Исследовательская работа: Признаки делимости чисел
Делимость натуральных чисел, простые и составные числа, взаимно простые числа, делители и кратные, разложение чисел на простые множители интересовали великих математиков еще с древних времен.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 issledovatelskaya_rabota_priznaki_delimosti_chisel.doc | 60.5 КБ |
 issledovatelskaya_rabota_priznaki_delimosti_chisel.pptx | 2.98 МБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Бортойская средняя общеобразовательная школа»
Секция: Естественно-научного профиля
Исследовательская работа
«Признаки делимости чисел»
Автор: Соктоева Нарана
ученица 6 класса
Руководитель: Раднаева Раиса Геннадьевна
учитель математики и физики
Бортой, 2023 г.
Содержание
- Факты из истории математики.
- Признаки делимости на 2, 3, 4, 5 ,6, 9, 10, 15.
- Признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 11.
- Решение задач с использованием признаков делимости.
- Вывод.
- Список использованной литературы (источников).
Актуальность: в курсе изучения математики 6 класса, мы изучаем признаки делимости, которые помогают нам быстро выяснить и разделить то или иное число. Мне стало интересно, какие еще есть признаки делимости натуральных чисел, кроме тех, которые даны в учебнике 6 класса и можно ли ещё самой вывести новые признаки делимости? Именно поэтому для исследовательской работы мной выбрана тема «Признаки делимости натуральных чисел».
Гипотеза: если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то вероятней всего есть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.
Цель: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.
Задачи:
- Дать определение и повторить уже изученные признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10.
- Самостоятельно проверить и получить признаки делимости натуральных чисел на 6 и 15
- Найти из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 11.
- Сделать вывод.
Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.
Методы исследования: сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.
- Факты из истории математики.
Делимость натуральных чисел, простые и составные числа, взаимно простые числа, делители и кратные, разложение чисел на простые множители интересовали великих математиков еще с древних времен. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры. Признак делимости на 9 имеется у греков в III веке до н.э., признак делимости на 3 зафиксирован у Леонарда Пизанского (1228г) и Иордана Неморария (умер 1237 г).
Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228).
Признак делимости на 11 рассматривал араб ал-Кархи (примерно 1100 г).
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль, один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль нашел общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел".
2.Признаки делимости на 2, 3, 5 ,6, 9, 10, 15.
Признак делимости — алгоритм, позволяющий быстро определить, делится ли число заданному числу.
Признак делимости на 2: Число делится на 2 в том случае, если его последняя цифра чётная, т.е. заканчивается 0,2,4,6,8.
Например: 23478, 13690, 13574 и т.д.
Признак делимости на 3: Число делится на 3 в том случае, если сумма его цифр делится на 3.
Пример: 23172 делится на 3, т.к. 2+3+1+7+2 =15, которое делится на 3.
Признак делимости на 5: Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.
Пример: 4230, 3275 делятся на 5, т.к. они оканчиваются 0 и 5.
Признак делимости на 9: Число делится на 9 в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Пример: 1827 делится на 9, т.к. 1+8+2+7=18, которое делится на 9.
Признак делимости на 10: Число делится на 10в том случае, если его последняя цифра равна 0.
Пример: 2340, 125600 и т.д.
Используя признаки делимости на 2, 3 и 5, я узнала признаки делимости 6 и 15.
Признак делимости на 6: так как 6=2*3, то число, которое делится на 6, должно делиться одновременно на 2 и 3. Таким образом, число делится на 6 в том случае, если оканчивается четной цифрой и сумма цифр делится на 3.
Пример: 23172 делится на 6, т.к. последняя цифра 2 – четная цифра и 2+3+1+7+2=15, которое делится на 3.
Признак делимости на 15: так как 15=3*5, то число, которое делится на 15, должно делиться одновременно на 5 и 3. Значит должно оканчиваться на 0 или 5 и сумма цифр, из которых состоит число, делиться на 3.
Пример: 1230; 2415
3.Признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 11.
Из дополнительной литературы я узнала, что существуют несколько признаков делимости на 4, 8 и 11.
Признак делимости на 4: Число делится на 4 в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4, или оканчивается двумя нулями.
Пример: 8316 делится на 4, т.к. 16 делится на 4, 234700 делится на 4
Признак делимости на 8: Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8, или заканчивается тремя нулями.
Пример: 123328 делится на 8, т.к. 328 делится на 8 или 234000 также делится на 8.
Признаки делимости на 11.
Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.
Примеры:
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.
Если количество цифр нечетное, то находят разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, и проверяют, делится ли на 11. Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.
Пример:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
Если количество цифр четное, то число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.
4.Решение задач с использованием признаков делимости.
Задача № 1.
Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?
Решение.
3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3.
Задача № 2
Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.
Решение.
Используем признак делимости на 11.
Ответ: 987652413; 102347586
Задача № 3
Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.
Решение: наибольшие цифры 8 и 9
- так как число делится на 2, значит последняя четная цифра
- делится на 5, последняя цифра 5 или 0.
Из 1 и 2 следует, что последняя цифра 0.
- делится на 9, значит, сумма цифр должна делиться на 9
- делится на 11, значит разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11 или равна 0.
из 3 и 4 следует (8+1)-(9+0)=0
Ответ: 8910
Вывод: В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 8, 11.
Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации. Например, при решении олимпиадных задач, пригодится при сдаче ОГЭ и ЕГЭ.
- Список использованной литературы (источников):
- А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир: Математика 6 класс.
- И. Я. Депман, «История арифметики», Москва, 1965, «Просвещение»
- Л.М. Фридман. Изучаем математику: Книга для учащихся 5-6 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.- 255с.: ил.
- Я.И. Перельман, «Живая математика», Москва, 1978, «Наука»
- http://www.doronchenko.ru/2009/01/13/vse_pro_chislo_13.html
- http://ru.wikipedia.org/wiki/3
- htpp://www.krugosvet.ru/articles/07/1000723/1000723a1.htm
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
АКТУАЛЬНОСТЬ: какие еще есть признаки делимости натуральных чисел, кроме тех, которые даны в учебнике 6 класса и можно ли ещё самой вывести новые признаки делимости? ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: признаки делимости натуральных чисел. ЦЕЛЬ: дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.
1 2 3 4 Дать определение и повторить уже изученные признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10. Самостоятельно проверить и получить признаки делимости натуральных чисел на 6 и 15 Найти из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 11 Сделать выводы ЗАДАЧИ:
ФАКТЫ из истории математики Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры. Признак делимости на 9 имеется у греков в III веке до н.э., признак делимости на 3 зафиксирован у Леонарда Пизанского (1228г) и Иордана Неморария (умер 1237 г). Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228). Признак делимости на 11 рассматривал араб ал-Кархи (примерно 1100 г).
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль, один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль нашел общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, который опубликовал в трактате "О характере делимости чисел".
Признаки делимости на 2, 3, 5. Признак делимости на 2: Число делится на 2 в том случае, если его последняя цифра чётная, т.е. заканчивается 0,2,4,6,8. Пример: 23478, 13690, 13574 и т.д. 1 2 3 Признак делимости на 3: Число делится на 3 в том случае, если сумма его цифр делится на 3. Пример: 23172 делится на 3, т.к. 2+3+1+7+2 =15, которое делится на 3. Признак делимости на 5: Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5. Пример: 4230, 3275 делятся на 5, т.к. они оканчиваются 0 и 5.
Признаки делимости на 9 и 10. Признак делимости на 9: Число делится на 9 в том случае, если сумма его цифр делится на 9. Пример: 1827 делится на 9, т.к. 1+8+2+7=18, которое делится на 9. 4 5 Признак делимости на 10: Число делится на 10в том случае, если его последняя цифра равна 0. Пример: 2340, 125600 и т.д.
Признаки делимости на 6, 15. Признак делимости на 6: так как 6=2*3, то число, которое делится на 6, должно делиться одновременно на 2 и 3. Таким образом, число делится на 6 в том случае, если оканчивается четной цифрой и сумма цифр делится на 3. Пример: 23172 делится на 6, т.к. последняя цифра 2 – четная цифра и 2+3+1+7+2=15, которое делится на 3. 6 7 Признак делимости на 15: так как 15=3*5, то число, которое делится на 15, должно делиться одновременно на 5 и 3. Значит должно оканчиваться на 0 или 5 и сумма цифр, из которых состоит число, делиться на 3. Пример: 1230; 2415
Признаки делимости на 4, 8. Признак делимости на 4: Число делится на 4 в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4, или оканчивается двумя нулями. Пример: 8316 делится на 4, т.к. 16 делится на 4, 234700 делится на 4 1 2 Признак делимости на 8: Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8, или заканчивается тремя нулями. Пример: 123328 делится на 8, т.к. 328 делится на 8 или 234000 также делится на 8
Признаки делимости 11 Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр. Примеры: 594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине. 473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине. 861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6. 1 2 Если количество цифр нечетное, то находят разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, и проверяют, делится ли на 11. Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна делиться 11. Нумерация идет слева направо. Пример: 2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11. 1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11 .
Признаки делимости 11 Если количество цифр четное, то число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11 . Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11. Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11. 3
Туристическое агентство « Дуремар » предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков » - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают? Решение. 3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3. Решение задач с использованием признаков делимости
Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел. Решение. Используем признак делимости на 11. Ответ: 987652413; 102347586 Решение задач с использованием признаков делимости
Решение задач с использованием признаков делимости Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11. Решение: наибольшие цифры 8 и 9 1. так как число делится на 2, значит последняя четная цифра 2. делится на 5, последняя цифра 5 или 0. Из 1 и 2 следует, что последняя цифра 0. 3. делится на 9, значит, сумма цифр должна делиться на 9 4. делится на 11, значит разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11 или равна 0. из 3 и 4 следует (8+1)-(9+0)=0 Ответ: 8910
В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математике. Я узнала, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 8, 11, 15. Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации. Например, при решении олимпиадных задач, пригодится при сдаче ОГЭ и ЕГЭ. ВЫВОД
Сказочные цветы за 15 минут
Как нарисовать лимон акварелью
Почему Уран и Нептун разного цвета
Рисуем осенние листья
Свинья под дубом