь подробно именно на перечислительной (или исчисляющей) комбинаторике.
Рассмотрим основные типы перечислительных комбинаторных задач и методы их решения. Представим, что нам необходимо составить пару из кружки и блюдца, притом у нас есть 3 вида кружек и 4 вида блюдец. Сколькими способами можно выбрать такую пару? Для составления пары, сначала нам нужно выбрать одну из кружек, а потом одно из блюдец. Кружку можно выбрать 3 способами и для каждого из этих способов будет соответствовать один из 4 вариантов выбора блюдца. Таким образом, всего будет 12 способов составления пары. Для решения этой задачи мы применили правило умножения.
Рассмотрим его в общем виде. Пусть у нас m способов выбрать действие типа A и n способов выбрать действие типа B. Число способов одновременно выбрать действие типа A и действие типа B равно m*n. Вернемся к кружкам и блюдцам. Сколькими способами мы можем выбрать один предмет из 3 кружек и 4 блюдец? Несложно понять, что это возможно семью способами. На самом деле здесь применяется правило сложения, которое заключается в том, что число способов выбрать ровно одно действие – либо типа A, либо типа B – равно m + n.
Для вывода всех остальных формул, которые мы рассмотрим далее, использовали именно правило умножения и сложения.
Огромное количество комбинаторных задач основано на числе перестановок. Число способов выписать в ряд числа от 1, 2, 3, . . , n (в произвольном порядке) равно n! = 1*2*3* ... *(n-1) * n. Задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы. Для ее решения существует формула n!/n(1)!*n(2)!*...*n(k)!.
Будем выбирать из n объектов m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m, а их число =n!/(n−m)!
Рассмотрим задачу о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые? Она решается по формуле n^m.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m из этих (n*r) предметов? Такая задача решается по формуле количества сочетаний с повторениями: (n+m-1)!/m!(n-1)!.
II. Применение комбинаторики в жизни
Использование знаний по комбинаторике довольно значимо, без них практически невозможно обойтись в повседневной жизни. С простыми комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей: прорабу при распределении между рабочими различных видов работ, диспетчеру при составлении графика движения, завуч школы, составляя расписание учебных занятий, использует разные комбинации.
Во многих науках применяют знания комбинаторики. География (раскраска карт), лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв), агротехника (размещение посевов на нескольких полях), химия (анализ возможных связей между химическими элементами), экономика (анализ вариантов купли-продажи акций), биология (расшифровка кода ДНК), астрология (анализ расположения планет и созвездий) и др.
Комбинаторные знания применяются для победы во многих играх. Особое значение комбинаторика имеет при игре в шахматы. Основной способ поиска наилучшего хода заключается в переборе возможных ходов, рассмотрении движения по дереву последовательных позиций и оценке возникающих в результате них состояний игры. Играющему для подсчетов вариантов приходится тратить много времени, поэтому при поиске наиболее эффективных алгоритмов в компьютерных шахматах принято учитывать как можно больше ограничений (условий), упорядочивающих перебор, позволяющих отбрасывать те позиции, которые при выборе хода рассматривать не нужно.
Вся наша жизнь состоит из множества разнообразных программ. Чтобы запустить ту или иную программу нужно ввести соответствующий верный пароль.
В качестве кода в зависимости от рода программы могут выступать всевозможные цифры, слова или комбинации слов, поведение или действие, и так далее... Одна и та же программа, в зависимости от того какой пароль будет предложен, будет выполняться по-разному, в соответствии с предложенным паролем.
Применяя полученные знания о решении комбинаторных задач, можно облегчить жизнь, зная, что всегда есть беспроигрышные комбинации, есть выбор!
В практической части я рассмотрю применение комбинаторных знаний для решения задач, связанных с транспортом, путешествиями.
III. Практические исследования
1. Решение комбинаторных задач
Задача 1. Сколько существует возможных регистрационных номеров легковых автомобилей в Свердловской области?
Для решения этой задачи нужно знать информацию об автомобильных номерах. Регистрационный номер машины - показатель, применяемый для идентификации автомобильного транспорта. Двух одинаковых номеров быть не может. Регистрационный номер легкового автомобиля состоит из трёх букв, трех цифр, идущих в определенной последовательности, и кода региона. В алфавите 33 буквы, для номеров машин используется только буквы А В Е К М Н О Р С Т У Х (всего 12).
