Муниципальное общеобразовательное учреждение  средняя общеобразовательная школа с. Орловское

Проект по алгебре

«Симметрия вокруг нас»

Выполнил учащийся 8 класса:

Железнов Матвей

Руководитель проекта: Джакубалиева Ю. В.

Содержание.

Введение…………………………………………………………………………3

I Симметрия в математике………………………………………………….…..4

1.1.Центральная симметрия..........…………………………………………......4

1.2. Осевая симметрия……………………...…………………………………...4

1.3. Зеркальная симметрия….………………………………………………..…5

II Симметрия вокруг нас………………………………………………………...6

2.1.Симметрия в биологии………………………………………………….…..6

2.2. Симметрия в языках…………………………………………………….…..7

2.3. Симметрия в архитектуре…………………………………………………..8

2.4. Виды симметрии в орнаментах………………………………………….….9

Заключение…………………………………………………………………….....11

Список используемых источников ………………………,..…………….…….12

Приложение 1…………………………………………………………………….13

Тема проекта  была выбрана после изучения курса «Математика 6 класса»,  раздела «Осевая и центральная симметрия». Остановились мы именно на этой теме не случайно, нам хотелось узнать принципы симметрии, её виды,  разнообразие её в живой и неживой природе.

Под симметрией (от греч. symmetria — соразмерность) в широком смысле понимают правильность в строении тела и фигуры. Учение о симметрии  представляет собой большую и важную ветвь тесно связанную с науками разных отраслей. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например, зубчатые колеса.

Мне это было интересно, потому что данная тема затрагивает не только математику, хотя она и лежит в её основе, но и другие области науки, техники, природы и даже культуру народа.

Мы обратили внимание на то, что во многих вещах, в основе красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды — от простейших до самых сложных.

Цели проекта:

1. раскрыть особенности видов симметрии;
2. показать всю привлекательность математики как науки и её взаимосвязь с природой в целом.

Задачи:

1. сбор материала по теме проекта и его обработка;
2. обобщение обработанного материала;
3. выводы о проделанной работе.

I Симметрия в математике

1.1.  Центральная симметрия

Понятие центральной симметрии следующее: «Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре (Приложение 1). Точка О называется центром симметрии фигуры». Поэтому говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм (Приложение 1). Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

Как в случае зеркальной, так и в случае центральной симметрии плоская фигура непременно имеет ось симметрии второго порядка, но в первом случае эта ось лежит в плоскости фигуры, а во втором – перпендикулярна к этой плоскости.

1.2. Осевая симметрия

Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: «Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры». Тогда говорят, что фигура обладает осевой симметрией (Приложение 1).

Приведём примеры фигур, обладающих осевой симметрией.  У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник— три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат— четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

1.3. Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело) (Приложение 1).

 Важно отметить, что два симметричных друг другу тела не могут быть вложены или наложены друг на друга. Так перчатку правой руки нельзя надеть на левую руку. Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Чтобы убедиться в этом, достаточно поднести лист бумаги к зеркалу и попытаться прочесть несколько слов, напечатанных на ней, буквы и слова просто-напросто будут перевёрнуты справа налево. По этой причине симметричные предметы нельзя называть равными, поэтому их называют зеркально равными.

                                              II Симметрия вокруг нас

2.1. Симметрия в биологии

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Среди цветов наблюдаются поворотные симметрии разных порядков. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой. Такой цветок обладает осью симметрии.

Винтовая симметрия наблюдается  в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса, что буквально означает строение листа. Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды – от простейших до самых сложных. Симметрия в строение животных – почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила.

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симметрии, которые являются основными типами симметрии.

Человек - существо симметричное

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И всё же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы! НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так. Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале.

2.2. Симметрия в языках

Явление стилистической симметрии удобнее всего показать на примерах псалмов, от которых она в основном (но не исключительно) и ведет свое начало в древнерусской литературе.

