Индивидуальный итоговый проект «Нахождение площади на клетчатой бумаге. Формула Пика»

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Правовосточное»

Индивидуальный итоговый проект

НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ В ЗАДАНИЯХ ОГЭ. ФОРМУЛА ПИКА

Автор работы:

Крайнюк Арина,

обучающаяся 9 класса

Руководитель:

Саркисова Нелли Борисова

с.Правовосточное, 2021 год

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

При изучении  темы «Площади многоугольников» встречаются задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге. Увидев  такие задачи в сборнике типовых экзаменационных вариантов ОГЭ по математике, я решила исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Но я решила остановиться именно на нахождении площади. Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке по готовым формулам. А также познакомилась с универсальным методом, при помощи которого можно находить площадь фигуры, построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Это формула Пика.

Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Так и была определена тема для исследования.

Объект исследования: геометрические задачи на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: геометрические задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.

Методы исследования:

Теоретические: анализ и синтез.

Эмпирические: сравнение.

Индуктивный метод – получение выводов из конкретных примеров.

Цель исследования:  проверить формулу Пика для вычисления площадей геометрических фигур в сравнении с формулами геометрии.

Для достижения поставленной цели предусматривается решение следующих задач:

• Подобрать необходимую литературу.
• Отобрать материал для исследования в сборнике ОГЭ
• Проанализировать и систематизировать полученную информацию.
• Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.
• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

При решении задач на клетчатой бумаге  понадобится геометрическое воображение и достаточно простые  геометрические сведения, которые известны всем. При более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, убеждаешься в их востребованности, оригинальности, полезности, возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.  

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1. Нахождение площади на клетчатой бумаге в заданиях ОГЭ

В задачах, которые будут на ОГЭ есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник, построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки равен одному квадратному сантиметру.

Рассмотрев и проанализировав задания в сборнике типовых экзаменационных вариантов ОГЭ по математике И.В. Ященко за 2021 год,  я нашла задания на нахождение площадей следующих фигур: треугольника, параллелограмма, ромба трапеции и произвольной фигуры.

Однако, в сборнике нет задач на нахождение площади квадрата и прямоугольника, а в банке заданий ФИПИ они есть.

В учебнике геометрии за восьмой класс я нашла следующие основные формулы для нахождения площадей многоугольников, с помощью которых и можно решить данные задания. Рассмотрим их:

1. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны:

S = a2

2. Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон:

S = a · b

3. Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты:

S = a · h

4. Формула площади ромба по длинам его диагоналей. Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей:

5. Формула площади трапеции по длине оснований и высоте. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

6. Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты:

1.2. Формула Пика. Решетки. Узлы

Информацию о формуле Пика я нашла в Интернете. Формула названа в честь австрийского математика Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.

При решении задач на клетчатой бумаге  с помощью формулы Пика необходимы понятия решетки и узла.  

Клетчатая бумага (точнее – ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости.

Множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой или просто решеткой, а сами точки – узлами решетки. Найдём площадь треугольника, изображенного на рисунке:

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

S = + В – 1

Г – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

В – количество узлов внутри  треугольника

*Под «узлами» имеется ввидупересечение линий.

Отметим узлы:

1 клетка = 1 см

Г = 15 (обозначены красным)

В = 34 (обозначены синим)

Иногда, чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу).

Но не всегда многоугольник  выглядит достаточно просто, иногда для вычисления его площади нам придется потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо,  как на следующих рисунках?

А площадь такого многоугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, можно легко посчитать, используя формулу Пика.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1.Исследование площадей многоугольников, изображенных

на клетчатой бумаге

Приведу несколько примеров из заданий ОГЭ на исследование площадей многоугольников.

Вывод: Таким образом, рассматривая задачи на нахождение площадей многоугольников,  изображенных на клетчатой бумаге, по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнивая результаты в таблицах, я показала справедливость формулы Пика и пришла к выводу, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле в геометрии.

Итак,  моя гипотеза оказалась верной.

2.2. Геометрические задачи с практическим содержанием

Формулу Пика можно применять для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача  1. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 3)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В +  - 1

В = 8,  Г = 7.      S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

Площадь одной клетки: 1 см² – 200² м²;  

S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Задача 2. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой  1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 4)

Решение. Найдём S площадь четырёхугольника,

изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В +  - 1

В = 7,  Г = 4.      S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

Площадь одной клетки: 1 см² – 200² м²;  

S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала, что задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге можно найти с помощью теоремы, которую в 1899 году доказал австрийский математик Георг Пик. Верность этой теоремы я проверила в практической части.

В результате своей  работы я расширила знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач, убедилась в их многообразии.  

Я научилась вычислять площади многоугольников, изображенных на клетчатом листке разными способами, что дало мне лучше подготовиться к ОГЭ.

До экзаменов еще есть время, и я хочу познакомить своих одноклассников с формулой Пика и провести практический эксперимент: решить задачи по нахождению площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге.  Класс разделить  на две группы. Учащиеся первой группы будут решать задачи по формулам геометрии, а учащиеся второй группы при решении будут использовать формулу Пика. Затем сравнить результаты и сделать выводы.

Занятия геометрией на клетчатой бумаге создают условия для успешного усвоения геометрического материала, включённого в программу по математике. Клетчатая бумага позволяет проводить многие геометрические построения, помогает лучше понять и изучить свойства фигур. Упражнения на клетчатой бумаге способствуют развитию интуиции, воображения, памяти, внимания.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., С.Б.Кадомцев и др.Геометрия. 7-9 классы:учебник для общеобразовательных организаций. – М.: Просвещение, 2015
2. Вавилов В.В., Устинов А.В. Многоугольники на решетках. – М.:  МЦНМО, 2006.
3. Википедия. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Пика
4. Жарковская Н.М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
5. Мтематические этюды. Режим доступа: https://etudes.ru/
6. Решу ЕГЭ. Режим доступа: https://math-ege.sdamgia.ru/test?filter=all&category_id=190
7. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. – М.: «Экзамен», 2015г
8. Ященко И.В. Сборник типовых экзаменационных вариантов ОГЭ по математике. 36 вариантов. – М.: Издательство «Национальное образование», 2021. – 224 с. – (ОГЭ, ФИПИ – школе).

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1.

Задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге по формуле Пика.

Задача 1. Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.1).

Решение. По формуле Пика: S = В +  - 1.

    В = 8,    Г = 6

S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

            Ответ: 10 см².

Задача 2. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.2)

Решение. По формуле Пика: S = В +  - 1.

  В = 6,     Г = 6

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)

Ответ: 8 см².

Задача 3. Найдите площадь треугольника АВС (рис.3)

Решение. По формуле Пика: S = В +  - 1 .

  В = 6,     Г = 5

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²). Ответ: 7,5 см².

Задача 4. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (рис. 4)

Решение. По формуле Пика: S = В +  - 1.

  В = 5,     Г = 7

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)

Ответ: 7,5 см².

Приложение 2.

Задачи – рисунки, для которых применима формула Пика. Сайт «Решу ЕГЭ»( № 27543 – 27671)

Найти площадь изображенного на рисунке многоугольника: