Математика и калмыцкий народный орнамент

Республика Калмыкия

Юстинский район

МКОУ «Цаганаманская гимназия»

____________________________________________________________

Математика и калмыцкий народный орнамент

Работу выполнила: Кейгер Рената Леонидовна,

                                  ученица 11 «Г» класса

                                  МКОУ «Цаганаманская гимназия»

Руководитель: Улюмджиева Н.Б.,

                          учитель математики

                          и информатики

                          МКОУ «Цаганаманская гимназия»

п. Цаган Аман, 2022

Краткая аннотация

Орнамент – древнейший вид изобразительного искусства. Происхождение его тесно связано с зарождением самых первобытных форм человеческого – общественного – сознания, в частности, с религией.

Развиваясь и усложняясь, постепенно становясь самостоятельным искусством, орнамент все более освобождался от религиозной идеологии, наряду с религиозными понятиями и символами он стал выражать и другие, светские понятия, становиться формой художественного мышления, формой народного сознания вообще.

        Калмыцкий народный орнамент представляет собой оригинальную, богатую по формам и колориту область декоративного искусства. Орнаментом украшались одежда, обувь, головные уборы, пояса, курительные трубки, кисеты, сумочки, кольца, серьги, подвески для кос, браслеты, ковры, металлическая и кожаная посуда, конская и верблюжья сбруя, мебель, спальные принадлежности (подушка, кошмы, пологи, музыкальные инструменты, оружие, архитектурные детали и т.д.). (Приложение 1.)

        Калмыцкий народный орнамент берет свое начало в далеком прошлом Востока, откуда вышло и само этническое ядро калмыков.  Рассматривая бурятскую, монгольскую, тибетскую и других народов орнаментику и сравнивая ее с калмыцкой, нетрудно обнаружить в них что-то общее, несомненно объединяющее их. В первую очередь следует отметить общность цветовой характеристики и некоторые сходства в рисунке отдельных деталей. Однако же во всем остальном калмыцкий орнамент значительно отличатся от орнаментов других восточных пародов. И это, конечно, закономерно, поскольку те или иные свойства орнамента в процессе конкретного исторического развития народов воплощали в себе те или иные черты национального характера, обусловленные конкретными условиями их жизни и быта.

Сложность орнаментальных форм дает нам возможность показать красоту математики, ее органичность в окружающем нас мире. В данной работе нами рассмотрены типологический состав орнамента, композиция калмыцкого народного орнамента с точки зрения математики. Была предпринята попытка систематизации калмыцких орнаментов с точки зрения применения групп симметрий и описание орнамента с помощью различных математических функций.

Оглавление

Введение        4

1. Геометрические фигуры в калмыцком орнаменте        5

2. Симметрия – слагаемое прекрасного        7

3. Использование симметрии в калмыцком орнаменте        9

4. Уравнения орнаментов        11

Заключение        13

Список литературы        14

Приложения        15

Введение

        Орнамент – древнейший вид изобразительного искусства. Происхождение его тесно связано с зарождением самых первобытных форм человеческого – общественного – сознания, в частности, с религией.

Развиваясь и усложняясь, постепенно становясь самостоятельным искусством, орнамент все более освобождался от религиозной идеологии, наряду с религиозными понятиями и символами он стал выражать и другие, светские понятия, становиться формой художественного мышления, формой народного сознания вообще.

        Калмыцкий народный орнамент представляет собой оригинальную, богатую по формам и колориту область декоративного искусства. Орнаментом украшались одежда, обувь, головные уборы, пояса, курительные трубки, кисеты, сумочки, кольца, серьги, подвески для кос, браслеты, ковры, металлическая и кожаная посуда, конская и верблюжья сбруя, мебель, спальные принадлежности (подушка, кошмы, пологи, музыкальные инструменты, оружие, архитектурные детали и т.д.). (Приложение 1.)

        Калмыцкий народный орнамент берет свое начало в далеком прошлом Востока, откуда вышло и само этническое ядро калмыков.  Рассматривая бурятскую, монгольскую, тибетскую и других народов орнаментику и сравнивая ее с калмыцкой, нетрудно обнаружить в них что-то общее, несомненно объединяющее их. В первую очередь следует отметить общность цветовой характеристики и некоторые сходства в рисунке отдельных деталей. Однако же во всем остальном калмыцкий орнамент значительно отличатся от орнаментов других восточных пародов. И это, конечно, закономерно, поскольку те или иные свойства орнамента в процессе конкретного исторического развития народов воплощали в себе те или иные черты национального характера, обусловленные конкретными условиями их жизни и быта.

