Ключ к угадыванию цифры

Слайд 1

Муниципальноe казенноe общеобразовательноe учреждениe "Ленинская средняя общеобразовательная школа №3" Ленинского муниципального района Волгоградской области. Автор: ученица 7 «А» класса Литвинова Анна Васильевна Руководитель: Наумова Елена Валерьевна учитель математики Ключ к угадыванию цифры «Региональная Неделя Числа» Конкурс проектов: « Рациональные и иррациональные числа »

Слайд 2

Цель проекта : Научиться определять последнюю цифру числа в степени. Задача проекта: Вывести закономерность при возведении чисел в степень. Применить закономерности на различных числах в степени. Закрепить полученные знания примерами.

Слайд 3

У меня возник вопрос: «Как решить данный пример?» Делится ли сумма 27 33 + 33 11 на 10….? Я решила провести исследование и узнать, можно ли найти последнюю цифру числа, не возводя его в степень.

Слайд 4

Как узнать последнюю цифру числа 21 59 ? 21² = 21×21=44 1 ( × 21) 21 3 = 9 26 1 ( × 21) 21 4 = 19 448 1 ……. для решения воспользуемся …. видим закономерность: сколько бы раз мы не умножали 2 1 на себя, то произведение будет заканчиваться на 1 Число, в составе которого последняя цифра 1, в любой степени будет заканчиваться 1

Слайд 5

Как узнать последнюю цифру числа 25 47 ? 25² = 25×25=62 5 ( × 25) 25 3 = 15 62 5 ( × 25) 25 4 = 390 62 5 …… для решения воспользуемся…. видим закономерность: сколько бы раз мы не умножали 2 5 на себя, то произведение будет заканчиваться на 5 Число, в составе которого последняя цифра 5 , в любой степени будет заканчиваться 5

Слайд 6

Как узнать последнюю цифру числа 16 31 ? 16² = 16×16=25 6 ( × 16) 16 3 = 4 09 6 ( × 16) 16 4 = 65 53 6 для решения воспользуемся видим закономерность: сколько бы раз мы не умножали 1 6 на себя, то произведение будет заканчиваться на 6 Число, в составе которого последняя цифра 6 , в любой степени будет заканчиваться 6

Слайд 7

Как узнать последнюю цифру числа 10 15 ? 10² = 10×10=10 0 ( × 10) 10 3 = 100 0 ( × 10) 10 4 = 1000 0 ……. для решения воспользуемся …. видим закономерность: сколько бы раз мы не умножали 1 0 на себя, то произведение будет заканчиваться на 0 Число, в составе которого последняя цифра 0 , в любой степени будет заканчиваться 0

Слайд 8

5 1 1 группа «Замечательных цифр» 6 0 1 5 6 0 число, в составе которого последняя цифра 1 , в любой степени будет заканчиваться на 1 число, в составе которого последняя цифра 5 , в любой степени будет заканчиваться на 5 число, в составе которого последняя цифра 6 , в любой степени будет заканчиваться на 6 число, в составе которого последняя цифра 0 , в любой степени будет заканчиваться на 0

Слайд 9

найдём последнюю цифру при возведении числа, оканчивающегося на 4 в степень… видим закономерность: если 4 возвести в чётную степень , то произведение будет заканчиваться на 6, если в нечётную - на 4 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · …. 4¹ = 4 4 ² = 1 6 4 ³ = 6 4 4 ⁴ = 25 6 4 ⁵ = 1 02 4 …….. 4 6 4 6 4 … степень оканчивается на …

Слайд 10

найдём последнюю цифру при возведении числа, оканчивающегося на 9 в степень… видим закономерность: если 9 возвести в чётную степень , то произведение будет заканчиваться на 1, если в нечётную - на 9 9 · 9 · 9 · 9 · 9 · …. 9¹ = 9 9 ² = 8 1 9 ³ = 72 9 9 ⁴ = 6 56 1 9 ⁵ = 59 04 9 …….. 9 1 9 1 9 … степень оканчивается на …

Слайд 11

2 группа «Замечательных цифр» степень последняя цифра - 4 9 чётная число заканчивается на 6 1 нечётная 4 9 4 9

Слайд 12

Найдём последнюю цифру при возведении числа, оканчивающегося на 2 в степень видим закономерность: если 2 возводить в степень , то с 5 шага начинается повтор окончания цифры степени, т.е. цикл состоит из 4 шагов 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · …. 2¹ = 2 2 ² = 4 2 ³ = 8 2 ⁴ = 16 2 ⁵ = 32 …….. 2 4 8 6 2 … степень числа оканчивается на … с 5 шага начинается повтор! цикл состоит из 4 шагов!