Для Свердловской области существует 3 варианта кода региона: 66, 96, 196.
Не может быть номера, в котором есть последовательность из трёх нулей.
Решение. Первая буква номера может быть выбрана 12 способами, вторая также 12, третья тоже. Таким образом, по правилу произведения, буквы для автомобильного номера могут быть выбраны 12*12*12=1728 способами.
Использовать 3 цифры из 10 возможных можно 10*10*10 = 1000 способами.
По правилу произведения, общее количество возможных вариантов для составления нужной комбинации из трёх цифр и трёх букв = 1728 * 1000 = 1728000.
Для каждого из этих способов можно выбрать один из трёх возможных кодов региона. Т.е. всего возможно 1728000*3 = 5184000 вариантов автомобильных номеров.
Найдём количество автомобильных номеров, в которых есть последовательность из трёх нулей. Количество возможных комбинаций букв для этой последовательности 12*12*12 = 1728. К каждой из этих последовательностей можно выбрать один из трёх кодов региона. Всего 1728*3 = 5184 номеров, содержащих последовательность из трёх нулей.
Итого возможных автомобильных номеров 5184000 - 5184 = 5178816 штук.
Ответ. Существует 5178816 возможных регистрационных номеров легковых автомобилей в Свердловской области.
Задача 2. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человек, при условии, что все они должны сидеть в разных вагонах?
Решение. Первого человека мы можем посадить в любой из 9 вагонов, т.е. 9 способами. Второго человека можно посадить в любой из оставшихся вагонов 9-1=8 способами. По такому же принципу рассадим остальных людей. Итоговое число способов будет = 9*8*7*6 = 3024.
Эта задача о числе размещений, и она также решается по формуле n!/(n−m)! = 9!/(9-4)! = 3024.
Ответ. 4 человек, при условии, что все они должны сидеть в разных вагонах в поезде, можно рассадить 3024 способами.
Задача 3. Из Екатеринбурга в Дружинино можно добраться на одном из трех видов транспорта: поездом, автобусом, на автомобиле. А из Дружинино в Михайловск – одним из двух: на автобусе или на автомобиле. Сколькими способами можно осуществить поездку из Екатеринбурга в Михайловск с остановкой в Дружинино?
Решение. Чтобы совершить необходимый маршрут, необходимо добраться из Екатеринбурга в Дружинино, а затем из Дружинино в Михайловск. Каждому способу выполнить первую часть маршрута будет соответствовать один из двух способов выполнить вторую часть маршрута. По правилу произведения всего будет 3*2 = 6 способов.
Ответ. 6 способами можно осуществить поездку из Екатеринбурга в Михайловск с остановкой в Дружинино.
Задача 4. На железной дороге от Екатеринбурга до Дружинино 20 станций. Сколько различных образцов билетов должна заготовить эта дорога для всех станций?
Решение. По правилу произведения 20*19 = 380. (С каждой станции можно добраться до любой из оставшихся 19).
Ответ. 380 различных образцов билетов должна заготовить эта дорога для всех станций.
Следующая задача не связана с транспортом, но интересна тем, что решается по более сложной формуле, рассматриваемой в теоретической части.
Задача 5. Сколько разных слов можно получить, переставляя буквы в слове ПРЯМАЯ? (словом называется произвольная последовательность букв).
Решение. Каждой букве данного слова присвоим свою цифру: П1 Р2 Я3 М4 А5 Я6. Если составить последовательность из цифр от 1 до 6 и заменить соответствующими буквами, то получится слово. Таким образом, нам необходимо найти количество последовательностей из 6 цифр. Это число перестановок и по формуле оно будет равно 6! Следует обратить внимание, что в этом слове две буквы «Я». И последовательностям из цифр, например, 123456 и 126453 будут соответствовать одинаковые слова.