Сложность орнаментальных форм дает нам возможность показать красоту математики, ее органичность в окружающем нас мире, это меня заинтересовало, и я решила установить связь между орнаментами и геометрическими понятиями, такими как симметрия и параллельный перенос, выявить виды орнаментов и симметрии и показать их на примере калмыцкого орнамента. В данной работе мною рассмотрены типологический состав орнамента, композиция калмыцкого народного орнамента с точки зрения математики. Была предпринята попытка систематизации калмыцких орнаментов с точки зрения применения групп симметрий и описание орнамента с помощью различных математических функций.

Цели и задачи:

• изучение научной, научно-популярной литературы по теме исследования;
• изучение геометрических преобразований
• изучение геометрического калмыцкого орнамента;
• исследование разных комбинаций функций и выведение уравнения, описывающих орнаменты.

Методы и приемы исследования: библиографический, поисковый метод, анализ и сравнение данных.

Объект исследования: орнаменты.

Предмет исследования: симметрия и параллельный перенос, функции и их графики, уравнения линий.

Гипотеза: Построение орнамента подчиняется математическим законам, Орнаменты — это набор геометрических линий, расположенных в определенном порядке. Для каждой линии можно подобрать уравнение.

1. Геометрические фигуры в калмыцком орнаменте

Калмыцкую орнаментику сегодня можно подразделить условно пока на шесть типов: четыре геометрических, растительный и зооморфный.

Первый и самый распространенный геометрический тип состоит из полос, квадратов, прямоугольников, параллельных линий. Он встречается в виде бордюра и выполняется всеми известными техническими приемами. У многих народов он известен с древнейших времен, встречаясь в прикладном искусстве и по сей день.

Второй геометрический тип состоит из точек, кругов, полукругов, овалов, звездчатых розеток. Эти мотивы встречаются главным образом на изделиях из металла и текстиля. Подобные узоры образуют не только составную часть бордюра, но и являются основными компонентами орнаментов, выступая самостоятельно, как декоративные элементы украшений. Подобные мотивы также встречаются    в    искусстве многих народов. Появление этих орнаментов у калмыков можно связать со стремлением их осмыслить, познать строение Bселенной. Эта система орнаментики является своеобразной космогонией древних калмыков.

К третьему геометрическому типу относятся узоры из прямых или косых сеток, из квадратов или ромбов. Составная часть этого узора — явление не новое в прикладном искусстве. Над его созданием трудились многие народы на протяжении многих веков. В искусстве каждого народа они приобретали свои, национальные, присущие только этому народу формы. Особое распространение и всестороннее развитие именно этого тина орнамента в условиях степи объяснялись тем, что они были наиболее приемлемыми — простыми и доступными. Эти простые приемы постоянно развивались и совершенствовались, в связи с этим, разумеется, развивалась и сама орнаментика. К наиболее популярным техническим приемам, бывшим на вооружении мастеров, можно отнести, например, плетение узлов, тесьмы и различных предметов из кожи (плети, арканы и т. д.). Не менее распространенными      были      аппликация, резьба по дереву, насечка, чернение и другие приемы.

К четвертому геометрическому типу принадлежат орнаменты из простейших геометрических узоров различной формы, не отнесенные к первым трем типам, а также S-видные мотивы.

В калмыцком прикладном искусстве встречается и сетчатый орнамент в вышивке, тиснении, аппликации и вязании. Он может состоять из светлых и темных квадратов, называемых прямой сеткой. Узоры, состоящие из ромбов, можно объединить в ромбическую сетку, а треугольники разных расцветок — в треугольчатую сетку. Орнаменты, состоящие из пуговиц и кругов, образуют кружковообразную сетку.

Из нескольких видов сеток, встречающихся в народно-прикладном искусстве калмыков, следует выделить, как наиболее распространенные, прямую и. ромбическую. (Приложение 2.)

2. Симметрия – слагаемое прекрасного

Фундаментальным понятием науки, которое наряду с понятием "гармонии" имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является "симметрия".

        Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке: "Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство".

В наиболее общем виде под симметрией в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую точку M1 относительно некоторой плоскости (или прямой), когда отрезок MM1 является перпендикулярным плоскости (или прямой) и делится ею пополам. Плоскость (прямая) называется при этом плоскостью (или осью) симметрии.

Симметрия относительно точки (центральная симметрия)

Преобразование, переводящее каждую точку Х фигуры (тела) в точку Х′, симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет.

