КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«КАМЧАТСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»

Специальность: 13.02.03 Электрические станции сети и системы

Индивидуальный проект

ТЕМА: «Числа Фибоначчи»

Выполнил:

Буковский Дмитрий Александрович,

очная форма обучения, группа «Э-122»

Руководитель:

Штробель Виктория Викторовна,

преподаватель математики

г. Вилючинск

2023

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        

Глава 1. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И СВОЙСТВА ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ        

1.1. Биография Леонардо Пизанского        

1.2. История ряда Фибоначчи        

1.3. Числа Фибоначчи и их свойства        

Глава 2. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ ИЗАКОНОМЕРНОСТИ………….………10

2.1. Золотое сечение ……………………………………………………………….10

2.2. Спираль Фибоначчи        12

2.3. Золотой прямоугольник        

Глава 3. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ ВОКРУГ НАС        

3.1. Числа Фибоначчи и человек …………………………………………….........16

3.2. Числа Фибоначчи и музыка        8

3.3. Числа Фибоначчи и искусство ……………..………………………………...20

3.4. Числа Фибоначчи и природа …………………………………………………21

3.5. Мифы про числа Фибоначчи        24

Глава 4. ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ…..…

4.1. Задача про кроликов        

4.2. Задача о прыгуне …….………………………………………………………..27

4.3.Задача с карточками …..……………………………………………………….27

Глава 5. ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ РАБОТА……………………………………30

5.1. Анкетирование группы……………………………………………………..…30

5.2. Обработка результатов………………………………………………………...31

5.3. Выступление с докладом…………………………………………………..….32

5.4. Опрос по теме после выступления с докладом о числах Фибоначчи……...32

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………….35

ВВЕДЕНИЕ

Задумывались ли вы когда-нибудь, как связаны между собой математика, и вся окружающая нас живая и неживая природа? Оказывается, все закономерности явлений нашей природы, многообразие форм живых организмов и растений нашей природы, удивляющие нас своей красотой и гармонией – всё это можно объяснить с помощью математики. Одним из самых замечательных вариантов взаимосвязи математики и природы является последовательность чисел Фибоначчи.

Тема чисел Фибоначчи очень обширна, так как включает в себя золото сечение, отношения которого считается «числом бога».

Сам же ученый, в честь которого названа эта строка чисел: Фибоначчи, с огромным вкладом в развитие науки прошлого.

Сами числа Фибоначчи важны в первую очередь из-за того, что они помогают увидеть закономерности в нашем мире и то, как наше чувство симметрии и красоты связанно с математикой. Следовательно, этот простой ряд чисел помогает нам познать окружающий мир во всем его многообразии и это, если задуматься, поразительно. Удивительно, но если хорошо подумать, то оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи. Ряд чисел Фибоначчи на первый взгляд не понятен никому. Вот так он выглядит: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

Актуальность выбранной темы заключается в том, что числа Фибоначчи и их закономерности отражаются во всех творениях природы и имеют большой практический и теоретический интерес во многих науках.

Предмет исследования: ряд чисел Фибоначчи.

Цель: сформировать понятие ряда чисел Фибоначчи и связанных с ним закономерностей, исследовать его широкую значимость в окружающем нас мире.

Задачи:

1. изучить исторические сведения ряда чисел Фибоначчи и их свойства;
2. изучить закономерности: золотое сечение, спираль Фибоначчи, золотой прямоугольник;
3. рассмотреть математические закономерности в строении человека, науках и природе;
4. привести примеры задач связанные с числами Фибоначчи;
5. провести диагностику среди студентов о знаниях чисел Фибоначчи.

        Новизна проекта: открытие чисел Фибоначчи в окружающем нас действительности.

        Практическая значимость: использование приобретенных знаний и навыков при изучении других дисциплин, осознание вездесущности математических законов.

Глава 1. ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И

СВОЙСТВА ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ

1.1. Биография Леонардо Пизанского

Леонардо Пизанский (ок. 1170 – ок. 1250) – первый крупный математик средневековой Европы. Получил известность под прозвищем Фибоначчи. О жизни Фибоначчи мало, что известно. Никто не знает его точную дату рождения и смерти поэтому все даты примерны и не точны. Фибоначчи появился на свет ок. 1170 года в городе Пиза. Его отец, Гильермо, зарабатывал на жизнь торговым промыслом. Когда в 1192 г. ему доверили представлять пизанскую торговую колонию в Северной Африке, он часто бывал в разных странах.

Желая, чтобы сын пошел по его стопам, отец позвал Фибоначчи в Алжир. В этой стране юноша обучался математике у арабских преподавателей. Он ознакомился с достижениями греческих и индийских математиков, после чего вернулся домой.

Приехав в Пизу Фибоначчи приступил к написанию «Книги абака», которая считается его главным наследием. В ней автор излагал и популяризировал десятичную арифметику, которая была ему хорошо знакома по ряду арабских трудов.

Важно отметить, что «Книга абака» была написана ясным языком и рассчитана для тех, кому требовались практические подсчеты – первоначально для торговцев. Этот труд, благодаря простому и глубокому изложению, превосходил все античные и арабские прототипы.