Представим два множества: в первом будут выписаны все возможные последовательности чисел от 1 до 6, их количество = 6! Во второе множество выпишем все возможные слова (сочетания букв) из перестановок букв в слове «прямая». Каждому слову из второго множества при расставлении нумерации будут соответствовать ровно две последовательности цифр из первого множества. Потому что букву «Я» можно занумеровать двумя способами. Это означает, что первое множество будет больше первого в 2 раза. Таким образом, слов во втором множестве будет 6! / 2 = 360, что и является ответом на задачу.
Эта задача о числе перестановок с повторениями, поэтому решается по формуле n!/n(1)!*n(2)!*...*n(k)!. = 6!/1!*1!*2!*1!*1!=360.
Ответ. Переставляя буквы в слове ПРЯМАЯ, можно получить 360 различных слов.
2. Анализ общих знаний комбинаторики
Для анализа общих знаний комбинаторики среди моих одноклассников был проведен опрос. В опросе участвовало 20 человек. Результат опроса представлен в таблице.
Вопросы/ответы | |||
Как вы сами оцениваете свои знания по математике? | |||
«5» | «4» | «3» | «2» |
6 | 7 | 5 | 2 |
Известно ли вам такое понятие, как «комбинаторика» | |||
да | нет | ||
3 | 17 | ||
По результатам опроса видно, что большинство обучающиеся считают, что знания по математике у них есть, и не плохие, а вот понятие «комбинаторика» - им не известно.
В ходе данной работы был составлен для одноклассников небольшой онлайн - тренажер по решению простейший комбинаторных задач, с небольшими подсказками (модель тренажера приведена в приложении).
Работа данной модели математического тренажера была опробована на 20 учащихся. Из них без подсказок: решили все 5 предложенных задач – 1 человек; решили 4 из 5 предложенных задач - 4 человека; решили 3 из 5 предложенных задач - 7 человек; решили 2 из 5 предложенных задач - 5 человека; решили 1 из 5 предложенных задач - 3 человека.
Исходя из данных, полученных в ходе анализа общих знаний комбинаторики можно сделать вывод о необходимости изучения такого раздела математики, как комбинаторика.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Советский математик, доктор физико-математических наук Маркушевич А. И. говорил: « Изучение математики без должной связи с жизнью, без наглядности мешает развитию логического мышления, снижает уровень математической подготовки учащейся молодежи».
В ходе работы были использованы математические знания, изучена и проанализирована литература по данной теме.
Целью исследования было изучение практического применения комбинаторики для развития интереса к математике у учащихся. Для достижения цели были решены поставленные задачи. В своей работе я рассмотрела практические задачи, связанные с жизнью нашего района, которые решаются с помощью комбинаторики. Таким образом, я подтвердила гипотезу: комбинаторика – это раздел математики, который имеет широкую практическую направленность и играет большую роль в жизни человека.
Изучив всего лишь небольшую часть имеющейся литературы по комбинаторике, я пришла к выводу о том, что усовершенствование навыков решения задач по данному разделу математики существенно помогут мне в дальнейшем осваивать теорию вероятностей и математическую статистику, так как именно наука о подсчете числа комбинаций лежит в основе методов решения простейших вероятностных задач.
В дальнейшем мне бы хотелось продолжить работу над этой тематикой, разработать полноценный тренажер, а не только его модель, куда включить задачи и на подсчет числа сочетаний и размещений. Если эта работа удастся, то разработанный тренажер можно будет использовать и на уроках, посвященных теории вероятностей.
