Исследовательская работа «Разные способы доказательства теоремы о сумме углов треугольника»

Отдел образования Администрации Ивановского района Амурской области

ХII муниципальная научно-практическая конференция

«Нет границ в познании мира»

Секция

    «Математика в современном мире»

РАЗНЫЕ СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ

О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Исследовательская работа

Автор:

Антонюк Ирина

обучающаяся 7 класса

МОБУ «СОШ с.Правовосточное»

Руководитель:

Саркисова Нелли Борисовна

учитель математики

МОБУ «СОШ с.Правовосточное»

первая квалификационная  

категория

с. Ивановка

2019 год

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

В этом учебном году мы  начали  изучать новый предмет –  геометрию и учиться доказывать теоремы.  Я заинтересовалась, а  можно ли доказывать теоремы разными способами.  Чтобы разобраться в этом вопросе, мы решили обратиться   к теореме,  известной, как оказалось, с древнейших времён: «Сумма углов в треугольнике равна 180º». 

Актуальность: Теорема о сумме углов треугольника, как и сам треугольник, имеют огромное значение,  применяются на протяжении всего курса геометрии при доказательстве других теорем и решении задач. К тому же доказательство теорем способствует формированию умений рассуждать, анализировать данные и аргументировать высказывания.

Цель исследования:  Изучение разных способов  доказательства теоремы о сумме углов треугольника и применение для нахождения неизвестных углов треугольника.

Объект исследования: треугольник.

Предмет исследования: теорема о сумме углов треугольника.

Гипотеза: существуют различные способы доказательства теоремы о сумме углов треугольников.

Задачи исследования:

1. Собрать и обобщить информацию о разных способах доказательстве теоремы о сумме углов треугольников.

2. Найти практическое применение теоремы.

3. Показать другим учащимся существование нескольких способов доказательства одной и той же теоремы.

 Методы исследования:

1. Теоретические (изучение и анализ учебной и научной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет).
2. Эмпирические (наблюдение, обобщение, анализ, обработка данных, систематизация, сравнительный анализ).

Этапы исследования:

1. Поиск, сбор и изучение учебной и научной литературы.
2. Выбор способов доказательства,  подтверждающих  гипотезу.
3. Оформление отчета о проделанной работе.
4. Подготовка к защите.
5. Защита проекта (презентация).

Работа состоит из введения, трех параграфов, заключения, списка использованных источников. Кроме текстовых материалов в работу включены рисунки и формулы.

1. ИЗ ИСТОРИИ СОЗДАНИЯ ТЕОРЕМЫ О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Математики треугольник называют двумерным симплексом. «Симплекс» по-латыни означает простейший. Именно в силу своей простоты и распространенности  треугольник явился основой многих измерений. Научным языком треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек,  не лежащих на одной прямой.  Хотя треугольник и самый простой по виду из многоугольников, но по количеству свойств он опережает многие более сложные фигуры.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах найдены в египетских папирусах, которым более четырех тысяч лет. Через две тысячи лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня. Особенно глубоко свойствами треугольников занимались древнегреческие ученые Пифагор и Герон. Свойствами треугольников занимался в свое время Леонард Эйлер. Даже император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой, в частности, треугольникам.

Обычно открытие утверждения о сумме углов треугольника  приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору, жившему в VI веке до н.э. Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора. 

Свойство суммы углов треугольника было установлено опытным путем еще в Древнем Египте. Однако дошедшие до нас сведения об его доказательствах относятся к более позднему времени. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментарии Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что согласно Евдему Родосскому это доказательство было открыто еще пифагорейцами (VI в. до н. э.) Прокл пишет: «Пифагор впервые разработал принципы геометрии». Пифагорейцы содействовали формированию геометрии как науки, основанной на аксиомах и доказательствах.  Евкли́д (ок. 300 г. до н. э.) – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Известен как «Отец Геометрии».

Сам же Прокл, комментируя первую книгу «Начала» Евклида, утверждал, что согласно Евдему Родосскому (IV в. до н.э.) сумма углов треугольника равна развёрнутому углу, то есть 180°.

 Теорема о сумме углов треугольника –  классическая теорема евклидовой геометрии. Утверждает, что  сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.

2. НЕСКОЛЬКО ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМЫ О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Обратившись в библиотеку за книгами по геометрии и продолжа поиск в сети Интернет, мы нашли несколько разных способов доказательства теоремы.

2.1. Так в нашем учебнике «Геометрия 7-9» под редакцией А.С.Атанасян теорема доказывается  с помощью свойств параллельности прямых и понятия развернутого угла.

Дано:   АВС

Доказать:  А+  В  + С= 180        

Доказательство: 

1. Проведем прямую a ||AC, отметим

получившиеся углы.

2. Заметим, что сумма углов   4,  2,  5 дает 180° (развернутый угол).
3.  1= 4 как накрест лежащие, при параллельных прямых а и АС и секущей АВ.  3= 5 аналогично, при секущей ВС.
4. Следовательно, заменяя углы в равенстве  4 +  2 +  5= 180°, углы заменим равными, получим   1+ 2 + 3= 180,  т.е.   А + В + С= 180°. Теорема доказана.

Нужно отметить, что и  в учебниках под редакцией А.Д.Александрова, А.В.Погорелова  и  И.М. Смирновой  приведено аналогичное доказательство.