Сущность этой симметрии состоит в следующем: об одном и том же в сходной синтаксической форме говорится дважды; это как бы некоторая остановка в повествовании, повторение близкой мысли, близкого суждения, или новое суждение, но о том же самом явлении. Второй член симметрии говорит о том же, о чём и первый член, в других словах и другими образами. Мысль варьируется, но сущность её не меняется

Все мы читали сказку А.Толстого «Золотой ключик» и смотрели фильм или мультфильм. Там Мальвина диктовала Буратино всем известную «волшебную» фразу: «А роза упала на лапу Азора». Она читается и слева направо и справа налево одинаково. Автором этой фразы считается русский поэт XIX века А.А.Фет.

Это и есть так называемый «палиндром». Палиндромом (от гр. Palindromos –  бегущий обратно) можно назвать некоторый объект, имеющий линейную или циклическую форму организации, в которой задана симметрия составляющих от начала к концу и от конца к началу; текст, или, шире, некоторое словесное построение, которое одинаково (или приблизительно одинаково, с некоторыми допущениями) читается по буквам слева направо и справа налево.

Существует несколько разновидностей палиндромов: буквопалиндромы – читаются туда и обратно точно по буквам; словодромы (читаются уже не по буквам, а по словам и в ту, и в другую сторону); слогодромы и др. Также распространены и оборотни, читаемые справа налево иначе, чем слева направо. Причем, при их обратном прочтении текст, обычно имеет противоположный, замаскированный смысл. Например, на Ритке снег (С.Федин). А обратно получается нечто оригинальное: Генсек - тиран.

Примеры:
Колька нес сена клок
Конус и рисунок
Леша на полке клопа нашел
Мокнет Оксана с котенком
Мороз узором
Тропа налево повела, на порт
Туши рано фонари, шут!

Встречаются иногда отрывки из стихотворений. Например,

Весна мутила дали... Туман, сев.

И гул поля, радуя, ударял о плуги.

Некоторые слова и числа также обладают симметрией, например, поп, кок, шалаш, наган и числа 101, 404, 1991, 2002 и др. Можно составить огромное количество симметричных чисел, используя только цифры от 0 до 9.

2.3. Симметрия в архитектуре

Принцип симметрии играет важную роль и в архитектуре. «Архитектура – по словам Н.В. Гоголя – это летопись мира». Она несет в себе уникальную информацию о жизни людей в давно прошедшие исторические эпохи.

Термин «симметрия» в разные исторические эпохи использовался для обозначения разных понятий. Для греков симметрия означала соразмерность. Считалось, что две величины являются соразмерными, если существует третья величина, на которую эти две величины делятся без остатка. Здание (или статуя) считалось симметричным, если оно имело какую-то легко различимую часть, такую, что размеры всех остальных частей получались умножением этой части на целые числа, и таким образом исходная часть служила видимым и понятным модулем. Ещё в Древности греки строили пирамиды строго симметрично. В искусстве симметрия играет огромную роль, многие шедевры архитектуры обладают симметрией. При этом обычно имеется в виду зеркальная симметрия.

Немалую роль симметрия играет в архитектурной композиции — закономерное расположение частей формы относительно друг друга. История архитектуры полна всеми видами симметричных преобразований, основными из которых являются отражение, поворот и перенос. Таким образом, архитектор, используя объективные свойства архитектурных форм (геометрический вид, положение в пространстве, величину, массу, фактуру, свет и цвет), с помощью ритма, пропорционирования, масштабирования, используя тождество, нюанс, контраст и симметрию, создает целостную архитектурную композицию. Всеми вышеперечисленными приёмами он выстраивает программу восприятия зрителем архитектурного образа.

2.4. Виды симметрии в орнаментах

Для орнамента также важно соблюдение законов симметрии: обе его стороны должны быть равными. Чтобы вырезать орнамент для определенного изделия, сначала делается образец из бумаги. При создании орнамента необходимо знать, что особую красоту ему придают краски. В казахском прикладном искусстве используются традиционные цвета, которые применяются мастерами в течение многих веков: красные, синие, желтые, зеленые, белые и черные. Эти цвета имеют только им одним присущую символику. Синий - цвет неба; белый - символ истины; желтый - цвет мудрости, нравственности, печали; зеленый — молодости, весны и т.д. Соответствие цветов друг другу, их гармоничное сочетание называют колоритом. В многоцветных узорах-орнаментах часто встречается совершенный колорит. При создании орнаментов, кроме законов симметрии, необходимо также соблюдение ритма.

Как и все другие виды творческой деятельности, искусство создания орнаментов оказывает благотворное влияние на повышение интеллектуального уровня человека, содействует совершенствованию уже обретенных им знаний. Человек не только овладевает техникой создания орнаментов, но и знакомится с забытыми понятиями и словами, имеющими прямое отношение к этому виду искусству. С целью пояснения того, какие виды орнаментов используется на изделиях из войлока, а какие — на деревянных изделиях, а также какие виды симметрии используются в орнаментах.

Заключение

Изучив и исследовав тему «Симметрии» я узнал, что помимо осевой, зеркальной и центральной видов симметрии, которые мы изучаем в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например в природе – поворотная, винтовая, в кристаллографии вообще - 32 вида.

Таким образом, изучая симметрию законов природы, рано или поздно удается глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции и дать возможность человеку чаще применять данные законы симметрии в жизни.

Декоративные мотивы модерна содержат в себе стилизованные водяные цветы и бутоны с узкими, длинными стеблями и листьями: лилии, кувшинки, тростник, а также цветы и бутоны ирисов, орхидей, цикламенов, хризантем; фигурки насекомых: бабочки, стрекозы; птицы: лебеди, журавли, павлины и их перья, мотивы масок с развевающимися длинными прядями волос, волн, складок развевающегося платья, лебединой шеи и др. Древний человек наделял определенными знаками свои представления об устройстве мира. Например, круг — солнце, квадрат — земля, треугольник — горы, свастика — движение солнца, спираль — развитие, движение и т. д., но они, по всей вероятности, еще не обладали для предметов декоративными качествами (часто покрывались орнаментом скрытые от глаз человека части предметов — днища, оборотные стороны украшений, оберегов, амулетов и др.). Изучая виды орнаментов можно заметить в них все виды симметрии и понять как создается красота руками человека.

И в заключении хочется сказать о том, что быть прекрасным значит быть симметричным и соразмерным.

Нам  было  интересно работать над выбранной  темой реферата. Мы узнали много нового. Но наибольший интерес у меня вызвал раздел, касающийся слов и цифр, а также о симметрии в живой природе.

В своей работе мы обобщили собранный по теме реферата материал и подготовили для его защиты презентацию, выполненную в редакторе Power Point.

Хотелось бы сказать, что почти во всём, что нас окружает, есть та или иная симметрия. О ней можно говорить бесконечно.

Список литературы.

1. Эстетика урока математики. И.Г. Зенкевич. – Издательство «Просвещение». – Москва 1981г. – 79 стр.
2. Наглядная геометрия 5 – 6 классы. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – Издательство «Дрофа», Москва 2005г. – 189стр.
3. Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г. – 704стр.
4. Ресурсы сети Интернет. www.likt590.ru/project/matematika/5/, sapr.mgsu.ru/biblio/arxitekt/arhkomp2.htm, www.fondcultura.ru/htmls/method/texts_history/architecture.htm, ru.wikipedia.org/wiki/

ПРИЛОЖЕНИЕ  1

 Центральная симметрия

                                  О                                           О.

Центральна симметричные фигуры

 Симметрия вращения

            .

 Зеркальная симметрия                                                        Симметрия в физике      

Симметрия в растениях

  Симметрия в человеке

 Симметрия в кристаллах

 Симметрия в узорах

Центральная симметрия

Зеркальная симметрия

Симметрия вращения