По этой причине книга считалась непревзойденной, почти до времен Декарта, жившего в 17 веке. Обладая большими знаниями, которые он получил от арабских учителей, Фибоначчи написал множество математических трактатов, которые представляли огромную ценность для западноевропейской науки той эпохи.

Ведь благодаря книге Фибоначчи, в Европе началось распространение позиционной системы исчисления, которая была гораздо удобнее, нежели римская. Автор доходчиво обосновывал практичность употребления арабских чисел, наряду с другими системами вычислений. К слову, почти каждое свое утверждение он сопровождал веским доказательством.

Интересен факт, что «Книга абака» обратила на себя пристальное внимание самого императора Фридриха II. Правитель Римской империи пригласил Фибоначчи к себе на прием, на котором математику задавали разные вопросы и задачи его придворные.

В последующие годы биографии Фибоначчи пользовался большим уважением и покровительством Фридриха. В 1220 г. он издал книгу «Практика геометрии», в которой были представлены ряд теорем с доказательствами, касающихся измерительных методов.

Спустя 5 лет свет увидел очередной научный труд ученого «Цветок». На этот раз Фибоначчи занимался изучением кубических уравнений. Тогда же он опубликовал еще одну значимую работу – «Книга квадратов». В ней содержалось множество задач в области неопределенных квадратных уравнений. Математик искал числа, которые, будучи добавленными к квадратному числу, снова дадут квадратное число. В 1240 г. он удостоился пенсии за заслуги перед городом. За годы биографии Фибоначчи часто принимал участие в разных математических соревнованиях.

Любопытно, что в своих книгах ученый нередко представлял самые различные виды задач, а также решения к ним с подробными пояснениями. Позднее эти задачи будут печататься во многих учебниках, и пересказываться из уст в уста. Отдельного внимания заслуживают– «Числа Фибоначчи».

1.2. История ряда Фибоначчи

Фибоначчи изучал математику и во время обширных путешествий познакомился с индийско-арабской системой счисления. Оттуда математик и узнал о числовой последовательности, которую в древней Индии использовали в стихосложении.

Названа последовательность в честь итальянца, потому что именно он представил ее европейскому обществу в труде «Книга абака».

Числа Фибоначчи – это ряд, состоящий из целых чисел. Их особенность заключается в том, что каждый элемент представляет собой сумму двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи начинается с 0 и 1. Продолжить ряд легко: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так до бесконечности.

Математик обратил внимание на числовую последовательность, когда думал о разведении кроликов.

Задача была поставлена следующим образом: «Если новорожденную пару кроликов, самца и самку, поместить в поле, то, сколько пар кроликов будет через год?». Но как известно, ни одну практическую задачу невозможно решить без некоторых ограничений и предположений. Поэтому, к условию задачи добавились следующие допущения:

• кролики не умирают;
• кролики достигают половой зрелости за один месяц;
• срок беременности у кроликов – один месяц;
• достигнув половой зрелости, кролики-самки рожают ежемесячно кролика-самца и кролика-самку.

С точки зрения математики – это красивая последовательность. Но больший интерес для исследователей представляет не сам ряд, а частное соседних чисел, равное, примерно 1,618 для всех элементов ряда. Эта пропорция больше известна как золотое сечение.

1.3. Числа Фибоначчи и их свойства

Последовательность ряда чисел Фибоначчи выглядит так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393,196418, 317811, 514229, 832040… и так далее.

Свойства чисел ряда Фибоначчи:

1. Сумма n первых чисел Фибоначчи:

 F1+F2+F3+…+Fn=Fn-2-1

2. Сумма чисел Фибоначчи с нечётными номерами:

 F1+F3+F5+…+F2n-1=F2n

3. Сумма чисел Фибоначчи с чётными номерами:

 F2+F4+…+F2n=F2n-1-1

4. Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи:

F12+F22+F32+…+Fn2=Fn Fn+1

Формулы 1–4 можно доказать при помощи сложения очевидных равенств. Рассмотрим несколько свойств чисел Фибоначчи, которые можно доказать, используя метод математической индукции.

5. Fn+m=Fn-1 Fm+Fn Fm+1
6. F2n+F2n+1=F2n+1
7. F1F2+F1F3+…+F2n-1 F2n=F22n
8. F1+2F2+3F3+…nFn=nFn+2–Fn+3+2

Рассмотрим свойства чисел Фибоначчи, связанные с делимостью.

9. Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов.

Следствия:

9.1. Fn делится на Fm тогда и только тогда, когда n делится на m (за исключением m = 2).

2. Fn делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только при n*k = 3 .

9.3. Fn делится на F4 = 3 только при n*k = 4

9.4. Fn делится на F5 = 5 только при n*k = 5

9.5. Fn делится на 7, если его номер делится на 8

9.6.Fn делится на 16, если его номер делится на 12

10. Fn является простым только для простых n(исключение n = 4)

11. Два соседних числа ряда Фибоначчи являются взаимно простыми

И ещё несколько любопытных свойств чисел Фибоначчи:

12. Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

13. Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5 4 2 N + или 5 4 2 N − является квадратом некоторого числа.

