Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №9»

Индивидуальный итоговый проект

ТЕМА: «Функциональная зависимость вокруг нас»

Тип проекта: информационный

Срок реализации (сентябрь 2022г, - декабрь 2022г, )

   Выполнила: Туч Кира,

                                                                         ученица 9 «В» класса

                                                                        Руководитель:  Сафонова

                                                                        Юлия Владимировна, учитель математики

Минусинск, 2023 г.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………3

1. Глава 1. Основная часть

1.1. История возникновения функции. ……………………………...........5

1.2. Особенности функции и способы их задания………………...….......6

Глава 2. Практическая часть.

2.1 Функции – неотъемлемая часть нашей жизни: да или нет?................9

2.2.Функции в окружающем мире…………………………………….....10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………......14

Список использованной литературы…………………………………….15

Введение

С 7 класса на уроках математики начинают изучать тему «Функция». В 7 классе мы изучили линейную функцию, в восьмом классе продолжили изучать функции, а именно y=. На уроках математики мы продолжаем изучать функциональную зависимостях,  её свойства и графики. Таким образом может показаться, что функция это исключительно математическое понятие, но так ли это на самом деле? Может ли функциональная зависимость встретиться в других науках? Может ли она встретиться в обыденной жизни? Размышляя над этим, мы и пришли к теме моего проекта «Функциональная зависимость вокруг нас».

Актуальность темы. В школах одним из сложнейших предметов является математика, и многие учащиеся не понимают её значение в жизни, так как не могут найти ей применение в ней. Поэтому я решила узнать какое применение в жизни может получить математика, на примере функциональной зависимости.

Ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без математического описания. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать их можно с помощью функций и их свойств, позволяющий понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими.

Проблема. На уроках математики мы познакомились с различными функциями, их свойствами и графиками, но мы мало знаем о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности.

Цель: Рассмотреть примеры применения математических понятий и функций в окружающей нас жизни.

Задачи:

1. Изучить теоретические сведения о происхождении функций и их свойствах.
2.  Найти примеры применения математических понятий и функций в окружающей нас жизни.
3. Узнать, как часто в жизни  человек может использовать функции в своей практической деятельности.

Методы исследования

Теоретический, опрос родных,  друзей и одноклассников с целью выявления мнения о роли функции в жизни.

Гипотеза

Функции – неотъемлемая часть нашей жизни. Они окружают нас повсюду.

Объект исследования

Математические функции и их свойства

Предмет исследования

Функциональные зависимости в окружающей жизни.

Практическая значимость проекта

Проект позволяет развивать интерес школьников к урокам математики, убеждает в высокой практической значимости математической науки, формирует представление о взаимосвязи математики с объектами реального мира, убеждает в необходимости применять полученные знания на практике и поможет желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях.

Мы тоже являемся функцией многих переменных, Мы тоже зависим от наследственности, от книг, которые мы читаем, от времени, и этот список можно продолжать дальше.

Глава 1. Основная часть

1.1. История возникновения функции.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне большую роль в познании реального мира.

        Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Путь к появлению понятия функции заложили в XVII веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных — последними буквами латинского алфавита: x, y, z, известных — начальными буквами того же алфавита: a, b, c,... и т. д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Кроме того, у Декарта и Ферма в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения — формулы. В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило, по существу, интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых — функция от абсцисс (x); путь и скорость — функция от времени (t) и т. п. Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (он называл ее «флюентой»).

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию).

        Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций.

Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, но, постепенно, понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во «Введении в анализ бесконечного»): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».

В 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых».

Поэтому один из самых замечательных математиков XVII в. Леонард Эйлер (1707 – 1783), вводя в своём учебнике понятие функции, говорит лишь, что «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

        Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего  XVII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики.

Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.

В формировании современного понимания функциональной  зависимости приняли участие многие крупные математики.            Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И. Лобачевский.      

