ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПРОЕКТ «УРАВНЕНИЯ В ЗАДАНИЯХ ОГЭ»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Танзыбейская средняя школа»

ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ ПРОЕКТ

«УРАВНЕНИЯ В ЗАДАНИЯХ ОГЭ»

Выполнил:

Мирзоев Самир,

ученик 9 класса

Руководитель:

Кильдибекова

 Антонина Михайловна,

учитель математики

п. Танзыбей, 2023 г.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

Моим любимым учебным предметом всегда была математика. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. Итоговой аттестацией  по математике является выпускной экзамен в форме ОГЭ. В контрольно-измерительных материалах есть задания, которые сводятся к решению уравнений.Таким образом, возникает необходимость изучения всех видов уравнений, которые встречаются в заданиях ОГЭ.  Мне стало интересно:  

- Какие виды уравнений встречаются в заданиях ОГЭ?

-Какие существуют методы решения данных уравнений?

Проблема: выпускники 9 класса хотели бы получить высокий балл по математике, но испытывают трудности в решении заданий, содержащих уравнения.

Цель:определение основных методов решения уравнений, представленных в заданиях ОГЭ в первой и второй части и проведение факультатива для одноклассников.

Для реализации цели нами поставлены следующие задачи:

1. Изучить теоретические подходы к решению уравнений разных видов.

2.Составить подборку уравнений разных видов, встречающихся в заданиях ОГЭ по математике.

3. Провести факультатив по применению способов решения уравнений различных видов для учащихся 9 класса.

4. Сделать выводы и обобщения.

Объект исследования: математическиеуравнения.

Предмет исследования: математические уравнения в заданиях ОГЭ.

Период реализации проекта: ноябрь 2022 г - март 2023г.

Проектный продукт: презентация «Уравнения в заданиях ОГЭ».

Методы проекта:

• анализ и синтез
• моделирование
• обобщение

Этапы разработки учебного проекта:

1. Подготовительный этап (Определение темы, проблемы, цели, задач проекта).
2. Основной этап (работа с литературой, составление презентации, проведения факультатива по подготовке к сдаче ОГЭ ).
3. Заключительный этап (оформление результатов, защита проекта, рефлексия).

План действий по реализации проекта

Глава 1. Понятие «уравнение», их виды и способы решения.

1. Понятие «уравнение»

Существуют уравнение в правах, уравнение времени, химические уравнения, уравнения как модели в других науках.

Уравнение– это математическое равенство, содержащее одну или несколько неизвестных величин и сохраняющее свою силу только при определенных значениях этих неизвестных величин.

В уравнениях с одной переменной  неизвестное обычно обозначают буквой «х».Значение «х», удовлетворяющее данным условиям, называют корнем уравнения.

Уравнения бывают разных видов:

- Линейное уравнение: ax + b = 0.
- Квадратное уравнение: ax2 + bx + c = 0.
- Биквадратное уравнение: ax4 + bx2 + c = 0.

– Рациональное уравнение:  

– Иррациональное уравнение:
Существуют такие способы решения уравнений как: алгебраический, арифметический и геометрический. Рассмотрим алгебраический способ.

Решить уравнение - это найти такие значения переменной, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное равенство или доказать, что решений нет. В уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходное выражение. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть выражения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

2.  Решение линейных уравнений.

Уравнение вида  называется линейным уравнением или уравнением первой степени так как при переменной «х» старшая степень находится в первой степени.

Решение линейного уравнения очень простое:

Пример 1. Решите уравнение 3x+3=5x

Линейное уравнение решается методом переноса членов содержащих неизвестные в левую часть от знака равенства, свободные коэффициенты в правую часть от знака равенства:

3x – 5x = – 3

-2x=-3

х = -3: (-2)

x=1,5

Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство называется корнем уравнения.

Выполнив проверку получим:

Значит 1,5 – корень уравнения.

Ответ: 1,5.

Решения уравнений методом  переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, при этом знак слагаемых меняется на противоположный и применяют свойства уравнений – обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение.

Пример 2. Решите уравнение:

 4(x−8)=− 5.

 В данном уравнении необходимо раскрыть скобки, применяя распределительное свойство умножения относительно операции сложения.

Ответ: 6,75.

