Исследовательская работа по геометрии ученика 10 класса МАОУ "Выдринская СОШ" посвящена ещё одной новой точке треугольника, который представляет собой геометрическую фигуру, дающую большие возможности для исследований и не только в этом направлении. Вячеслав успевает по всем предметам на «отлично», но математика, и в частности , геометрия всегда интересует его больше, поэтому и тема выбрана неслучайно. Актуальность темы в том, что эта точка мало изучена, возможно она даст широкое применение. Работа состоит из введения, основной части и заключения, испльзованной литературы. Приложение не вынесено отдельным разделом, так как при чтении этой работы нарушается целостность восприятия. Вячеслав четко по математически сформулировал цель и задачи к работе, а в заключении показал их выполнение и дальнейшую тему для исследования. Работа иллюстрирована аккуратными, четко выполненными чертежами. Оченьхорошо презентовал свою работу с "живыми" рисунками. Цель работы достигнута.
Вложение | Размер |
---|---|
Исследовательская работа по геометрии ученика 10 класса МАОУ "Выдринская СОШ" | 532.93 КБ |
Содержание
Постановка задачи. Доказательство теоремы 3
Список использованных источников и литературы 10
Треугольник – одна из простых и главных геометрических фигур и имеет большое количество интересных и необычных свойств [1]. И далеко не все свойства еще открыты.
Среди основных элементов треугольника выделяют несколько точек, изучаемых в школьной программе, например «Четыре замечательные точки треугольника», и большое количество особых, которые выходят за ее рамки.
Цель работы – доказать существование новой точки треугольника, которая получается в необычной и нестандартной конструкции треугольника, связанной с тремя вписанными в сегменты круга окружностями, и описать ее свойства.
Задачи:
Рассмотрим произвольный ΔABC. Пусть – длины сторон треугольника, – описанная окружность, т. O – ее центр, – вписанная окружность, т. I – ее центр. Точки ,, – точки касания вписанной окружностью сторон треугольника (рис. 1).
Каждая сторона делит круг, ограниченный описанной около треугольника окружностью, на два сегмента. Возьмём те из них, что не содержат третьих вершин. В каждый такой сегмент впишем по окружности, которые касаются стороны треугольника в точках ,, соответственно, а также касаются описанной окружности – обозначим эти точки соответственно , , (рис. 2). Для каждого сегмента (при однозначном выборе точек касания сторон треугольника) такие окружности единственны. Обозначим эти окружности , и .
Рис. 1. Иллюстрация к задаче.
Рис. 2. Взаимное расположение пяти окружностей.
Теорема. Прямые ,, пересекаются в одной точке, лежащей на прямой, которая соединяет центры вписанной и описанной окружностей.
Доказательство.
а) Утверждение о том, что прямые ,, пересекаются в одной точке E, следует из свойств изоциркулярного преобразования, предложенного в [2].
Суть изоциркулярного преобразования состоит в следующем. Рассмотрим произвольную точку Z, расположенную внутри ΔABC. Прямые AZ, BZ, CZ пересекают описанную около данного треугольника окружность в точках ,, . В сегмент, отсекаемый стороной BC, дуга которого не содержит т. A, впишем окружность, которая касается стороны BC в точке . Аналогично определим точки и (рис. 3). Прямые ,, пересекаются в одной точке , которую мы будем называть изоциркулярным образом точки [2]. И по известной точке можно определить единственную точку.
Рис. 3. Изоциркулярное преобразование.
Итак точка является прообразом точки Жергона [1, 3]. Тут же укажем, что барицентрические координаты т. E, так как барицентрические координаты при изоциркулярном преобразовании связаны простым соотношением, а координаты т. Gr.
б) Для доказательства принадлежности точки Е прямой OI, воспользуемся уравнением этой прямой в барицентрических координатах.
Такое уравнение имеет вид: , где и – координаты двух точек данной прямой [2,3]. Еслиточка принадлежит прямой, то при подстановке ее координат в уравнение получим верное равенство. Координаты точек O и I известны: I, O.Подставим в уравнение координаты точки E:
После преобразований находим, что они удовлетворяют данному уравнению.
Ч.т.д.
Вопрос о расположении точки E на прямой OI относительно центров вписанной и описанной окружностей, является одним из главных. Построения показывают, что точки O и E всегда расположены по разные стороны от точки I, но обоснование этого наблюдения еще не получено. При этом точка E всегда лежит внутри треугольника, также, как и центр вписанной окружности. Действительно, для получения т. E необходимо провести прямые, обязательно пересекающие стороны треугольника.
Вопрос о расстоянии IE является одним из важнейших, и довольно сложен, его предполагается подробно изучить в дальнейшем, а в настоящей работе мною исследован только частный случай – равнобедренный треугольник. В силу свойств подобия достаточно рассмотреть равнобедренные треугольники с одинаковым основанием = 1. Тогда единственным параметром, от которого зависят исследуемые величины - угол при вершине B.
Рис. 4. Зависимости и.
Для равнобедренного треугольника с основанием и углом при верщине радиусы описанной и вписанной окружностей определяются по известным формулам: , , а расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей вычисляется по формуле Эйлера, .
Длина отрезка IE, так как формула для ее нахождения мною еще не выведена, определялась с использованием программного продукта GeoGebra. Хотя данные значения являются приближенными, но они дают возможность представить общую картину.
На рисунке 4 показаны зависимости от угла радиусов описанной и вписанной окружностей, расстояния между ними и длины отрезка IE. Можно видеть, что для всех значений , причем равенство достигается в правильном треугольнике.
Исследования продолжаются
Определение радиусов окружностей, вписанных в сегменты
У меня получилось составить уравнение для определения радиусов окружностей, вписанных в сегменты. Для определенности рассмотрим радиус Идея состоит в следующем: (по двум углам, рис. 5). Из подобия данных треугольников следует соотношение: . можно найти из прямоугольного треугольника :. Выразим , где и . , где . найдем из прямоугольного треугольника ., причем . Выполнив преобразования, получим, что , где Подставив эти выражения в пропорцию которая была выведена из подобия двух треугольников, и проделав многочисленные преобразования, я получил следующее квадратное уравнение:
.
Рис. 5. К определению радиуса
В дальнейшемя хочу рассмотреть рассмотреть несколько вопросов, связанных с данной задачей, первый из которых - доказательство того, что прямые ,, проходят через основания высот треугольника касаний.
В процессе выполнения работы, мною были выполнены следующие задачи:
Космический телескоп Хаббл изучает загадочную "тень летучей мыши"
Карты планет и спутников Солнечной системы
Рисуем пшеничное поле гуашью
Тигрёнок на подсолнухе
Яблоко