Слайд 13

Пример: 52 Какой цифрой оканчивается результат? Решение: Число 5 2 оканчивается на 2. Работаем со степенью: 34:4= 8 (ост. 2) (делим на 4 т.к. цикл = 4), т.е при возведении 52 в 34 степень мы пройдём 8 полных циклов по 4 шага и + ещё 2 шага Получаем число 4 34 Ответ: 4

Слайд 14

Найдём последнюю цифру при возведении числа, оканчивающегося на 3 в степень видим закономерность: если 3 возводить в степень , то с 5 шага начинается повтор окончания цифры степени, т.е. цикл состоит из 4 шагов 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · …. 3¹ = 3 3 ² = 9 3 ³ = 2 7 3 ⁴ = 8 1 3 ⁵ = 243 …….. 3 9 7 1 3 … степень числа оканчивается на … с 5 шага начинается повтор! цикл состоит из 4 шагов!

Слайд 15

Пример: 23 Какой цифрой оканчивается результат? Решение: Число 2 3 оканчивается на 3. Работаем со степенью: 62:4= 15 (ост. 2) (делим на 4 т.к. цикл = 4), т.е при возведении 23 в 62 степень мы пройдём 15 полных циклов по 4 шага и + ещё 2 шага Получаем число 9 Ответ: 9 62

Слайд 16

Найдём последнюю цифру при возведении числа, оканчивающегося на 7 в степень видим закономерность: если 7 возводить в степень , то с 5 шага начинается повтор окончания цифры степени, т.е. цикл состоит из 4 шагов 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · …. 7¹ = 7 7 ² = 4 9 7 ³ = 34 3 7 ⁴ = 2 401 7 ⁵ = 16 807 …….. 7 9 3 1 7 … степень числа оканчивается на … с 5 шага начинается повтор! цикл, состоит из 4 шагов!

Слайд 17

Пример: 87 Какой цифрой оканчивается результат? 41 Решение: Число 8 7 оканчивается на 7. Работаем со степенью: 41:4= 10 (ост. 1) (делим на 4 т.к. цикл = 4), т.е при возведении 87 в 41 степень мы пройдём 10 полных циклов по 4 шага и + ещё 1 шаг. Получаем число 7 Ответ: 7

Слайд 18

Найдём последнюю цифру при возведении числа, оканчивающегося на 8 в степень видим закономерность: если 8 возводить в степень , то с 5 шага начинается повтор окончания цифры степени, т.е. цикл состоит из 4 шагов 8 · 8 · 8 · 8 · 8 · …. 8¹ = 8 8 ² = 6 4 8 ³ = 512 8 ⁴ = 4 096 8 ⁵ = 32 768 …….. 8 4 2 6 8 … степень числа оканчивается на … с 5 шага начинается повтор! цикл состоит из 4 шагов!

Слайд 19

Пример: 238 Какой цифрой оканчивается результат? 64 Решение: Число 23 8 оканчивается на 8. Работаем со степенью: 64 : 4= 16 (ост. 0) (делим на 4 т.к. цикл = 4). Т.е при возведении 238 в 64 степень мы пройдём 16 полных циклов по 4 шага, а последняя цифра в цикле 6 Получаем число 6 Ответ: 6

Слайд 20

3 группа «Замечательных цифр» 2 3 7 8 число, в составе которого последняя цифра 2 , в любой степени будет заканчиваться на одну из цифр… число, в составе которого последняя цифра 3 , в любой степени будет заканчиваться на одну из цифр … число, в составе которого последняя цифра 7 , в любой степени будет заканчиваться на одну из цифр … число, в составе которого последняя цифра 8 , в любой степени будет заканчиваться на одну из цифр … цикл состоит из 4 шагов 2 , 4, 8, 6 3, 9, 7, 1, 7, 9, 3, 1 8, 4, 2, 6 8 7 3 2

Слайд 21

2 3 7 8 число, в составе которого последняя цифра 2 , в любой степени будет заканчиваться на одну из цифр … число, в составе которого последняя цифра 3 , в любой степени будет заканчиваться на одну из цифр … число, в составе которого последняя цифра 7 , в любой степени будет заканчиваться на одну из цифр … число, в составе которого последняя цифра 8 , в любой степени будет заканчиваться на одну из цифр … цикл состоит из 4 шагов 2, 4, 8, 6 3, 9, 7, 1, 7, 9, 3, 1 8, 4, 2, 6 степень последняя цифра - 4 9 чётная число заканчивается на 6 1 нечётная 4 9 1 5 6 0 число, в составе которого последняя цифра 1 , в любой степени будет оканчиваться 1 число, в составе которого последняя цифра 5 , в любой степени будет оканчиваться 5 число, в составе которого последняя цифра 6 , в любой степени будет оканчиваться 6 число, в составе которого последняя цифра 0 , в любой степени будет оканчиваться 0 I Группы «замечательных чисел» II III

Слайд 22

Задание: Найти последнюю цифру числа 1) 65 2) 124 3) 2017 5 15 420 4) 12 + 13 39 41 5) 11 + 12 + 13 11 12 13

Слайд 23

Задание: Найти последнюю цифру числа 1) 65 2) 124 3) 2017 5 15 420 4) 12 + 13 39 41 1) 6 5 при возведении в любую степень будет заканчиваться на 5 ( 1 группа «замечательных чисел») 2) 12 4 ( 2 группа «замечательных чисел»), 15 нечётная степень, 124 при возведении в 15 степень будет заканчиваться на 4 3) 201 7 ( 3 группа «замечательных чисел»), 420:4=105(ост.0), число будет заканчиваться на 1 4)1 2 ( 3 группа «замечательных чисел», 39:4=9(ост.3), 12 в 39 степени будет заканчиваться на 8 1 3 ( 3 группа «замечательных чисел», 41:4=10(ост.1) 13 в 41 степени будет заканчиваться на 3 8+3=1 1 сумма будет заканчиваться на 1 Решение:

Слайд 24

Задание: Найти последнюю цифру числа 5) 11 + 12 + 13 11 12 13 5) 1 1 ( 1 группа «замечательных чисел»), при возведении в любую степень будет заканчиваться 1 1 2 ( 3 группа «замечательных чисел», 12:4=3(ост.0) при возведении 12 в 12 степень число будет заканчиваться 6 1 3 ( 3 группа «замечательных чисел», 13:4=3(ост.1) при возведении 13 в 13 степень число будет заканчиваться 3 1+6+3=1 0 сумма будет заканчиваться на 0 Решение:

Слайд 25

Делится ли сумма 27 23 + 33 11 на 10….? Решение: 2 7 ( 3 группа «замечательных чисел», 23:4=5(ост.3) при возведении 27 в 33 степень число будет заканчиваться 3 3 3 ( 3 группа «замечательных чисел», 11:4=2(ост.3) при возведении 33 в 11 степень число будет заканчиваться 7 3) 3+7=10 , значит сумма будет делиться на 10 Ответ: сумма будет делиться на 10 теперь я могу ответить на этот вопрос

Слайд 26

Спасибо за внимание! Конкурс проектов: « Рациональные и иррациональные числа » Региональная Неделя Числа

Слайд 27

Используемый материал: https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_na_teoriyu_chisel/poslednyaya_cifra https://www.sites.google.com/site/olimpiadnyezadaci/zadaci-7

Слайд 28

Заключение Известный российский математик Василий Петрович Ермаков говорил: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления». Я полностью согласен с ним. Работа над проектом помогла убедиться в том, что в математике много закономерностей, которые можно получить, правильно рассуждая и внимательно анализируя получаемые результаты. Результаты данной работы помогут мне в дальнейшем расширять знания о степенях, а также применять полученные закономерности при решении олимпиадных задач, а также для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

Слайд 29

Библиографический список: Московские математические олимпиады / Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго. - М.: Просвещение, 1986г. - 303 с. Пособие для учителей 5—8 классов / Под редакцией К. П. Сикорского. - М.: «Просвещение»,1967г. - 236 с. Сборник задач московских математических олимпиад / Болтянский В.Г. (ред.). – МГУ, 384 с.

Слайд 30

Областной конкурс научно - исследовательской и проектной деятельности «Юный исследователь» Секция: Точные науки. Тема: «Последняя цифра степени. Решение некоторых олимпиадных задач»

Слайд 31

https://infourok.ru/tekstoviy-dokument-po-teme-stepen-chisla-3551196.html https://urok.1sept.ru/articles/585826