1.3. Квадратные уравнения

Уравнение вида  называют квадратным уравнением, где a – старший коэффициент, b – средний коэффициент, с – свободный член.

В зависимости от коэффициентов а, b и с – уравнение может быть, полным или не полным, приведенным или не приведенным.

1.3.1 Неполные квадратные уравнения

Рассмотрим способы решения неполных квадратных уравнений:

1) Неполные квадратные уравнения вида a·x2+b·x=0 позволяет решить метод разложения на множители. В частности метод вынесения за скобки.Это позволяет перейти от исходного неполного квадратного уравнения к равносильному уравнению вида: x·(a·x+b)=0.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x=0 или a·x+b=0, последнее из которых является линейным и имеет корень x=−.

Итак, неполное квадратное уравнение a·x2+b·x=0 имеет два корня 

x=0 и x=−.

2) Неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b = 0, а c≠0, то есть, уравнения вида a·x2+c=0. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также деление обеих частей уравнения на отличное от нуля число дают равносильное уравнение:

- перенести c в правую часть, что дает уравнение a·x2=−c,

-  разделить обе его части на a, получаем .

Полученное уравнение позволяет сделать выводы о его корнях.

Если число  – отрицательное, то уравнение  не имеет корней, та как квадрат любого числа есть число неотрицательное.

Если же   – положительное число, то корень уравнения есть, им является число. Корень уравнения вычисляется по схеме:

Подстановка в уравнение вместо x его корней обращает уравнение в верное равенство. Неполное квадратное уравнение  a·x2+c=0 равносильно уравнению , которое

• не имеет корней, если ,
• имеет два корня, если .

3) Решения неполных квадратных уравнений, в которых коэффициенты b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида a·x2=0. Уравнению a·x2=0 следует  x2=0, которое получается изисходного делением его обеих частей на отличное от нуля число a. Корнем уравнения x2=0 является нуль, так как02=0. Неполное квадратное уравнение a·x2=0 имеет единственный корень x=0.

Пример 3.Решите уравнения: а) x2=5x, если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них;  

б) , если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите больший из них;      

в) x2 −9=0, если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите меньший из них.

Решение.

a)

 получили неполное квадратное уравнение к котором отсутствует свободный член. Решаем методом вынесения за скобки.

Уравнение умеет два корня, меньшее из которых является 0.

Ответ: 0.

б) . Применяем метод вынесения за скобки

.

В ответе необходимо указать больший из корней. Таковым является число 2.

Ответ: 2.

в) . Данное уравнение является неполным квадратным уравнением, у которого отсутствует средний коэффициент.

Меньшим из данных корней является число – 3.

Ответ: –3.

1.3.2Полные квадратные уравнения.

1. Дискриминант, основная формула корней квадратного уравнения

Для решения квадратных уравнений вида  существуют формула корней.

Запишем формулу корней квадратного уравнения пошагово:

1)  D=b2−4·a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

а) если D<0, то уравнение не имеет действительных корней;

б) если D>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D<0, то уравнение не имеет два корня:

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Чтобы решить квадратное уравнение a·x2+b·x+c=0, надо:

• по формуле дискриминанта D=b2−4·a·c вычислить его значение;
• заключить, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицательный;
• вычислить единственный корень уравнения по формуле , если D=0;
• найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней , если дискриминант положительный.

2. Дискриминант, вторая формула корней квадратного уравнения (при четном втором коэффициенте).

Для решения квадратных уравнений вида , при четном коэффициенте b=2k существуют другая формула.

Запишем новую формулу корней квадратного уравнения при :

1)  D’=k2−a·c – так называемый дискриминант квадратного уравнения.

а) если D’<0, то уравнение не имеет действительных корней;

б) если D’>0, то уравнение не имеет один корень:

в) если D’<0, то уравнение не имеет два корня:

Пример 4. Решите уравнение 2x2 −3x+1=0.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение. В первом случае имеем следующие коэффициенты квадратного уравнения: a=2,b=-3 и c=1. Согласно алгоритму, сначала надо вычислить дискриминант D=b2−4·a·c=(-3)2−4·2·1=9-8=1. Так как 1>0, то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней 

У нас получилось два корня больший из которых является число 1.