14. В 1964 году Дж. Кон доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 1, 2, 12:.

15. Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

16. Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи.

Глава 2. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ЗАКОНОМЕРНОСТИ

2.1. Золотое сечение

Учение о золотом сечении возникло в результате скрупулёзного изучения природы чисел. Первые письменные свидетельства о золотом сечении приводятся в “Началах” Эвклида (3 ст. до н.э.). Но существуют и факты, которые свидетельствуют о том, что о золотой пропорции знали и задолго до Пифагора.

На протяжении многих столетий после Эвклида о делении отрезка в крайнем и среднем отношениях никто не вспоминал. Средневековые европейские ученые узнали о золотом сечении только из арабских переводов “Начал”.

Это соотношение можно найти в предметах, которые нас отгружают: гармония в гранях снежинок, в расположении лепестков цветов, ячеек ананаса, завитки раковин у улитки – все подчиняется правилу золотого сечения. Даже строение нашего тела гармонично: если измерить наш рост и разделить на расстояние от пояса до ступней или длину руки на расстояние от локтя до кончиков пальцев, получится известное нам соотношение 1,618.

Золотое сечение (рис.1) (золотая пропорция, гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении) — соотношение числовых величин в математике и искусстве: отношение суммы двух величин к большей из них равно отношению большей величины к меньшей.

 рис.1

Золотое сечение (отношение) - приблизительно равное 1.6180339887. Обозначают буквой греческого алфавита φ.

У прямоугольника, построенного по этому правилу, меньшая сторона будет 1, а большая — 1,618. Линия горизонта будет располагаться не посередине работы, а чуть выше. В процентном значении части будут относиться друг к другу как 62% на 38%.

Изученная ещё в работах математиков и философов Древней Греции, формула золотого сечения снова стала властвовать над умами творцов в период Возрождения. Этому есть объяснение – закончилось время, которое мы сегодня знаем как Средние века: мышление человека перешло из плоскости мистического в рациональное. Всё можно объяснить математически, научно и даже зыбкое понятие прекрасного разложить на составляющие – в этом были уверены передовые художники Возрождения.

В то время теорию золотого сечения выразил монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» (1509), иллюстрации к которой создал Леонардо да Винчи. Пачоли видел в золотом сечении божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой – Отца, а целое – Святой дух.

Древние египтяне явно владели знаниями о правиле золотого сечения (которое тогда так ещё, конечно, не называлось) – об этом свидетельствует пирамида Хеопса, возраст которой оценивается примерно в 4500 лет. Соотношение высоты пирамиды Хеопса к основанию равняется 14/22, что очень близко к каноническому соотношению.

Древнегреческий Парфенон – памятник античной архитектуры, расположенный на афинском Акрополе, также был построен в соответствии с этим принципом. Отношение высоты к ширине фасада храма приближается к числу 0,618. Те же соотношения прослеживаются в древнеримских арках и акведуках, их замечают в сводах Сикстинской капеллы.

Принципы золотого сечения его адепты отмечают в природе: в рисунке раковин моллюсков, в расположении лепестков в цветке, семян подсолнечника, в узорах паутины и в форме куриного яйца.

2.2. Спираль Фибоначчи

Прямоугольник с шириной и высотой, равными соседним числам последовательности, представляют собой так называемый "Золотой прямоугольник", идеальный прямоугольник. Золотой прямоугольник можно разбить на более мелкие, с размерами, которые соответствуют соседним числам Фибоначчи. Если мы возьмем этот золотой прямоугольник и разобьем его на более мелкие в соответствии с последовательностью Фибоначчи и разделим каждый из них, то система начнет приобретать некоторую форму - мы увидим так называемую "Спираль Фибоначчи" (рис.2).

 рис.2

Это почти, но не совсем "золотое сечение". В чем же разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи? Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствует Первоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с “нуля”.

Одним из удивительнейших свойств спирали Фибоначчи – это то, что её можно часто заметить в живой природе, например, в расположении семян подсолнуха. Расположение семян подсолнуха так же являются примером двойной спирали Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая - в другую. Если посчитать число чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегда два последовательных числа ряда Фибоначчи. Число этих спиралей 8 и 13. В подсолнухах встречаются пары спиралей: 13 и 21, 21 и 34, 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар не бывает.

Но почему в Природе именно этот ряд играет решающую роль? На этот вопрос может дать исчерпывающий ответ концепция тройственности, определяющая условия ее самосохранения. При нарушении «баланса интересов» триады одним из ее «партнеров», «мнения» двух других «партнеров» должны быть скорректированы. Особенно наглядно концепция тройственности проявляется в физике, где из кварков построили «почти» все элементарные частицы. Если вспомнить, что отношения дробных зарядов кварковых частиц составляют ряд, а это и есть первые члены ряда Фибоначчи, которые необходимы для формирования других элементарных частиц. Возможно, что спираль Фибоначчи может играть решающую роль и в формировании закономерности ограниченности и замкнутости иерархических пространств. Действительно, представим, что на каком-то этапе эволюции спираль Фибоначчи достигла совершенства (она стала неотличима от спирали золотого сечения) и по этой причине частица должна трансформироваться в следующую «категорию». Эти факты еще раз подтверждают, что закон о двойственности дает не только качественные, но и количественные результаты. Они заставляют задуматься о том, что окружающий нас Макромир и Микромир эволюционирует по одним и тем же законам – законам иерархии, и что эти законы едины для живой и для неживой материи.

