Исследовательская работа "Магические квадраты"

КРАЕВАЯ НАУЧНО – ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«В НАУКУ ПЕРВЫЕ ШАГИ»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

УССУРИЙСК, 2023

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА  «МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ»

Автор: Кушнер А.М., студентка 1 курса, группа БУ-1

КГА ПОУ «Лесозаводский индустриальный колледж»

АННОТАЦИЯ

Данная исследовательская работа выполнена в рамках изучения общеобразовательной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия». Автор работы – Кушнер Анна, студентка первого курса специальности «Экономика и бухгалтерский учёт». Анна осознанно выбрала специальность, увлекается математикой, любит работать с числами.

Тема исследовательской работы выбрана не случайно.  «Магические квадраты» давно привлекают людей своей загадочностью. Их особенность заключается в том, что сумма чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям одинакова. Составление магических квадратов – интересное и достаточно сложное занятие. Эта увлекательная головоломка способна развить интерес к математике, совершенствовать навыки устного счёта, пробудить интерес к истории математического познания.

Работа над заполнением «магических квадратов» увлекала даже великих математиков. «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа…» - писал о них Пьер Ферма.

Актуальность выбранной темы обусловлена необходимостью вовлечения обучающихся в активную познавательную деятельность, развитие логического мышления, математической культуры, умения работать с большими массивами чисел – все эти качества необходимы будущему специалисту по направлению «Экономика и бухгалтерский учёт».

Целью исследовательской работы стал поиск наиболее доступных способов составления «магических квадратов».  Для этого сначала была  изучена история «магических квадратов», их применение в жизни, найдены примеры магических квадратов и алгоритмы их заполнения.

В ходе работы был  не только собран исторический материал по данной теме, приведены примеры магических квадратов разной степени, но и выполнена практическая часть – самостоятельное составление магических квадратов, пользуясь специальным алгоритмом, и обучение студентов - сокурсников работе с подобными головоломками.

Результаты исследовательской работы были представлены на занятии математики и вызвали неподдельный интерес обучающихся. Студенты увлеченно пробовали самостоятельно заполнить «магический квадрат» числами, слушали историю появления этой головоломки.  

СОДЕРЖАНИЕ.

Введение

Магические квадраты.… От этого словосочетания сразу веет волшебством. Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядами, можно складывать их слева направо и сверху вниз, каждый раз получая равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сей день.

Проблема исследования: выяснить, возможно ли на основе математических методов научиться решать числовые головоломки, например, судоку и «магические квадраты».

Цель исследования: научиться составлять магические квадраты, пользуясь различными методиками.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:

• Изучить историю возникновения и развития магических квадратов;
• Изучить свойства магических квадратов;
• Познакомиться с основными методами построения магических квадратов;
• Апробировать наиболее доступные методы составления магических квадратов на практике.

Актуальность данного исследования  заключается в привлечении обучающихся к решению нестандартных задач; развитие логического мышления, математической культуры – качеств, необходимых для будущих специалистов по специальности «Экономика и бухгалтерский учёт».

 Считаю, что «магический квадрат» является одной из наиболее интересных головоломок и не теряет свой актуальности уже много столетий.

1 Понятие магического квадрата

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером (n х n), заполненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы.

Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости oт четности n). Ячейки таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, - его постоянной.

«Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими» - писал о них Пьер де Ферма.

Основные свойства «магических квадратов»:

1. Суммы чисел в любой строке, любом столбце и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.
2. Магический квадрат останется магическим, если все числа, входящие в его состав, увеличить или уменьшить на одно и то же число.
3. Магический квадрат останется магическим, если умножить или разделить все его числа на одно и то же число.
4. Из двух магических квадратов можно получить третий, складывая числа, расположенные в соответствующих полях. Магическая сумма такого квадрата равна сумме магических сумм обоих слагаемых.
5. Квадрат не утратит своих магических свойств, если переставить его столбцы и ряды, расположенные симметрично относительно центра квадрата.

2 История появления магических квадратов.

По легенде магический квадрат появился около 2200 года до нашей эры в Древнем Китае, когда на берег из реки Ло вылезла большая черепаха, на панцире которой был странный узор из точек, упорядочив который обнаружили 9 секторов с цифрами, расположенными в определенной последовательности. Этот набор чисел и стал первым магическим квадратом, известным сегодня под названием Ло Шу.

