Решение задач по Формуле Пика

Слайд 1

Решение геометрических задач по формуле Пика Исследовательский проект Ученика 8 класса МБОУ «Новоаганская общеобразовательная средняя школа имени маршала Советского Союза Г.К.Жукова » Васильева Евгения

Слайд 2

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. (Д. Пойа)

Слайд 3

Цели : 1. Расширить знания о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач. 2. Изучить формулу Пика. 3. Отработать навыки использования формулы Пика при вычислении площади произвольных многоугольников. Тема: Решение геометрических задач по формуле Пика

Слайд 4

Георг Александр Пик 10.08.1859 – 13.07.1942 Георг Алекса́ндр Пик родился 10 августа 1859 — 26 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер (нем. Josefa Schleisinger ), отец — Адольф Йозеф Пик (нем. Adolf Josef Pick ). В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов» (нем. Über eine Klasse abelscher Integrale ). В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти хабилитацию . Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами» Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский и немецкий. Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры . Работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны , лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Слайд 5

«Геометрия есть знание величин, фигур и их границ, а также отношений между ними и производимых над ними операций, разнообразных положений и движений". Диа́дох Прокл Существует несколько способов вычисления площади многоугольника на клетчатой бумаге: Применение формул планиметрии; Разбиение фигуры на более простые фигуры или достроение фигуры до прямоугольника; Формула Пика. Разберем понемногу каждый способ.

Слайд 6

Задание №1 Вычислите площадь треугольника a = 9 h = 9 h a

Слайд 7

Задание №2 Вычислите площадь параллелограмма a h a = 7 h = 4

Слайд 8

Задание №3 Вычислите площадь трапеции a h b a =9 b = 4 h = 3

Слайд 9

Способ 2. Ряд задач можно решить, разбив фигуру на части, вычисление площадей которых не представляет труда, или, заметив, что фигура сама является частью другой фигуры, а площадь последней можно найти почти сразу . Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах

Слайд 10

И третий способ - использование формулы Пика. Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат). Линии, идущие по сторонам клеток, образуют на нём сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с нулевой площадью. Обозначим его площадь через S , количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника – через В; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника – через Г. Тогда справедлива формула S =В+Г:2–1, которую открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 году.

Слайд 11

Теорема Пика Узел – точка пересечение двух прямых . – внутренние узлы. – узлы на границе.

Слайд 12

Пусть В – число целочисленных точек внутри многоугольника, Г – количество целочисленных точек на его границе, S – его площадь. Тогда справедлива формула: S = Г : 2 + В – 1 Теорема Пика

Слайд 13

Найдём площадь вот такого многоугольника по формуле Пика: В = 2 4 (красные точки); Г = 8 (синие точки). Получаем, S = 24 + 8 : 2 - 1 = 27 кв.ед .

Слайд 14

Очень заинтересовал меня этот метод решения примеров и я решил попробовать изучить его и научить решать 5 класс !

Слайд 16

Задание № 4 Вычислите площадь фигуры, где каждая клетка имеет размер 1 X 1

Слайд 17

S = S квадрата – S 1 – S 2 – S 3 – S 4 =

Слайд 18

S=2 S=2.5 S=1 S=2.5 S=1 S=1 S=3 S=4.5 S=5 S=5

Слайд 19

Г = 4 , В = 9 S = Г :2 + В – 1 S = 4 :2 + 9 – 1 = 10

Слайд 21

Вывод : Проанализировав способы решения задач на вычисление площадей, можно сделать следующие выводы: 1. Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры на клетчатой бумаге, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников. 2. Основное условие для применения формулы Пика: у многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге (решётке), должны быть только целочисленные вершины, то есть они обязательно должны находиться в узлах решётки. 3. Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат. 4. Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве. При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника на плоскости даже самой причудливой формы. «Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе – быть ясным и насколько можно, простым.» Годфрид Вильгельм Лейбниц