Все это свидетельствует о том, что ряд чисел Фибоначчи представляет собой некий зашифрованный закон природы.

Цифровой код развития цивилизации можно определить с помощью различных методов в нумерологии. Например, с помощью приведения сложных чисел к однозначным (например, 15 есть 1+5=6 и т.д.). Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, Михайлов получил следующий ряд этих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, затем все повторяется 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8,… и повторяется вновь и вновь... Этот ряд также обладает свойствами ряда Фибоначчи, каждый бесконечно последующий член равен сумме предыдущих. Например, сумма 13-го и 14-го членов равна 15, т.е. 8 и 8=16, 16=1+6=7. Оказывается, что этот ряд периодичный, с периодом в 24 члена, после чего, весь порядок цифр повторяется. Получив этот период, Михайлов выдвинул интересное предположение - не является ли набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации?

Так же стоит заменить что, носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам Фибоначчи. Еще И. Гёте подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Напуганная стая северных оленей бежит по спирали. Молекула ДНК закручена по двойной спирали. Гете называл спираль "кривой жизни".

2.3. Золотой прямоугольник

Золотой прямоугольник (рис.3) – это прямоугольник, длины сторон которого находятся в золотой пропорции, или 1:φ (греческая буква фи), где φ примерно равно 1,618.

рис.3

Все свои расчёты и чертежи, знаменитые дизайнеры, художники, модельеры делают исходя из принципа соотношения золотого сечения.

Золотое сечение очень широко используется в геометрии.

Есть одно замечательное свойство "золотого прямоугольника" - если от него отрезать квадрат, то оставшаяся часть будет опять «золотым» прямоугольником, только меньшего размера.

Если поделить произвольный отрезок на две части так, чтобы отношение большей части отрезка к целому равнялось отношению меньшей части к большей, получим сечение, которое называется золотым.

Отношение большей части отрезка к меньшей и отношение всей ее длины к большей ее части равно приблизительно 1,618... Обратная величина –отношение меньшей части отрезка к большей и отношение большей части ко всему отрезку составляет приблизительно 0,618... Числа 0,618... И 1,618... Получили название «золотых» чисел.

Прямоугольник золотого сечения выглядит пропорционально и приятный на вид. Поэтому многим предметам обихода часто придается именно такая форма (книги, коробки для спичек, чемоданы и т.д.).

Глава 3. ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ ВОКРУГ НАС

3.1. Числа Фибоначчи и человек

Около двух веков идея применения золотой пропорции в исследовании человеческого тела была предана забвению, и лишь в середине XIX века немецкий ученый Адольф Цейзинг вновь обратился к ней. Он находил, что все тело человека в целом, и каждый отдельный его член связаны математически строгой системой пропорциональных отношений, среди которых золотое сечение занимает важнейшее место (рис.4). Измерив тысячи человеческих тел, он установил, что золотая пропорция есть среднестатистическая величина, характерная для всех хорошо развитых тел.

Он нашел, что средняя пропорция мужского тела близка к 13/8 = 1,625, а женского — к 8/5 = 1,60. Пропорции тела мужчин и женщин отклоняются в разные стороны от золотой пропорции – иррациональной предельной величины, равной 1,618..., в чем выражается, очевидно, геометрическое различие в половой анатомии мужчин и женщин. 

рис.4

Кроме этого есть и ещё несколько основных золотых пропорций нашего тела:

• расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618;
• расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;
• расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;
• расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;
• расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;
• расстояние от кончика подбородка до верхней линии брове        й и от верхней линии бровей до макушки равно1:1.618 (рис.5).

 рис.5

        Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения.

        Каждый палец нашей руки состоит из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух фаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2,3, 5 и 8 есть числа ряда Фибоначчи.

        В строение черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к форме золотого сечения. Однако точные соответствия золотого сечения по мнению ученых существуют только у людей с совершенной красотой.

        К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение зубов идеально.

        На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения:

• высота лица и ширина лица;
• центральная точка соединения губ до основания носа и длина носа;
• ширина рта и ширина носа;
• ширина носа и расстояние между ноздрями;
• расстояние между зрачками и расстояние между бровями.

        Если рассматривать внутренние органы человека, то американский физик Б.Д. Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер установили, что и там также существует золотое сечение.

3.2. Числа Фибоначчи и музыка

Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято искусствоведом Л. Сабанеевым. Еще в 1925 году он, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на Части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения. Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений.

Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Э.К. Розенов впервые применил закон «золотого сечения» в музыке Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» И.С. Баха, ученый пришел к выводу, что «она, оказывается, сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона - закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелкими художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мертвых форм отвлеченного или фабричного происхождения». Определяя зону золотого сечения, можно убедиться, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу, то есть в третьей четверти целого. Весь огромный звукоряд делится на три основные регистра: низкий, средний и высокий, и составляют его 88 звуков. Казалось бы, что их так немного. Но из этих 88 звуков созданы грандиозные симфонии, оратории, величайшие музыкальные творения. Небосвод Вселенной между 12 уровнями - от низшего к высшему. Каждому уровню соответствует свой знак Зодиака. Таким образом, существует неразрывная связь космоса с музыкальной системой. 

Венгерский музыковед Эрне Лендваи долго и внимательно изучал музыку Бартока и опубликовал об этом много книг и статей. Лендваи утверждает, что «стилистический анализ музыки Бартока позволил мне заключить, что главная черта его хроматической техники – подчинение законам золотого сечения в любом музыкальном движении». Согласно Лендваи, то, как Барток строит ритм своих композиций – превосходный пример применения золотого сечения в музыке. Анализируя, в частности, фугу из «Музыки для струнных, ударных и челесты» Бартока, Лендваи показывает, что 89 тактов фуги разделены пирамидальным пиком громкости на две части – 55 и 34 такта (рис. 6). Дальнейшее деление производится при помощи сурдины, приглушающей звук различных инструментов – начало и конец ее действия отмечают границы сегментов – и другими изменениями текстуры. Количество тактов всегда совпадает с числами Фибоначчи, а отношения между крупными частями близки к золотому сечению (например, 55/34). Подобным же образом в «Сонате для двух фортепиано и ударных» различные темы развиваются в порядке чисел Фибоначчи и согласно золотому сечению по количеству полутонов.

рис.6

В 1700 году на основе закона золотого сечения Антонио Страдивари создал свою известную скрипку (рис. 7) и по сей день звучание его инструмента является образцом, превзойти который не удалось еще никому.

 рис.7

Считается, что золотое сечение используется также и поэзии. В некоторых произведениях, например, в поэме Лермонтова «Бородино» или этюдах Шопена, кульминационные моменты разделяют композицию на части, соотношение которых близко к золотой пропорции.

3.3. Числа Фибоначчи и искусство

Золотое сечение и спираль Фибоначчи часто используются в живописи или архитектуре. Пожалуй, самый известный пример – это работы Леонардо да Винчи. Композиция «Моны Лизы» (рис.8) построена на основе спирали Фибоначчи, а «Витрувианский человек» буквально изображает связь пропорций тела и золотого сечения.

рис.8

С использованием золотой пропорции построены, например, египетские пирамиды Гизы, Собор Парижской Богоматери и Храм Василия Блаженного. А в 2005 году в Корнуолле (Великобритания) появился образовательный комплекс The Core («Ядро»). Его архитекторы вдохновлялись формой цветка подсолнечника. В итоге получилось здание, построенное по принципу спирали Фибоначчи.

3.4. Числа Фибоначчи и природа

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Гёте, который был известен не только как поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов живой природы. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения наблюдается при росте корней и побегов.

Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на её поверхности расположены строго закономерно – по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21 (рис.9).

рис.9

В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их число составляет обычно 34/55, 55/89.

Присмотримся к ракушкам. Если пересчитать число «ребер жесткости» у первой, взятой наугад ракушки – получим 21. Возьмём вторую, третью, пятую, десятую ракушку – у всех будет 21 ребро на поверхности. Здесь вновь мы встречаемся с закономерным сочетанием чисел Фибоначчи, расположенных рядом 2/3,3\5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Их отношение стремится к золотой пропорции выраженной числом 0,61803…

Кроме растений, числа Фибоначчи проявляются в строении различных живых организмов. Если рассмотреть морскую звезду, то её число лучей отвечает ряд чисел Фибоначчи или очень близко к ним равно 5,8,13,21,34,55. А если рассмотреть знакомого всем нам комара, то у него три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков – антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов.

Таким же примером являются и лангуст, гусеница, муха. Ажурные, прозрачные, невесомые крылья стрекозы – шедевр мастерства природы. Отношение размаха крыльев к длине тела у многих стрекоз равно 4/3. Тело стрекозы делится на две основные части: массивный корпус и длинный тонкий хвост. В корпусе выделяется три части: голова, грудь, брюшко. Брюшко разбито на пять сегментов, а хвост состоит из восьми частей и три пары ног с их членением на три части. Это даёт нам увидеть последовательное членение целого на части развёртывания ряда Фибоначчи. Длина хвоста, корпуса и общая длина стрекозы связаны между собой золотой пропорцией: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. Неудивительно, сто стрекоза выглядит столь совершенной, ведь она создана по законам золотой пропорции.

