Круги Эйлера для решения задач ЕГЭ 11 класса.

Круги Эйлера.

Круги Эйлера для решения задач ЕГЭ          

11 класса.

Максимова Дарья, Иванова Дарья                                                                                                              ученицы 7 В класса

                                                                                          МБОУ «Гимназия № 24»

                                                             Руководитель: Данилина Ольга Сергеевна

                                                                                                  учитель математики

Шел урок математики: «Действия с десятичными дробями». Вторая смена, урок был далеко не первый, все устали и думали о том, как бы поскорей оказаться дома. Но тут, учитель, пройдя по классу, поглядывая в тетради моих одноклассников, вдруг заявил: «Так. Так. 11 человек научились и умножать и делить и складывать дроби, 16 -  умножать и делить, 14 – делить и складывать, 11 -  умножать и складывать.

 Тут все неожиданно встрепенулись, сон сняло как рукой. «Не понял» - проговорил Зюзин. «И как такое может быть?» - озадаченно заявил Илья. Но, дело было сделано. Все забыли про теплые мысли о доме.

«Да-да, продолжал учитель. Всего же научились делить 19 человек, умножать    - 19, складывать - 15. А в классе сегодня 25 человек. Скажите, сколько человек сегодня ничему не научились?»                 Тут наперебой все стали предлагать свои версии, складывали, умножали, делили, когда наконец наша отличница Василина, которая в таких случаях всегда отмалчивается и при этом всегда сосредоточенно размышляет, и в конечном итоге всегда, с довольным видом выдает правильный ответ, выпалила: «Их двое». Все замолчали. - «Почему?». -«Ну, мне сложно объяснить, но я знаю, что двое» . - «Правильно» -  подтвердила учительница. Предлагая позже доучить эту «сладкую парочку». Но прежде я покажу как разобраться с такой задачей, тем более, что это проще простого.  И на доске появились круги.

          умножать

Все, кто чему – нибудь научился: 3+5+1+3+11+1 = 23. Осталось – 2.

Вся это жутко запутанная история была разложена по полочках и все стало на свои места.  –«А теперь -  продолжала учительница_ мы будем доучивать эту «сладкую парочку»

Так я познакомилась с кругами Эйлера. Великий̆ ученый ̆Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. Полное собрание его трудов составляет 72 тома, более 850 научных работ. . Уже в 13 лет Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. В 17 лет был удостоен ученой̆ степени магистра. В 19 лет Эйлер был включен в число кандидатов на должность профессора физики.

В 1726 был приглашён в Петербургскую Академию наук. В 20 лет стал членом Петербургской̆ академии наук. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира. Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы.        

С1761 по 1768 год им были написаны знаменитые «Письма к немецкой принцессе», где Эйлер как раз и рассказывал о своем методе, об изображении множеств в виде кругов. Именно поэтому рисунки в виде кругов, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения».

Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни.

Однажды, находясь около учительского стола, я заметила текст задачи, которая привлекла мое внимание , и неспроста, вчитавшись внимательно в текст, я подумала., что при решении можно воспользоваться кругами Эйлера. Текст задачи был из материалов ЕГЭ 11 класса. В последствии, мы рассмотрели еще несколько задач.

Вот, например, задачи из материалов ЕГЭ для выпускников 11 класс.

1. В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Запрос        Найдено страниц (в тысячах)

Крейсер или Линкор - 7000

Крейсер - 4800

Линкор         - 4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер и Линкор? Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

4800 + 4500 = 9300      9300-7000 = 2300

Использование этого метода делает  и условие и решение задачи понятным для всех. Вот еще несколько задач.

                                                    Всего 40 печений

40 – (10+20) = 10

                                                       Всего 20

                                                                Всего 50 рогаликов

Как, видно, из представленных рисунков. Отвечать на предложенные вопросы к задачам, имея перед собой рисунки Эйлера, очень просто. И не стоит думать, что эти задачи просты и не представляют никакой сложности для взрослых одиннадцатиклассников. Так, во время проведения сессии процент выполнения хоть и был высоким, (85%), но как видно все же не все ответили правильно. Мы провели эксперимент: объяснили старшеклассникам. Как можно использовать круги Эйлера, и как ожидалось выполнение задания набрало заветные 100%.

Порешав большое количество задач на предложенную тему, нам пришла в голову идея изучить жизнь детей нашего класса, их интересы и предпочтения, составили опросники, собрали данные, обработали и представляем вам результаты нашей работы.                                                                             При этом хочется особо подчеркнуть, что нам очень нравятся круги Эйлера тем, что при ответе на вопрос можно предпочесть не только один из ответов, а выбрать одновременно все предложенные варианты

Данную задачу мы решали двумя способами, кроме привычного нам, мы учились решать с помощью более для нас трудного - с помощью уравнения. Так как уравнения мы не изучали в такой степени, чтобы мы могли использовать без труда.

Способ 2:         13+17+12 – (5+7+8) = 22.    25-22 = 3. Ответ6 3 человека любят все три вида спорта.

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в городской 

                                                               Всего - 35

      Вопросы, которые можно задать к задаче:        

Сколько шестиклассников являются:                                                                                                                        1. Являются читателями обеих библиотек?  2.Не являются читателями городской библиотеки? 3. Не являются читателями школьной библиотеки? 4. Являются читателями только городской библиотеки? 5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Заключение

Полагаю, нам удалось убедить вас, что круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьный уроках, но и вполне себе житейских проблем.

Актуальность состоит в том, что задачи имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Задачи заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с другой стороны, уметь выбирать из множества способов решения, наиболее простой, легкий путь. Способ, рассмотренный в работе доступен и легок в понимании,

Вам еще наверняка будет любопытно узнать, что в современной массовой культуре круги Эйлера нашли отражение в популярных сериалах. Таких, как «Теория большого взрыва» и «4 числа». Но этому иы посвятим нашу следующую работу.