Ответ: 1.

Пример 5. Решите уравнение x2 −21=4x.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение. По аналогии с предыдущим примером перенесем 4х в левую сторону от знака равенства  и получим:

Вычислим дискриминант D=b2−a·c=(-2)2−1·(−21)=4+21=25. Число 25>0, то есть, дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле корней 

Ответ: 7.

1.3.3  Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

Теорема: Пусть  - корни приведенного квадратного уравнения

. Тогда произведение корней равна свободному члену, а сумма корней противоположному значению второго коэффициента:

Пример 6. а) Решите уравнение x2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

б) Решите уравнение x2 +7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение.

а) Решите уравнение x2 −6x+5=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

. Выбираем меньший из корней

Ответ: 1

б) Решите уравнение x2 +7x+10=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Применяя теорему Виета, записываем формулы для корней

. Выбираем больший из корней.

Глава 2. Практическая часть

2.1. Составление презентации.

Изучив информацию о линейных и квадратных из разных источников, я составил  презентацию к факультативу по плану:

1. Понятие «уравнение» в математике.

2. Линейные уравнения.

3. Неполные квадратные уравнения.

4. Полные квадратные уравнения и способы их решения.

2.2. Проведение факультативного занятия

Свою презентацию я представил на факультативе по математике в 9 классе 20 января 2023 года. На факультативе «Систематизация знаний по математике» присутствовало 13 человек. В ходе проведения факультатива я участвовал разных видах деятельности:

- представил сообщение об уравнениях в математике;

- создал проблемную ситуацию, предложив задания КИМа;

- организовал опрос учащихся;

- оценивал ответы своих одноклассников.

В заключение факультатива ребята строили суждения на проблемный вопрос:

- Почему решение уравнений способствуют успешной сдаче выпускного экзамена за курс основной школы?

Мои одноклассники были очень активны на факультативе и с интересом решали уравнения из первой и второй части вариантов ОГЭ: А9, А13, А20.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В проект включены: линейные уравнения с переносом слагаемых из одной части уравнения в другую и с применением свойства уравнений, виды квадратных уравнений и методы их решения. Эти знания могут подготовиться мне к предстоящим экзаменам.

В ходе выполнения проекта я проанализировал содержание КИМа по математике для учащихся 9 класса и пришёл к выводу, что умение применять методы решения уравнений понадобятся при выполнении заданий А9, А13, А20.

Проведенный мною факультатив по математике в 9 классе помог мне поверить в свои силы и увидеть поддержку моих одноклассников.

Презентация «Уравнения в заданиях ОГЭ» позволяет рассмотреть все виды уравнений в заданиях основного государственного экзамена по математике.

Список использованной литературы:

1. Б.В. Гнеденко «Математика в современном мире». Москва «Просвещение»  1980 г.

2. Я.И. Перельман «Занимательная алгебра». Москва «Наука» 1978 г.

3. www.wikipedia.ru

4. www.proshkolu.ru.

5. www.1september.ru

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7.http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

9. https://oge.sdamgia.ru

Приложение 1.

Линейные уравнения.

1. Найдите корень уравнения 

Приложение 2.

Неполные квадратные уравнения.

1. Решите уравнение x2=5x.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

2. Решите уравнение 5x2=35x.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

3. Решите уравнение 3x2 −9x=0.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

4. Решите уравнение x2 −121=0.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

5. Решите уравнение x2 −36=0.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

6. Решите уравнение x2 −9=0.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

7. Решите уравнение x2 −144=0.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Приложение 3.

Полные квадратные уравнения.

1. Решите уравнение x2 +3x=10.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

2. Решите уравнение x2 +7x=18.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

3. Решите уравнение x2 −15=2x.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший  из корней.

4. Решите уравнение x2 +10=7x.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

5. Решите уравнение 2x2 +5x−7=0.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

6. Решите уравнение 5x2 −12x+7=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

7. Решите уравнение x2 −10x+21=0.Если уравнение имеет более одного корня, в

8. Решите уравнение (x−2)(− x−1)=0.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

9. Решите уравнение (x−6)(4x−6)=0.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

10. Решите уравнение (x−6)(− 5x−9)=0.Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Приложение 4.

Проведение факультатива по математике в 9 классе.