Внимательно изучив научную литературу, мы пришли к выводу, что это  доказательство предложено древнегреческим ученым Проклом  в IV в. до н.э. Им трактовано, опираясь на опыт пифагорийцев, что сумма углов треугольника равна развёрнутому углу, то есть 180°.

2.2. В учебнике  под редакцией  В.Ф.Бутузова авторским коллективом приводится доказательство, которое основывается на свойстве прямоугольного треугольника.

Дано:   АВС

Доказать:  А+  В + С= 180                

Доказательство: 

Рассмотрим произвольный треугольник АВС.  Пусть острыми являются углыВ и С.

1. Проведем из вершины А высоту АА1.
2. Точка А1 лежит между точками В и С. Следовательно А + ВАА1 + САА1.
3. По свойству прямоугольного треугольника

 ВАА1 = 90° – В  и  САА1 = 90° – С,     то   А = 90° – В  + 90° – С

4. Перенеся углы  В и С в левую часть равенства, мы получим

 ∠А+ ∠В+∠С= 180°. Теорема доказана.

2.3. А еще раньше, геометрию изучали по учебнику А.П. Киселева, где  автор предлагает доказательство,  основанное на понятии развернутого угла, которое было изложено Евклидом в «Началах».

Дано:   АВС

Доказать:  А+  В + С= 180        

Доказательство: 

1. Продолжим сторону АС, из вершины

угла BCD проведем прямую CE||AB.

2.  2 =  1 (как соответственные), при AB||CE

и секущей АС.

3.  В=   ВСЕ (как накрест лежащие), при секущей ВС.
4.  ACD – развернутый,   ACD= 180 или   ACB +  BCE + ECD = 180,

т.е    С +  В+ А = 180. Теорема доказана.

2.4. В сети Интернет мы нашли доказательство данной теоремы через свойства вертикальных углов.

Дано:   АВС

         7+  6+  8= 180

Доказать:  А+  В+ С= 180        

Доказательство: 

1. 7 = 5,  6 = 2,  8 =4 (как вертикальные)
2. 4 = 1 (как накрест лежащие), при а||АС

 и секущей АМ

      5=  3 (как накрест лежащие), при а||АС и

 секущей СN.   6 =  2 (как вертикальные).

3. Значит,  А+  В+  С= 180. Теорема доказана.

Можно доказать теорему о сумме углов треугольника и практическими способами: перегибанием, отрыванием и измерением.

2.5. Выполним перегибания треугольника, как показано на рисунке и  убедимся, что сумма углов его равна развернутому углу, т.е. 180°.

2.6. Способ отрывания.  Если оторвать или отрезать  любые два угла треугольника и приложить оторванные углы к третьему, то очевидно, что сумма углов треугольника  будет равна 180°.

2.7. Следующий практический способ – способ измерения. Можно, конечно, взять транспортир,   измерить все три угла треугольника и сложить. Мы получим 180°. Но мы решили это сделать с помощью компьютерной программы «Живая математика». С помощью инструмента «Отрезок» нужно изобразить произвольный треугольник. Затем, выбрав в верхнем меню команду «Измерения» с помощью функции «Углы»  измеряем углы, а с помощью функции «Калькулятор» - складываем.

Легко изменив инструментом «Стрелка» треугольник, повторим вычисление. Как видим, сумма снова равна 180О.

Использование данной программы позволяет сделать процесс обучения интересным и наглядным.

Мы рассмотрели несколько способов доказательства теоремы о сумме углов треугольника, но существуют еще и другие. Можно сказать, что в основном доказательства строятся на понятии развернутого угла и теоремах об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О СУММЕ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Изучив научную литературу и ресурсы интернета, мы пришли к выводу, что теорема нашла широкое применение при доказательстве других теорем и решении задач.  Кроме того, задачи на нахождение углов треугольника входят в содержание контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена по математике. Вот примеры задач, взятых из открытого банка ФИПИ.

Также теорема может использоваться при решении задач по готовым чертежам, что является хорошим тренажером для подготовки к ОГЭ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работая над данной темой, мы не ставили себе цели найти все доказательства одной из важнейших теоремы геометрии, а только показать, что любую теорему можно доказать ни одним способом.

В результате выполнения работы мы пришли к следующим выводам:

1. Теорема о сумме углов треугольника была сформулирована и доказана еще в глубокой древности.

2.  Существует много способов ее доказательства.

3. Данная теорема имеет очень большое значение для всей геометрии.

4. Теорема применяется при решении задач, в том числе, включенных в ОГЭ, используется в доказательствах других теорем.

В результате исследования я узнала много нового, расширила и углубила свои знания, стала на шаг ближе к успешной сдаче ОГЭ по математике. К тому же доказательство теорем способствует формированию умений рассуждать, анализировать данные и аргументировать высказывания.

Подготовленный материал можно смело использовать на уроках математики и занятиях математического кружка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций. - М.: Просвещение, 2014. - 176 с.
2. Атанасян Л.С,  Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2012. - 384 с.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. / Под редакцией В. А. Садовничего. Геометрия. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций. - М.: Просвещение, 2015. - 175 с.
4. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. - М.: Просвещение, 2014. - 176 с.
5. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций. - М.: Мнемозина, 2013. - 376 с.
6. Чистяков В.Д. – Старинные задачи по элементарной математике - Минск, Высшая школа, 1978.

Интернет ресурсы:

1. ВикипедиЯ. http://ru.wikipedia.
2. Всем, кто учится. https://alleng.org/d/math/math67.htm
3. Картинки. http://www.images.yandex.ru/