Решение задач с экономическим содержанием

Министерство образования и науки Республики Бурятия

МКУ «Комитет по образованию» АМО «Еравнинский район»

МБОУ «Ульдургинская средняя общеобразовательная школа имени Ц.Номтоева»

Районная НПК «Шаг в будущее»

Секция «Алгебра и математический анализ»

Тема:

«Решение задач с экономическим содержанием»

Выполнила: Буракова Валерия

ученица 11 класса Ульдургинской средней общеобразовательной школы имени Ц.Номтоева

Руководитель: Доржиева Долгор Сандаковна учитель математики.

2021год

Содержание

1. Ведение.                        
2. Основная часть

1. История возникновения гнущихся многоугольников - флегсагонов                                                  

2. Изготовление флексагонов. Виды флексагонов.

3. Флексагоны как средство математического моделирования

4.  Практические наработки изготовления флексагонов.

5. Применение флексагонов.

3. Заключение.

6. Список использованной литературы.

7. Приложения

Ведение

Все мы любим занимательную математику. Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений.  Я же хочу продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения. Впервые я узнала о гнущихся многоугольниках – флегсагонах от своей сестры Бураковой Дианы. Еще, когда училась в 10 классе, она выступала на районной НПК «Шаг в будущее» с темой «Флексагоны». Она в основном рассматривала плоские сгибаемые многоугольники – тетрафлексагоны. Меня заинтересовала это тема, я углубила ее, дополнительно изучила еще объемные сгибаемые многогранники.

Актуальность: 

Знакомство с  гнущимися многоугольниками позволит по – новому взглянуть на мир математики и внести разнообразие в привычные окружающие нас предметы быта и интерьера, а также способствует развитию пространственного воображения. Эти многоугольники не рассматриваются в школьном курсе, но они загадочны, увлекательны и имеют практическое применение.

Объект исследования: флексагоны - гнущиеся многоугольники

Предмет исследования: правила складывания флексагонов.

Цель работы: изучить мир флексагонов и показать, что головоломки бывают не только из дерева и железа - привычных для нас форм, но и из бумаги, которые мы можем сделать своими руками.

Задачи исследования:

•  познакомиться со специальной литературой, раскрыть содержание понятия «флексагон»;
•  создать модели простейших флексагонов;
•  выявить области применения флексагонов в жизни человека;

Методы исследования: сбор информации, анализ периодической и научной литературы, точные расчёты при построении, создание наглядных моделей.

Гипотеза. Флексагоны - это не просто игрушка или обычное оригами, а занимательная математика

 История возникновения флексагонов.

       Интересный факт: как и многие удивительные вещи в мире, флексагоны были открыты по чистой случайности. Придумать флексагоны помогло одно обстоятельство - различие в формате английских и американских блокнотов. Американский «официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм.

В конце 1939 года Артур Х. Стоун , двадцатитрехлетний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстонском университете (США),обрезая листы американского блокнота, решил немного развлечься. Он принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенно интересной. Перегнув полоску бумаги в трёх местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что, когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность.

   Если бы обе стороны исходного шестиугольника были разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Почувствовав, что за загадочной фигурой скрывается интересная математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Среди них были физик Ричард Фейнман, математик Брайан Таккерман и Джон Тьюки. Друзья назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от английского to flex – складываться, сгибаться, гнуться).

    Так что же это такое?!   Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а раннее скрываемые поверхности неожиданно выходят наружу.

Комитет обнаружил, что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей. Таккерман ухитрился даже изготовить действующую модель флексагона с 48 поверхностями! Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя поверхностями) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями)

Изготовление флексагона. Виды флексагонов.

Для образования названий того или иного флексагона применяется заимствованная из органической химии международная система, в основу которой, как известно, положены принципы теории химического строения А. М. Бутлерова. Впереди — числительное, показывающее, сколько плоскостей имеет данный флексагон. На втором месте — числительное, определяющее форму флексагона,

Тригексафлексагон

Первый построенный Стоуном  флексагон  был назван гексафлексагоном. Существует только одна его разновидность. Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделенной на десять равносторонних треугольников. (Приложение №1)

Гексафлексагон.

Гексафлексагон(Hexaflexagons):"гекса" из-за их шестиугольной формы (От греческого "гекс", что означает шесть.) Вторая не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона.

Гексагексафлексагон

Гексагексафлексагон очень интересен тем, что у него 6 поверхностей, наблюдать можно 12 различных картинок. (Приложение №2)

Унагексафлексагон.

        Этот простейший гексафлексагон представляет собой лист Мёбиуса с треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести треугольников поэтому его и можно назвать унагексафлексагоном, несмотря на то, что он не имеет шести сторон и не складывается.

(Приложение №3)

Дуогексафлексагон.

      Дуогексафлексагон – обыкновенный плоский шестиугольник,

вырезанный из бумаги (или другого материала). Он, не складывается и особого интереса не представляет.(Приложение №4)

Тетрагексафлексагон

Также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски.

Пентагексафлексагон

Единственную разновидность этого флексагона складывают из и-образной полоски бумаги .

Гептагексафлексагон.

Таких флексагонов существует четыре типа. Один из них складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмерки.Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал «Флексагонными улицами»: их поверхности можно пронумеровать так, чтобы на «пути Таккермана» они встречались по порядку номеров, как дома на улице.