1.2. Особенности функции и способы их задания.

В школьном учебнике математики дается следующее определение функции:

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

        Записывают: y =f(x)  (читается:«Эф от икс»). Буквой f  обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x)  есть значение функции в точке х.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции.

Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции.

Может возникнуть вопрос: почему мы обозначаем функцию символом f, и когда он появился.  Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще».

Способы задания функции:

1. Аналитический (с помощью формулы)
2. Описательный ( задается словесным описанием)
3. Табличный (с помощью таблицы)
4. Графический (с помощью графика)

Свойства функций:

1.Нули функции

Нули функции это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю

2.Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции - такие множества, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

3.Возрастание и убывание функции

Возрастающая в некотором промежутке функция- функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая в некотором промежутке функция- функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Виды функций:

1.Линейная функция (рис. 1) 

Линейная функция—это функция вида y= kx + b, где х— независимая

переменная, k, b— некоторые числа. При этом  — угловой коэффициент, b— свободный коэффициент.Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.                                         Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.                   Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

2.Гипербола (рис.2) 

             Гипербола — это график функции обратной пропорциональности, которая задается следующей формулой: y=k/x, где: x— независимая переменная;  у — функция; k— коэффициент пропорциональности. При этом k≠0. При k>0 график расположена 1 и 3 четвертях координатной плоскости (функция убывает), при k<0 — во 2 и 4 четвертях(функция возрастает).

3.Парабола (рис. 3) 

Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x2 в частном случае при b = 0, c = 0.

4.Функция квадратного корня (рис.4)                                                  

Функция у = корень х Область определения этой функции [0; + бесконечность)т.е все неотрицательные числа.                                                                                             Ее графиком является ветвь параболы.

Вывод: функция сыграла и по настоящее время играет большую роль в познании реального мира.

Глава 2. Практическая часть

2.1 Функции – неотъемлемая часть нашей жизни: да или нет?

Для того, чтобы выяснить, где практически применяются функции в окружающем нас мире, я рассмотрела множество материалов, провела опрос среди следующих респондентов: учащихся нашей школы 7-10 классов (12-18 лет), работающие взрослые, студенты (старше 18 лет).

Основные вопросы, которые задавались респондентам:

1. Знаете ли вы что такое функция ?
2. Где и когда в обыденной жизни вы встречались с функцией?
3. Значима ли для человека функция?
4. Приведите пример из личной жизни, связанный с функциональной зависимостью
5. Можно ли определить проблему с помощью функции?

Знаете ли вы что такое функция ?

Где и когда в обыденной жизни вы встречались с функцией?

Значима ли для человека функция?

Приведите пример из личной жизни, связанный с функциональной зависимостью

Можно ли определить проблему с помощью функции?

Вывод.

- Оказалось, что многие из опрошенных знакомы с понятием функция и функциональной зависимостью.

- Данные утверждения позволили сделать вывод, что функция значима в жизни человека.  

- Большинство опрошенных смогли привести примеры из своей личной жизни (с 15 лет – старше 18 лет),  смогли привести примеры применения данной темы на практике.

        Далее мы рассмотрим более подробно области, в которых используется функция.

2.2.Функции в окружающем мире

        Понятие «Функция» сыграла и поныне играет большую роль в познании реального мира.

        Как известно, наиболее распространен аналитический способ задания функции, при котором функция задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы найти у.

Чаще всего в обыденной жизни мы встречаемся с линейной и квадратичной функцией.

1.Линейная функция

        В повседневной жизни мы часто встречаемся с разными зависимостями (функциями). Например, благодаря функции мы можем вычислить сколько раз в месяц нужно посещать парикмахерскую.

        Если молодой человек хочет, чтобы у него длина волос была не длиннее 7 см, но и не короче 4 см, зная, что скорость роста волос 1,5 см в месяц, мы можем использовать график и увидеть с какой периодичностью он должен ходить в парикмахерскую.

        Также метеорологическая служба фиксирует изменения температуры, строя с помощью термографа график температуры.Используя показания сейсмографов (приборов, непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики – сейсмограммы), геологи могут предсказать приближение землетрясение или цунами.

        Врачи выявляют болезни сердца с помощью кардиографа, их называют кардиограммами.

        2. Квадратичная функция.

        Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. Графиком квадратичной функции является парабола. Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста, выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха).

        Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике, например, параболическая арка; свод моста.

        Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости.

        Свойство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, отражательных телескопов - рефлекторов. Радуга – природная парабола.Наша галактика – вогнутая парабола.

3. Свойства функции в пословицах и поговорках.

        Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

        «Чем дальше в лес, тем больше дров». График представит количество дров как функцию пути

        «Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне.

Я рассмотрела некоторые пословицы и поговорки с точки зрения функциональной зависимости.

Прямая зависимость

Примеры:

1)Аппетит приходит во время еды

2)Кто много читает, тот много знает

3)Как аукнется, так и откликнется

4)Каков строитель, такова и обитель

5)К чему ребенка приучишь, то от него и получишь

6)С плохими косцами плох и укос

Обратная зависимость

Примеры обратной зависимости

1)Работает – как ребенок, а ест – как детина

2)В умной беседе ума набраться, а в глупой свой растерять

3)Криво дерево, да яблоки сладки.

4)Худой мир лучше доброй войны.

5)Тише едешь – дальше будешь.

6)На словах густо, а в голове пусто.

7)Не все то золото, что блестит.

4. Функции в экономике

        Широко применяются графики в экономике, в частности, кривая спроса и предложения, линия производственных возможностей.

        Экономический рост в России в начале 2000-х годов в большей степени определялся высокими ценами на энергоресурсы: нефть и газ. И когда цены на нефть упали, денежный поток, который шел в Россию, сократился. Как следствие этого сократился спрос внутри страны на продукцию, что в свою очередь привело к сокращению производства. Финансовый кризис перешел в промышленный

        Вывод. Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

        Облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

        Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

Заключение

        Понятие функции является одним из основных понятии математики вообще. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, акак и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике.

        Впервые термин «функция» вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него «геометрический характер».

        Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: «функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных».

        Выводы:

1. Математические функции являются одним из основных понятий в различных областях науки и техники.

2. Математическое понятие функции широко используется в описании и изучении процессов и явлений реального мира.

3. Широкое развитие физики, химии, биологии, авиации, сотовой связи и вообще техники было бы невозможным без понятия функции.

4. Функциональные зависимости присутствуют во всех сферах жизни человека.

        Цель работы достигнута и выдвинутая гипотеза о том, что функции – неотъемлемая часть нашей жизни, они окружают нас повсюду - нашла свое подтверждение.

        Графики и функции широко распространены в нашей жизни, так как они содержательные, наглядные и удобные для передачи и восприятия информации, дальнейшей обработки информации.

Список использованной литературы:

1. Блох А. «Законы Мерфи»/ пер. с англ. Е.Г.Гендель, Минск, «Попурри», 2009.
2. Вся физика. Справочник школьника, 7 – 11 класс, Владимир, «Астрель», 2008
3. Макарычев Ю.Н. «Алгебра 7 класс». – 6-е изд. – М.: Издательство «Просвещение», 2008
4. Мордкович А.Г. «Алгебра 7 класс». – 11-е изд. – М.: Издательство «Мнемозина», 2008.
5. Пословицы, поговорки, потешки, скороговорки. Пособие для родителей и педагогов/сост. Тарабарина Т.И., Елкина Н.В., Ярославль, «Академия развития», 2004
6. Ушакова О.Д. «Пословицы, поговорки и крылатые выражения», С-Петербург, «Литера», 2006
7. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.hintfox.com/article/fynktsii-v-zhizni-cheloveka.html
8. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.MathUs.ru