Вид черепахи на фоне покрытого трещинами такыра – явление удивительное. В центре панциря большое овальное поле с крупными сросшимися роговыми пластинами, а по краям – кайма из более мелких пластинок. Так можно рассмотреть любую черепаху и убедиться, что рисунок на панцире у них аналогичный. На овальном поле расположено 13 сросшихся роговых пластин – 5 пластин в центре и 8 по краям, а на периферийной кайме около 21 пластинки (у чилийской черепахи по периферии панциря точно 21 платина). На лапах у черепах 5 пальцев, а позвоночный столб состоит из 34 позвонков. Нетрудно заметить, что все указанные величины отвечают числам Фибоначчи. Делаем вывод, что развитие черепахи, формирование её тела, членение целого на части осуществлялось по закону ряда чисел Фибоначчи.

Если рассматривать разных млекопитающих – кита, верблюда, оленя, тура – число рёбер составляет 13 плюс, минус 1. Число позвонков меняется очень сильно, особенно за счет хвостиков, которые могут быть различной длины даже у одного и того же вида животного. Но у многих из них число позвонков равно или близко к 34 и 55. Так, 34 позвонка у гигантского оленя, 55 у кита.

Обратим внимание и на домашнее животное. Число зубов у многих домашних животных близко к числу Фибоначчи: у кролика 14 пар, у собаки, свиньи, лошади 21, плюс, минус 1 пара зубов. Общее число костей в скелете домашних животных. С учетом зубов, у одной группы близко к 230, а у другой к 300. Как видим членение тела, сопровождающееся развитием скелета, характеризуется изменением числа костей в различных органах животных и эти числа отвечают числам Фибоначчи или очень близки к ним, образуя ряд 3,5,8,13,21,34,55,89,144,233.

Отношение размеров у большинства куриных яиц равно 4:3, семечек тыквы 3:2, арбузных семечек 3:2. Отношение длины сосновых шишек к их диаметру оказалось равным 2:1.

Считается, что если необходимо разбить цветочный газон (трава и цветы), то не следует делать эти полосы равными по ширине, красивее будет, если взять их в отношении 5:8 или 8:13. А это и есть пропорция, которая носит название золотое сечение.

3.5. Мифы про числа Фибоначчи

Универсальность: во многих источниках числа Фибоначчи и золотая спираль позиционируются как универсальный закон мироздания, с помощью которого можно описать любой природный процесс или объекты, от расположения лепестков цветка до формы спиральных галактик. Хотя в отношении многих природных явлений – это действительно так, принцип не является всеобъемлющим: например, те же рукава спиральных галактик или раковина моллюска наутилуса закручены по логарифмической спирали, которая, хоть и близка по форме к золотой, все же ей не является.

Идеальность: распространено мнение, что золотое сечение и спираль Фибоначчи описывают идеальные пропорции. Однако исследования показали, что объекты, построенные по этому принципу (например, человеческое тело), при демонстрации обычным людям воспринимаются обычно как диспропорциональные, вытянутые. Отсюда является заблуждением и утверждение, что все великие художники эпохи Возрождения и последующих времен использовали принцип золотой спирали в своих работах. Такие эксперименты действительно случались, но это не было распространенным явлением.

Практическая применимость: Еще один миф говорит о том, что использование золотого сечения и чисел Фибоначчи, в любой сфере деятельности, дает положительный результат. Но, например, криптографы знают, что метод Фибоначчи с запозданием не является идеальным способом усилить шифрование – многие генераторы случайных чисел на его основе либо медленно работают, либо имеют недостаточный порог устойчивости к взлому. А использование принципов золотого сечения в архитектуре или промышленном дизайне редко сочетается с оптимизацией производства.

Глава 4. ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ

4.1. Задача про кроликов

Первой задачей, которую рассмотрим, это задача самого Фибоначчи про кроликов, текст задачи звучит так:

Задача 1: Какой максимальный приплод может дать одна пара кроликов за год и создать формулу, описывающую последовательность  их размножения.

Математически ее решение описывается формулой:

Fn = Fn-2+ Fn-1, где F0=0, F1=1, а n — больше или равно 2 и является целым числом.

На второй месяц мы будем иметь одну пару, на третий месяц  1+1=2, на четвертый месяц  2+1=3 пары, на пятый месяц 3+2=5 пар, на шестой месяц 5+3=8 пар.

 Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих.

 Отслеживая каждый месяц, количество пар кроликов  получили такой ряд чисел: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…

Приплод кроликов по месяцам.

Ответ: 377 пар.

4.2. Задача о прыгуне

Эта задача будет сложнее, чем задача о кроликах. Для ее решения необходимо применить некоторые формулы и свойства чисел Фибоначчи, о которых мы упомянули ранее:

Задача 2: Прыгун может прыгать в одном направлении вдоль разделенной на клетки полосы, перемещаясь при каждом прыжке либо в соседнюю клетку, либо через клетку. Сколькими способами может он сдвинуться на (n – 1)-ю клетку и, в частности, переместиться из первой клетки в n-ю? (Способы прыгания считаются одинаковыми, если в ходе каждого из них прыгун побывает в одних и тех же клетках.)