При последовательном соединении линиями цифр от 1 до 9  получается символ "печать планеты Сатурн", который использовался в древнекитайской магии. Этот символ также называется символом Девяти императоров.  Считается, что он обладает очень мощной защитной силой и в качестве талисмана способен защитить хозяина от преждевременной смерти.

Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя. Название «магические» квадраты получили от арабов. Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами и использовали при заклинаниях.

Из Индии сведения о магических квадратах перешли к арабам. Арабы были знакомы с квадратом третьего порядка в VIII веке, а в XII веке его описал в своих сочинениях Ибн Эзра.  Мусульмане очень благоговейно относились к квадратам пятого порядка с цифрой 1 в середине, считая это изображение символом единства Аллаха. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос, живший в Константинополе.

В древности магические квадраты очень уважали,  им приписывали различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней.

Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

3 Виды магических квадратов

Полного описания всех возможных магических квадратов не получено  до сих пор. Магических квадратов 2*2 не существует, т.к. квадрат с таким количеством клеток должен был бы состоять из  чисел 1,2,3,4. Значит,  постоянная такого квадрата должна равняться 5. Что бы квадрат был магическим, нужно составить 6 комбинаций (слева направо, сверху вниз, справа налево, снизу вверх и по двум диагоналям).  Но для числа 5 существует только 2 комбинации (1+4 и 2+3) из этого следует, что такой квадрат составить нереально.

Поэтому считается, что квадрат 3-го порядка самый простой. Он единственный, т.к. другой квадрат будет образован перемещением строк или столбцов, поворотом на 90 градусов  или 180 градусов.

Данный магический квадрат был известен ещё в древнем Китае. (Это и есть квадрат Ло Шу).  Такой магический квадрат был у древних китайцев символом огромного значения. Цифра 5 в середине означала землю, а вокруг неё в строгом равновесии располагались огонь (2 и 7), вода (1 и 6), дерево (3 и 8), металл (4 и 9).

Нормальный МК - магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2.  Полумагический квадрат - квадрат, заполненный числами от 1 до n2, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется.

Aссоциативный, или симметричный МК, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2.

Пандиагональный (дьявольский) МК - такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата. Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений, но только 3 существенно различных квадрата.

Идеальный МК – это магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный.

Совершенный МК - магический пандиагональный квадрат порядка 4k, обладающий дополнительными свойствами.

Бимагический квадрат - такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов3,4,5порядканесуществует.

Мультимагический квадарат – это обобщение бимагических квадратов на произвольную степень n.

Нетрадиционный  магический квадрат - если в таблицу заносится не строго натуральный ряд чисел.

Латинским квадратом  (Судоку) называется квадрат n х n клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. Эту игру, известную и популярную и сегодня,  придумал в 1783году швейцарский математик Леонард Эйлер.

Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n² клеток и называется квадратом n-го порядка. Например 3 клетки квадрат 3 –го порядка, 4 клетки –квадрат 4 порядка, и т.д. В большинстве магических квадратов используются первые последовательные натуральные чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n²+1)/2. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.

4 Применение магических квадратов

Традиционной сферой применения магических квадратов являются талисманы. К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны.

Судоку: японские головоломки. Эту игру, также известную как «магический квадрат»,  придумал в 1783 году швейцарский математик Леонард Эйлер. Считается, что популярная игра «судоку» берет свое начало именно из магического квадрата. 

Игровое поле судоку  состоит из квадрата 9х9 клеток, разделенного на меньшие квадраты 3х3 клеток. У головоломки всего одно правило: игроку необходимо заполнить клетки цифрами от 1 до 9, таким образом, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и каждом квадрате 3х3 каждая цифра встречалась только один раз.

Ключ к решению головоломки – это логика и внимание. В середине ХХ века такие головоломки стали популярны в США, где их называли «Number place», а из Америки они попали в Японию, получив название «Судоку» (от «су»- число, цифра и «доку»- позиция, место).

Настоящую популярность головоломка «судоку» обрела в 80-х годах ХХ века, когда японские журналы начали публиковать эту головоломку на своих страницах. В 2005году английские газеты также стали печатать sudoku, и это стало началом ее триумфального шествия по всей Европе.

Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Не меньшую популярность завоевали судоку и в сети Интернет.

Сегодня очень актуальна проблема защиты информации. С помощью магического квадрата можно закодировать информацию.

Применение в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится, готовый магический квадрат. Безусловно, не следует слепо верить всему магическому. Возможно, некоторые черты характера и заложены в дате рождения человека, но человек всегда может найти способы что-то изменить в своей судьбе.

Алгоритм магического квадрата лежит в основе изготовления платформы жидкокристаллических телевизоров. Магический квадрат образует группа из 16 пикселей (квадрат 4 на 4), в котором в каждый момент времени с определённым интервалом зажигается одно и то же число разных пикселей по горизонтали, вертикали и диагонали. Это обеспечивает плавные цветовые переходы не заметные человеческому глазу и даёт  изображение на экране.

Магический квадрат Дюрера. В начале 16 века  знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия». Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34.

9 Методы заполнения магических квадратов

Метод Рауз – Болла. Метод Рауз-Болла состоит в следующем: в данный квадрат  чётного порядка вписываются числа в их естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки. Затем в квадрате проводятся диагонали. Числа, расположенные во взаимно симметричных ячейках (относительно центра квадрата), через которые прошли диагонали, меняются местами, а числа, через которые диагонали не прошли, остаются на месте.

Так, на рисунке выше диагонали пересекли восемь чисел, надо поменять местами взаимно симметричные: 1-16, 6-11, 13-4, 10-7. Получится следующий магический квадрат:

Можно поступить наоборот: оставить на месте числа, через которые прошли диагонали, а поменять местами числа, не попавшие на диагонали и симметрично расположенные относительно центра квадрата. Получится  тот же квадрат, что и в предыдущем случае, только повёрнутый на 180 градусов вокруг центра:

Метод Баше (или метод террас). Используется для квадратов нечётного порядка. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5х5. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный. Получается ступенчатая ромбовидная фигура. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми (диагональными) рядами снизу вверх  или сверху вниз. Затем каждое число, расположенное вне исходного (выделенного) квадрата следует перенести вдоль того же ряда ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере – на пять.

Таким образом, все ячейки квадрата будут заполнены. Сумма чисел в столбцах, строках и диагоналях равна 65.

Универсальный способ составления магического квадрата размера 4х4

Этот способ удобно использовать для «фокусов». С его помощью можно составить магический квадрат, сумма столбцов, строк и диагоналей которого равна любому заданному числу, большему 21. Например, можно спросить у присутствующих их возраст. А если возраст меньше 21, то можно увеличить его в 2 раза. А затем, на глазах зрителей составить «магический квадрат» с этой суммой. На самом деле большинство чисел известно заранее. И только 4 ячейки нужно просчитать:

Задания для однокурсников:

Задача 1. Впиши в пустые клетки квадрата 4х4 недостающие числа от 1 до 16 так, чтобы в сумме по всем столбикам и строкам и обеим диагоналям получилось число 34.

Ответ:

Задача 2. В клетках квадрата переставьте числа так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали их суммы были равны между собой:

Ответ:

Заключение

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание любителей математических игр и развлечений. Возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач послужит прекрасной «гимнастикой для ума».

В целом, безусловно, магические квадраты – это нечто удивительное, интересное и увлекательное. При этом оказывается, что заполнять магические квадраты не так уж сложно, но необходимо знать некоторые правила. Способ заполнения магического квадрата зависит от его порядка. Магические квадраты даже встречаются в олимпиадных задачах.

Практическое использование получили не столько сами магические квадраты, сколько методы, и целые разделы современной математики, которые возникли и развивались, благодаря решению логических задач и анализу свойств магических квадратов.

Список литературы и интернет – источников

1. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. М., Просвещение, 2012г.
2. М.М. Постников «Магические квадраты». – М.: Наука, 1994
3. Магические квадраты. Способы построения. Точка доступа: http://www.klassikpoez.narod.ru/mojmetod.htm 
4. Шахматный подход к построению магических квадратов. Точка доступа: http://chess7.narod.ru/   
5. Математика. Магические квадраты. Точка доступа: https://math.fandom.com/ru/wiki/Магический_квадрат/ . Магические квадраты – это нечто удивительное, интересное и увлекательное.

• 2.нение в современном мире.