Плоские сгибаемые многоугольники

 Тетрафлексагоны

        Простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными поверхностями) — тритетрафлексагон, имеющий три поверхности. В любой момент видимыми являются лишь две из трёх поверхностей. Более сложные гексатетрафлексагон и декатетрафлексагон собираются из крестообразной развёртки без использования клея. Тетрафлексагоны с числом плоскостей 4n + 2 также можно изготавливать из квадратных рамок. Из зигзагообразных полосок бумаги можно изготовить тетратетрафлексагон .Простейший тетрафлексагон имеет три поверхности. Более интересен гексатетрафлексагон, который можно сгибать вдоль двух взаимно перпендикулярных осей (Приложение №5)

 Объёмные сгибаемые многогранники

Кольцевые флексагоны

Кольцевой флексагон (Флексор) представляет собой семейство изгибаемых многогранников, собранный из «кольца» многоугольников. Кольцевые флексагоны представляют собой кольцо, сделанное из трех квадратов, разлинованных на треугольники. Затем загибаем с каждой стороны по треугольнику, и получаем игрушку, которая сворачивается по кругу, меняя расцветку. (Приложение №6)

Флексагоны как средство математического моделирования

Флексагоны как средство математического моделирования имеют следующие отличительные черты:

1)  Экономичность: для изготовления флексагонов нужны бумага, клей, ножницы и эталоны форм.

2)  Доступность: при минимальной помощи взрослого ребенок не только находит скрытые поверхности флексагона, но и моделирует флексагоны по готовой развертке.

3)  Развитие: флексагоны способствуют развитию мелкой моторики, пространственного воображения, памяти, внимания, терпения; при специально продуманной раскраске активизируют формирование различных представлений.

Применение флексагонов.

    В форме флексагона изготавливаются календари, открытки, предметы интерьера или просто развивающие игрушки , механизмы двойного шарнирного соединения на дверной петле ,используются в телефонах, планшетах, креплениях для настенных предметов, в деталях мебели. Флексагоны используют в качестве рекламных стендов, которые своим необычным эффектом привлекают к себе внимание.

Изучив флексагоны и флексоры, я  убедилась, что их можно использовать не только как интересные геометрические головоломки, но и найти им много других применений:

• Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники приклеиваются фотографии (например, друзей). Такой фоторамке не требуется специальная подставка.
• Флексагоны и флексоры можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки.
• Флексоры и простейшие флексагоны, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги, можно использовать в качестве елочных украшений или обычного оформления праздника.

Как сделать открытку

Работаем по следующей схеме:

     Понадобятся: лист бумаги, ножницы, клей для бумаги и разные картинки (можно их нарисовать).
1. Из прямоугольного листа вырезаем два квадрата, которые затем делим пополам.

Получилось 4 прямоугольника.

2. На основе отгибаем края с двух сторон (если их сложить получается квадрат). (рис.1).      

3. Берём два прямоугольника, прикладываем, друг к другу, получается квадрат,
внешние углы промазываем клеем. (рис. 2).

4. Другие прямоугольники приклеиваем в шахматном порядке внешними углами так,
чтобы на стыке внутри не было наложения и зазоров. (рис. 3).

 рис. 1          рис. 2    рис. 3

 5. Украшаем открытку разными рисунками или вклеиваем картинки. (можно предварительно приклеить прямоугольники для фона картинки или наклейки).

Картинки

  квадрат 6.5 х 6.5 см - 8 шт ,

   прямоугольник 3 х 6.5 см - 8 шт ,

   квадрат 3 х 3 см - 8 шт.  

Схема приклеивания картинок

Заключение

          Работа над флексагонами  расширила мои знания в математике. Я познакомилась с ранее незнакомым мне видом флексагонов, увидела математику с совершенно другой неизвестной, но занимательной стороны. Сама наглядно увидела, как работают флексагоны.

         Подводя итог своей работе, отмечу, что поставленные цели и задачи были выполнены. Проведен анализ имеющейся информации о флексагонах. Найдены примеры практического применения флексагонов.        Рассмотрела возможности применения флексагонов – как игрушка, как открытка.  

 Хочется отметить, что большого распространения данные фигуры не имеют, тем не менее, широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, техника.

         В мире существует много неоткрытых поразительных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами.

 Флексагоны, хотя и были открыты в первой половине XX века, но до сих пор остаются загадкой, познание которой доставляет много радости и при этом развивает мышление.

      В мире существует много неоткрытых загадочных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами.

     Работа по исследованию флексагона   будет продолжена. В данной работе мною были рассмотрены некоторые виды флексагонов, а их очень много.  Я смогла создать лишь несколько моделей флексагонов. В будущем хочу продолжить работу по изучению других видов флексагонов:

Литература

Афонькин С. Игры и фокусы с бумагой / С. Афонькин, Е. Афонькина. — М.: Рольф, АКИМ, 1999. — С. 12–67.

Михайлова З.А. Игровые занимательные задачи для дошкольников. — М.: Просвещение, 1990.

Никитин Б.П. Ступеньки творчества или развивающие игры. — М.: Просвещение, 1991.

Оригами и педагогика: Материалы первой Всероссийской конференции преподавателей оригами. — СПб., 1996.

http://book.tr200.net/v.php?id=61285">Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения.

http://models-paper.com/index.php?option=com_kunena&Itemid=11&func=view&catid=30&id=222

http://usamodelkina.ru/soveti/page,6,39-bumaga-vse-sterpit.html

http://frg-64.ucoz.ru/publ/modelirovanie_fleksagony/1-1-0-4