Исследовательский проект "ЕЕ величество Степень"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КОЗЁНОЕ  ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧЕРЕЖДЕНИЕ

КРУТОЛОГОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

Её величество Степень

Исследовательский проект

Выполнила: ученица  5 класса

Рязанова Валерия

Руководитель: учитель ОИПД

Севостьянова Л.Н.

2022 год

Содержание

Введение....................................................................................................................3

1. История возникновения степени числа..............................................................4

2.Степень числа.........................................................................................................5

2.1. Что такое степень числа?..................................................................................5

2.2. Где в жизни применяется степень числа?......................................................6

3. Быстрые способы возведения в квадрат двузначных чисел.........................7

3.1. Возведение в квадрат  чисел оканчивающихся на "5"................................7

3.2. Возведение в квадрат произвольного двузначного числа.........................7

4. Последняя цифра степени....................................................................................9

Заключение...............................................................................................................10

Список используемых источников и литературы...............................................11

Приложение …………………………………………………………………….12

ВВЕДЕНИЕ

Мы учимся в 5 классе и изучаем математику, но когда мы перейдем в 7 класс, мы будем изучать новый предмет Алгебру, которую  называют нередко «арифметикой семи действий». С четырьмя из них мы знакомы с начальной школы, это - сложение, вычитание, умножение и деление. Пришло время познакомиться с пятым действием - возведением в степень.

        Проблема: вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью?

         Гипотеза: действие "Возведение в степень" помогает решать не только математические, но и практические  задачи.

Когда на уроке математики мы изучали тему "Степень числа", мне стало интересно узнать, существуют ли быстрые приемы вычисления степени?

Тема  проекта: Её величество Степень.

Цель: – расширить знания о степени числа, изучить  быстрые способы возведения в степень.

        Задачи:

• получить дополнительные знания по теме «Степень»;

-   научиться применять быстрые способы вычисления второй и третьей степени;

-   создать опорную таблицу «Последняя цифра степени»;

       Объект исследования:  степень числа.

       Предмет исследования: быстрые способы возведения числа в степень.

       Актуальность данной темы заключается в том, что  "Возведение в степень" очень важное действие  в математике.

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СТЕПЕНИ ЧИСЛА

      У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.

       В своей знаменитой «Арифметике» Диофант Александрийский описывает первые натуральные степени чисел так: «Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

     Нидерландский математик Симон Стевин (1548—1620)  обозначал неизвестную величину кружком О, внутри которого указывал показатели степени. Например: ➀➁➂ обозначали x, x², x³. Стевин предложил называть степени по их показателям - четвёртой, пятой и т. д. и отверг Диофантовы составные выражения «квадрато-квадрат», «квадрато-куб».

       В последствии французский ученый математик Рене Декарт  в 1637году вводит современное обозначение степеней. Любопытно, что Декарт считал, что а·а не занимает больше места, чем а2 и не пользовался этим обозначением при записи произведения двух одинаковых множителей. Немецкий ученый Лейбниц считал, что упор должен быть сделан на необходимости применения символики для всех записей произведений одинаковых множителей и применял знак а2.

2. СТЕПЕНЬ ЧИСЛА

2.1. Что такое степень числа

      Степень числа – это сокращенная запись операции многократного умножения числа самого на себя. ИЛИ Произведение одинаковых множителей.

                                                        an = a×a× ... ×a

                                                     n - множителей

В выражении an:

- число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени

- число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – называют показателем степени

     Например:    25 = 2·2·2·2·2 = 32,
    здесь:           2 – основание степени,
                         5 – показатель степени,
                        32 – значение степени

      Отметим, что основание степени может быть любым числом.

      Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Надо помнить! Если в числовое выражение входят степени, чисел, то сначала  выполняют возведение в степень, а потом – остальные действия! Например:  

5 · 2² = 5 · 4 =  20.    Или  5 + 2² = 5 + 4 = 9.   

       Квадратом числа называют число во второй степени, то есть 3 х 3 = 32, или же  «три в квадрате».     а2 – читают «а в квадрате»;

Куб числа — это число в третьей степени, то есть 4х4х4=43, или же «четыре в кубе».     а3 - читают «а в кубе».        

                          2.2. Где в жизни применяется степень числа?

       Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108.  Такая запись называется стандартным видом числа.

       Умение быстро возводить числа в степень может пригодится не только на уроках математики, но и в повседневной жизни, а также во многих сферах деятельности. Например, в торговле, экономике, экологии, астрономии, астрологии, географии, информатике.   

        Степени нужны при подсчете, сколько вам потребуется линолеума на пол или обоев на стены. Когда считают площадь квадратной комнаты или объем кубической комнаты. Когда считают площадь квадратной плитки,  площадь круга или  объем  бочки.

3. БЫСТРЫЕ СПОСОБЫ ВОЗВЕДЕНИЯ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ И  ТРЁХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

3.1.Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5

1) Рассмотрим возведение двузначного числа оканчивающегося на 5, в квадрат.

Например: 252 = 25 ⋅ 25 = 625

          · 3

       Существует очень простой приём для устного возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5. Нужно цифру десятков умножить на ближайшее к этой цифре большее число и к произведению приписать 25.