Обозначим искомое число — xn. Очевидно, что x1 = 1 (переход из первой клетки в первую же осуществляется одним способом — отсутствием прыжков) и x2 = 1 (переход из первой клетки во вторую тоже единственен). Пусть целью прыгуна является достижение (n + 2)-й клетки. Общее число способов осуществления этой цели в наших обозначениях — xn + 2. Но с самого начала эти способы разбиваются на две группы: начинающиеся с прыжка во вторую клетку и начинающиеся с прыжка в третью клетку. Из второй клетки прыгун может переместиться в (n + 2)-ю xn + 1 способами, а из третьей — xn способами. Таким образом, последовательность чисел x1, x2, …, xn удовлетворяет соотношению xn + 2 = xn + 1 + xn и поэтому совпадает с последовательностью чисел Фибоначчи.

4.3. Задача с карточками

Задача 3: Имеется 76 карточек, на которых написаны разные числа. Эти карточки разложены на столе по кругу числом вниз. Надо найти какие-нибудь три идущие подряд карточки такие, что число, написанное на средней из этих трёх карточек, больше, чем на двух соседних. Перевернут можно последовательно не более 10 карточек. Как надо действовать, чтобы наверняка найти три карточки, для которых выполняется указанное условие?»

Решение: Для построения рассуждений нам потребуется последовательность Фибоначчи:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; …

an = an—1 + an – 2 , а1 = а2 = 1.

Число карточек 76 = 21 + 21 + 34. (т. е. можно будет использовать данную закономерность)

Пусть N карточек расположены по кругу в вершинах N – угольника.

Если a, b – карточки, то (a; b) – «a лежит раньше b по часовой стрелке».

Дуга (a; b) – промежуток между a и b.

Длина дуги (a; b) – число сторон N – угольника между a и b.

Назовём тройкой ранга k три открытые (числом вверх) карточки (a; b; c), удовлетворяющие условиям:

1. на дугах (a; b) и (b; с) нет открытых карточек;

2. длины дуг (a; b) и (b; с) либо обе равны xk, либо одна - xk, а вторая –

xk+1;

3. число на карточке больше числа на карточке.

В нашей задаче надо найти тройку ранга 1.

Посмотрим, как из тройки ранга k получить тройку ранга 1.

Пусть тройка (a; b; c) – тройка ранга k.

1 случай: длина обеих дуг (a; b) и (b; с) равны xk.

На дуге (a; b) откроем точку d так, что длины дуг (a; d) и (d; b) равны xk-2 и xk-1 соответственно. При этом возможны два варианта:

а) d < b ⟹ (d; b; c) – тройка ранга k – 1;

б) d > b ⟹ (a; d; b) – тройка ранга k – 2.

2 случай: Длина дуги (a; b) - xk+1 (для определённости), а дуги (b; с) - xk.

На большей дуге откроем точку d так, что длины дуг (a; d) и (d; b) равны xk xk-1.

Возможны два варианта:

а) d < b ⟹ (d; b; c) – тройка ранга k – 1;

б) d > b ⟹ (a; d; b) – тройка ранга k – 1.

Применяя последовательно (в обоих случаях) этот способ мы получим тройку ранга 1, открыв при этом не более k – 1карточки.

Остаётся для решения найти какую-нибудь тройку ранга k.

В нашем случае: N = 76 = 21 + 21 + 34 = 2 xk + xk+1.

И всего (с начальными a; b и с нам предстоит открыть k + 2числа, т. е. вашем случае – 10 чисел).

Ответ: для нахождения данной тройки чисел достаточно открыть 10 карточек.

Глава 5. ДИАГНОСТИЧЕСКАЯ РАБОТА

5.1. Анкетирование в группе

Изучая, выбранную мною тему, для написания индивидуального проекта, заинтересовавшись, что практически всё, что нас окружает связанное с закономерностями, изученными с рядом чисел Фибоначчи. Мне стало интересно, знают ли или хотя бы слышали о ряде чисел Фибоначчи мои одногруппники. Мне захотелось донести до них, что математика это интересно, что действительно, все, что нас окружает, связано с математикой.

Для этого я решил провести небольшую диагностическую работу в своей группе.

Диагностическая работа проводилась в три этапа:

1. Опрос по теме «Числа Фибоначчи»
2. Выступление с докладом «Числа Фибоначчи и его закономерности».
3. Опрос по теме после проведения внеклассного мероприятия.

На основании изученного мною материала для проекта я составил анкету из 5 вопросов:

1. Знаете ли вы кто такой Л. Фибоначчи?
2. Знаете ли вы, чем занимался Л. Фибоначчи?
3. Знаете ли вы что-либо о ряде чисел Фибоначчи?
4. Встречались ли вы в своей жизни с понятиями золотое сечение, спираль Фибоначчи, золотой прямоугольник?
5. Стоит ли ввести в курс математики изучение нестандартных тем?

Анкетирование было проведено среди 14 студентов моей группы Э-122.

Так как исследование проводилось в три этапа, то и рассматривать его мы будем так же.

5.2. Обработка результатов

1. Опрос по теме «Числа Фибоначчи» Для того, чтобы наглядно показать ответы на вопросы, мы построили по каждому вопросу отдельные диаграммы.