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ РЕСУРСОВ
1. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: Просвещение, 2006
2. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990
1. https://rasp.yandex.ru/train/ekaterinburg--druzhinino-station
2. https://mafin.ru/media/razbory/tipy-kody-i-regiony-avtonomerov
4. https://www.matburo.ru/tv_komb.php
5. https://textarchive.ru/c-2753995.html
7. https://eee-science.ru/item-work/2023-1072/
8. https://learningapps.org/create?new=77#preview.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Тренажер по решению комбинаторных задач
https://learningapps.org/watch?v=pyqvv1x3k23
https://learningapps.org/create?new=77#preview
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Введение Цель: изучить практическое применение комбинаторики. Задачи: - изучить и систематизировать материал о комбинаторике, истории её развития; - показать практическую значимость комбинаторики; - рассмотреть применение правил комбинаторики в различных сферах жизни; - составить небольшой тренажер по комбинаторным задачам для использования одноклассниками. Исследовательская работа посвящена изучению применения комбинаторики в повседневной жизни человека. «Число, положение и комбинация – три взаимно пересекающиеся, но различные сферы мысли, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр
Основы комбинаторики Комбинаторика - раздел математики, изучающий все возможные перестановки элементов, цифр, каких-либо данных и т. п. Комбинаторика включает в себя несколько разделов: 1. Перечислительная комбинаторика. 2. Структурная комбинаторика. 3. Вероятностная комбинаторика. 4. Топологическая комбинаторика. 5. Инфинитарная комбинаторика. Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц — немецкий философ, логик, математик, механик, физик . Создал комбинаторику как науку Пал Эрдёш ввел в комбинаторику вероятностный анализ
Правило умнож ения Пусть у нас m способов выбрать действие типа A и n способов выбрать действие типа B. Число способов одновременно выбрать действие типа A и действие типа B равно m*n .
Правило сложения Число способов выбрать ровно одно действие – либо типа A, либо типа B – равно m + n .
Основы комбинаторики Основные формулы перечислительной комбинатори ки n!/n(1)!*n(2)!*...*n(k)! n! = 1*2*3* ... *(n-1) * n n!/(n−m)! n^m (n+m-1)!/m!(n-1)!
Применение комбинаторики в жизни География Биология Химия Экономика Лингвистика Астрология Особое значение комбинаторика занимает в шахматах.
Практические исследования Задача 1. Сколько существует возможных регистрационных номеров легковых автомобилей в Свердловской области? Для номеров машин используется только буквы А В Е К М Н О Р С Т У Х. Для Свердловской области существует 3 варианта кода региона: 66, 96, 196. Не может быть номера, в котором есть последовательность из трёх нулей.
Практические исследования Решение. 12*12*12=1728 - способами можно выбрать последовательность букв 10*10*10 = 1000 – способами можно выбрать последовательность из трех цифр 1728 * 1000 = 1728000 - общее количество возможных вариантов для составления нужной комбинации из трёх цифр и трёх букв 1728000*3 = 5184000 – вариантов автомобильных номеров (12*12*12) * 3 = 1728 * 3 = 5184 - номеров, содержащих последовательность из трёх нулей 5184000 - 5184 = 5178816 Ответ. Существует 5178816 возможных регистрационных номеров легковых автомобилей в Свердловской области.
Задача 2 . В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человек, при условии, что все они должны сидеть в разных вагонах? Практические исследования 9 * 8 * 7 * 6
Практические исследования Задача 3. На железной дороге от Екатеринбурга до Дружинино 20 станций. Сколько различных образцов билетов должна заготовить эта дорога для всех станций?
«Изучение математики без должной связи с жизнью, без наглядности мешает развитию логического мышления, снижает уровень математической подготовки учащейся молодежи». А. И. Маркушевич Заключение Екатеринбург Дружинино Михайловск Применяя полученные знания о решении комбинаторных задач, можно облегчить жизнь, зная, что всегда есть беспроигрышные комбинации, есть выбор!
Тренажер по решению комбинаторных задач https://learningapps.org/create?new=77#preview
Список литературы Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: Просвещение, 2006 Интернет-ресурсы: https ://ru.wikipedia.org/wiki/% D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0 2. https://rasp.yandex.ru/train/ekaterinburg-- druzhinino-station 3. https :// mafin.ru/media/razbory/tipy-kody-i-regiony-avtonomerov 4. https ://edu.sirius.online / 5. https :// www.matburo.ru/tv_komb.php 6. https :// textarchive.ru/c-2753995.html 7. https ://nsportal.ru/shkola/matematika/library/2019/03/17/kombinatorika-issledovatelskaya-rabota-uchashchegosya-npk-2016 8. https ://eee-science.ru/item-work/2023-1072/ 9. https://learningapps.org/create?new=77#preview .
Спасибо за внимание!
Карты планет и спутников Солнечной системы
Два Мороза
На берегу Байкала
Музыка космоса
Лист Мёбиуса