Симметрия относительно прямой (осевая симметрия)

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l в точку А, при этом отрезок АА' перпендикулярный l,называется осевой симметрией.

Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия)

Симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия) – называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей относительно плоскости точку.

Параллельный перенос

Преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом. Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор а.

Скользящая симметрия

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Поворот

Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ = ОМ1, /_МОМ1 = α. α – угол поворота, О – центр поворота.

3. Использование симметрии в калмыцком орнаменте

Бордюр – это вид орнамента, периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте. Бордюр — основной вид украшения одежды, обуви, посуды и многих других предметов — в калмыцком народном искусстве призван подчеркивать конструкцию и характер вещи. Особенно удачно он применяется на изделиях из войлока и шерсти — в шерстяных занавесях на дверях кибитки, потниках и т. д. Бордюр, состоящий из ряда прошитых полос, составляет на них раму для основного узора — сетки. В бордюре наблюдаются самые разнообразные   орнаментальные   мотивы — как   с симметричным, так и асимметричным чередованием  узоров. Таким образом, калмыцкие  орнаменты с геометрической точки зрения представляют собой, так называемые линейные орнаменты или бордюры. Если плоская фигура отображается сама на себя при параллельных переносах только одного направления (и противоположного ему), причем среди этих переносов существует перенос наименьшей длины, то такая фигура называется линейным орнаментом. Доказано, что существует только 7 групп симметрии линейных орнаментов.

        Калмыцкие мастера отдавили предпочтение также розеткам с осью симметрии — в вышивке, металле, тиснении и в резьбе по дереву. Большая часть этих розеток окаймлена бордюром в несколько поясов, состоящих в основе своей из треугольников и дуг. Каждый такой узор, каждая в нем деталь и завиток глубоко продуманы и мастерски выполнены в материале. Приложение 3.

4. Уравнения орнаментов

В этой части нашей исследовательской работы я решила предпринять попытку описать некоторые калмыцкие народные орнаменты с помощью функций и их графиков.

Графики функций построены с помощью программы – графопостроителя Advanced Grapher.

Пример 1.

Строим графики функций:

                                                                                                                                                                                                                        Пример 2

Функции: y=|1/2*sinx|+0,2

y=|1/2*sinx|+0,4, y=|1/2*sinx|+0,6

y=|1/2*sinx|+0,8

                                Пример 3

                                                                                                                                                                        Пример 4

                                                Пример 5.

        Для получения следующего орнамента строим графики функций: , ,

Заключение

1. Мои исследования показали, что калмыцкий национальный орнамент тесно связан с математикой. Он состоит из различных геометрических фигур: линии, ломанной, треугольников, четырехугольников, кругов и т.д. Различные комбинации этих фигур образуют бесконечный ряд всевозможных узоров, являясь их фундаментом.
2. В ходе исследовательской работы было выявлено, что наши предки, сами того не зная, применяли в своем искусстве симметрию разных видов. Особенно калмыцкие мастера отдавали предпочтение орнаментам с осью симметрии – в вышивке, металле, тиснении и в резьбе по дереву. Так, например, в растительном орнаменте стебель, идущий вдоль изделия, служит осью симметрии для всего узора.
3. Была предпринята попытка описать калмыцкий народный орнамент с помощью функций и построение орнамента, как графика этих функций.
4. Анализ орнаментов подтвердил выдвинутую мною гипотезу, что построение орнамента подчиняется математическим законам.

Список литературы

1. «Симметрия» в окружающем мире, Л.В.Тарасов, учебное пособие для школы, Москва «ОНИКС XXI век», «Мир и Образование», 2005г..
2. Атанасян Л.С. "Геометрия 7-9" - М.«Просвещение», 2002.
3. Ковалев И.Г. Калмыцкий народный орнамент. – Элиста, 1970.
4. Эрендженов К. Золотой родник. – Элиста, 1985 г.
5. Калмыцкая народная вышивка. М. «Изобразительное искусство»,1970
6. Бржозовский М., Уравнения орнаментов. Квант, № 7, 1972
7. Райхмист Р.Б. Графики функций: Справ. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1991
8. А. Земляков. Орнаменты. Квант № 3 1977
9. Сычев Д.В. Калмыцкое народное искусство. Элиста, 1970
10. Батырева С.Г. Народное декоративно –прикладное искусство калмыков XIX – начала XXв.в. Элиста, 2006

Приложения