Первый вопрос: «Знаете ли вы кто такой Л. Фибоначчи?».

Да – 1 человек – 7 %

Нет – 12 человек – 86 %

Воздержались – 1 человек - 7 %

Второй вопрос: «Знаете ли вы, чем занимался Л. Фибоначчи?».

Да – 1 человек – 7 %

Нет – 12 человек – 86 %

Воздержались – 1 человек - 7 %

Диаграмма такая же, как у первого вопроса.

Третий вопрос: «Знаете ли вы что-либо о ряде чисел Фибоначчи?».

Да – 1 человек – 7 %

Нет – 12 человек – 86 %

Воздержались – 1 человек - 7 %

Диаграмма такая же, как у первого вопроса.

Четвертый вопрос: «Встречались ли вы в своей жизни с понятиями золотое сечение, спираль Фибоначчи, золотой прямоугольник?»

Да – 1 человек – 7 %

Нет – 12 человек – 86 %

Воздержались – 1 человек - 7 %

Диаграмма такая же, как у первого вопроса, так как ответы совпадают.

Пятый вопрос: «Стоит ли ввести в курс математики изучение нестандартных тем?».

Да – 5 человек – 36 %

Нет – 9 человека – 64%

Воздержались – 0 человек – 0%

5.3. Выступление с докладом «Числа Фибоначчи».

Проводя опрос, я сделал вывод, что современные студенты не знакомы с информацией о Фибоначчи и его ряде чисел. И только лишь третья часть аудитории хотели, чтобы в изучение предмета «Математика» были введены нестандартные темы. Я решил выступить со своей презентацией и докладом о ряде чисел Фибоначчи перед одногруппниками.

5.4. Опрос по теме после выступления с докладом о числах Фибоначчи.

При обработке результатов на этом этапе я не стал составлять диаграммы для вопросов 1 – 4, т.к. на них ответили «да» 100 % студентов. Но пятый вопрос вызвал ряд споров между теми, кто хотел бы ввести в курс математики изучение нестандартных тем и теми, кто наотрез от этого отказывался, т.к. исследуемые считали, что в курсе изучения математики итак много сложных тем, которым нужно уделять больше времени.

Пятый вопрос: «Стоит ли ввести в курс математики изучение нестандартных тем?».

Да – 10 человек – 82 %

Нет – 4 человека – 18 %

Воздержались – 0 человек – 0%

Таким образом, на основании проведенного анкетирования мы можем сделать вывод, что в курс математики стоит вводить изучение нестандартных тем, для развития мышления и творческого подхода изучения курса математики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение своей работы над индивидуальным проектом, я с уверенностью могу сказать, что мне удалось показать значимость чисел Фибоначчи и их закономерностей, которые действительно отражаются во всех творениях природы и имеют большой практический и теоретический интерес во многих науках. На ряду с актуальностью данной темы я выполнил все поставленные перед собой задачи и раскрыл цель проекта.

Хочу отметить, что в своей работе я представил лишь малую часть информации, изложенной о числовом ряде Фибоначчи. Тем самым выделил только самые часто встречаемые связи закономерностей чисел Фибоначчи с человеком, науками и природой. Мною осталась нетронута неживая природа, например, числа Фибоначчи и фотография, числа Фибоначчи и космос, золотое сечение в быту и так далее.

Исходя из того, что мне удалось проанализировать, можно смело говорить, что чтобы мы не взяли за элемент исследования «золотое сечение» будет везде, если даже нет видимого его соблюдения, то оно обязательно имеет место.

Я, как и любой студент, задавался вопросом, когда мне в жизни пригодится математика. Я понимал, что она мне нужна в моей специальности и повседневной жизни, но теперь, я ещё больше понимаю, что она окружает меня везде, а именно, ряд чисел Фибоначчи, спираль, золотое сечение и золотой прямоугольник.

Проведя диагностическую работу в своей группе, я думаю, что мне удалось заинтересовать одногруппников и показать им, что математику не просто нужно изучать, а познавать в окружающем нас мире.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Воробьёв Н.Н., Числа Фибоначчи: Серия: Популярные лекции по математике. Выпуск 6. - М.: Наука, 1978.
2. Аракелян Г. Б., Математика и история золотого сечения. – М.: Логос, 2014.
3. Виленкин Н.Я. и др., За страницами учебника математики, 10-11. – М.: Просвещение, 1996
4. Рудаков Н.А. Числа Фибоначчи и простота числа, Том 4 – М. Просвещение, 2000.
5. LiveInternet [Электронный ресурс] Законы природы и последовательность Фибоначчи. URL: https://www.liveinternet.ru/users/4506755/post186633412 дата обращения 15.04.2023)
6. Econet включи сознание [Электронный ресурс] СПИРАЛЬ ФИБОНАЧЧИ - зашифрованный закон природы. URL: https://econet.ru/articles/109062-spiral-fibonachchi-zashifrovannyy-zakon-prirody (дата обращения 16.04.2023)
7. Базанов С. Фибоначчи повсюду! [Электронный ресурс]// URL: https://medium.com/paradox (дата обращения 16.04.2023)