Вычислим:

352 = 35 ⋅ 35 = 1225

85 = 85 ⋅ 85 = 7225

     А трехзначные числа, содержащие в числе десятков 0 и оканчивающиеся на 5 возвести в квадрат еще легче.

       Например, 1052 сотни возводим в квадрат и пишем слева (1), к полученному произведению приписываем первые две цифры данного трехзначного числа (110), а затем приписываем 25 (11025).

7052 = 497025       72 = 49    70      52  = 25

8052 = 648025

3.2. Возведения в квадрат произвольного двузначного числа.

2) Рассмотрим прием возведения в квадрат произвольного двузначного числа. Например, возведем в квадрат число 13. Для этого вычтем из него число единиц - это 3 получим 10, и прибавим к 13 тоже 3, получим число 16. Выполним умножение 10 на 16 и прибавим квадрат единиц, которые вычитали из 13 или прибавляли к 13,  получаем: 32 = 9. Считаем: 10 ·16 +9 = 169

          - 3       10

132                          =  16 ⋅ 10 + 32 = 169

      +3          16

Другой вариант: возведём в квадрат число 28.  Чтобы получить круглые десятки добавим к 28 число 2, и вычтем из числа 28 число 2. Перемножим получившиеся числа и прибавим к ним квадрат числа 2. Получим

282 = 30 ⋅ 26 + 22 = 780+4= 784.

  Вывод: если возводимое число в квадрат оканчивается на 1, 2, 3, 4 округляем до десятков в меньшую сторону, если оканчивается на 6, 7, 8, 9 – округляем до десятков в большую сторону.

Проверим, будет ли работать данный способ для трехзначных чисел? Возведем в квадрат число 123.  

Получим: 1232 = 100·146+232= 14600+20 · 26 + 32=14600 + 529 = 15129

Вывод: Возведение в квадрат трехзначных чисел можно выполнять, применяя способ возведения в квадрат двузначных чисел.

4. ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА СТЕПЕНИ

Выполняя различные задания по теме, мы встретили  задачу: Какой цифрой оканчивается число 42022?  И мы начали возводить число 4 в степень каждый раз увеличивая её на 1.  У  нас  получилась   следующая картина: 41=4,  42=16,  43=64, 44=256,   45 = 1024, ...  Мы заметили, что последняя цифра то 4, то 6, повторяются.

       Если показатель степени число четное, то степень оканчивается на 6; если показатель степени число нечетное, то степень оканчивается на 4. Число 2022 - чётное, значит  42022 оканчивается цифрой 6.  

        Мы решили составить таблицу-помощник для быстрого выполнения таких заданий. Числа от 2 до 9  возвели  в степени от первой  до девятой. Получили  таблицу 1 (Приложение 1). Из неё мы заметили: при возведении чисел 2; 3; 7; и 8 последняя цифра повторяется через 4 шага. При возведении чисел 4 и 9 числа повторяются через 2 шага. При возведении в степень числа 5 на конце всегда 5, а при возведении в степень числа 6 на конце всегда цифра 6.

      Обобщили данные из таблицы 1 и составили таблицу-помощник "Последние цифры  степеней"-  таблица 2.(Приложение 2)

Как она работает?

Например, решим задачу 1. На какую цифру оканчивается число 22015?

Решение: Через четыре шага будет повторяться последняя цифра степени числа 2.(см. в таблицу). Значит надо показатель степени 2015 разделить на 4, получим 53 и 3 в остатке. Смотрим в таблице на какое число оканчивается третья степень числа 2. Это число 8. Значит число 2 в степени 2015 оканчивается на цифру 8.  

2015 : 4 = 53 (ост. 3)    Ответ. 8

Пример 2. На какую цифру оканчивается число 51979?

Смотрим в таблицу и видим, что число 5 в любой степени оканчивается цифрой 5.   Ответ. 5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

       Работая над проектом, мы выяснили, что существуют быстрые приёмы вычисления степени, научились их применять для выполнения различных заданий.  Исследовали изменения последней цифры  степени натурального числа. Составили  таблицу для быстрого решения заданий повышенной трудности.

        Умение быстро возводить числа в степень может пригодиться не только на уроках математики, но и в повседневной жизни, а также во многих сферах деятельности. Например, в торговле, экономике, экологии, астрономии, астрологии, географии, информатике.

       Изучив материал по данной теме, мы убедились, что с данным действием мы постоянно сталкиваемся  в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. Следовательно, потребность в этом действии вызвана жизнью. Гипотеза подтверждена.

     Своё выступление я хочу закончить словами Михаила Васильевича Ломоносова "Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь".

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ

1. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся  5-11кл.Москва, «Просвещение», 1996г.

2. Мартин Гарднер. Математические новеллы: 2-е изд. испр. и дополн./пер. с англ. Ю.А. Данилова под ред. Я.А.Смородинского — М.: Мир, 2000. — 456 с. (Математическая мозаика).

3. nsportal.ru›…2013/04/03/istoriya…stepeni-chisla.

4. ppt-online.org›448769.

5. mathvox.ru›algebra/stepeni-i-korni/

Приложение 1

Таблица степеней однозначных чисел

ТАБЛИЦА 1

Приложение 2

Таблица последних цифр степеней однозначных чисел

ТАБЛИЦА 2