Математические задачи в художественной литературе

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя школа № 49 имени героев-даманцев»

Математические задачи в художественной литературе

Проектная работа

Выполнил:

Ученик 5.2 класса

МБОУ «Средняя школа № 49 имени героев-даманцев»

Гольченко Матвей

Руководитель:

Солдатова Ирина Анатольевна -

учитель математики

ХАБАРОВСК  2018 год

Введение

«Математика - это язык, на котором

написана книга природы»

Г. Галилей 

Актуальность работы. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических (или правдоподобных) задач.

Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.

Арифметические способы решения текстовых задач развивают умение анализировать разные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и развивать важные общеучебные умения.

Цель проекта: поиск математических задач в художественной литературе и привлечение внимание других учащихся к задачам из художественной литературы, решение которых способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования. 

Задачи проекта:

1) изучение художественный литературы;

2) подбор художественной литературы для исследования;

3) решение задач и оценка полученных результатов.

Предметом проекта является изучение текстовых задач, приведенных в следующих произведениях:

1. Н.Н. Носов «Федина задача»;
2. А.П. Чехов «Репетитор»;
3. Н.Н. Носов «Витя Малеев в школе и дома»;
4. Л. Гераскина «В стране невыученных уроков»;
5. А. Аверченко «Экзаменационная задача».

Структура работы включает в себя: введение, основную часть и  заключение.

1. Понятие задачи в математике.

Математика проникает почти во все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В школьном курсе математике, особое внимание уделяется текстовым задачам.

Изучение текстовых задач происходит в начальной и основной школе, но рассматриваются они недостаточно глубоко, таким образом, приобретённые в основной школе навыки и знания решения текстовых задач со временем теряются. Исходя из этого, чтобы верно решить любые текстовые задачи, нам необходимо рассмотреть классификации этих задач, и уже с 5 класса систематизировать и ликвидировать пробелы в знаниях по математике.

Определим прежде всего, что подразумевается под задачей.

Задача — это текст, содержащий численные компоненты. Структура этого текста такова, что в нем можно выделить условие и требование (которое не всегда выражено в форме вопросительного предложения).

Решить задачу — значит выполнить арифметические действия, определенные условием, и удовлетворить требованию задачи.

При решении каждой задачи мы производим небольшое математическое исследование, с помощью которого проверяется наша сообразительность и способность к логическому мышлению.

Текстовые задачи мы можем условно классифицировать по типам:

• задачи на числовые зависимости;
• задачи, связанные с понятием процента;
• задачи на «движение»;
• задачи на «концентрацию смесей и сплавов»;
• задачи на «работу» и т. д.

По методу решения:

• алгебраический метод
• геометрический метод.

Решение текстовых задач делится на несколько этапов:

• выбор неизвестных;
• составление уравнений;
• нахождение неизвестных или нужной комбинации неизвестных;
• отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Иногда при решении сложных задач трудно с самого начала определить количество вводимых неизвестных. Выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Поэтому все соотношения должны из конкретных условий задачи, т. е. необходимо каждое условие представить в виде уравнения или записать иным образов в виде математической модели.

1. Методы решения текстовых задач.

Существуют различные методы решения текстовых задач:

• арифметический,
• алгебраический,
• геометрический,
• логический,
• практический и др.

В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

Дадим краткую характеристику первых трех методов решения текстовых задач, которые наиболее часто встречаются в школьном курсе математики.

Арифметический метод.

Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если её решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.

        Алгебраический метод. 

В науке данный метод трактуется как метод буквенных вычислений. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для её решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

        Геометрический метод. 

Он состоит в том, что логическое доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением, иногда доказательство или решение видно из наглядной картины. Под геометрическим методом решения алгебраических задач будем понимать в дальнейшем метод решения, заключающийся в использовании геометрических представлений (изображений), законов геометрии и элементов аналитических методов (уравнений (неравенств)).

2. Как составить математическую задачу.

Изучив рекомендованную литературу, я составил памятку для составления задачи, поскольку чтобы изучить задачи, использованные в литературе, мы должны явно понимать суть всего определения.

 Памятка учащимся:

1) Сбор фактических данных.

Каждую задачу необходимо сопроводить исторической справкой, содержащей цифровые данные.

2) Процесс составления задачи.

Из исторической справки надо выбрать математическое содержание и тип задачи. Задача должна решаться средствами арифметики или с помощью уравнения и относиться к одной из следующих тем:

– Действия с натуральными числами.

– Единицы измерения длины, площади.

– Действия с дробями с одинаковыми знаменателями.

– Нахождение части числа и числа по его части.

- Нахождение части, которую одно число составляет от другого.

 3) Формулировка условия задачи.

Надо, чтобы задача была интересной, понятной и звучала корректно с точки зрения как математики, так и краеведения.

Как работать над формулировкой задачи:

а) выписать из исторической справки все числовые данные и установить зависимости между числами или выяснить, во сколько раз (на сколько) одно число отличается от другого;

б) составить условие задачи в виде схемы, сформулировать условие и вопрос задачи;

в) решить задачу выбранным методом или получить ответ, выполнив следующие действия…

4) Правильное оформление задачи.

Требования:

– наличие исторической справки;

– корректность формулировки условия;

– наличие подробного решения;

– подготовка слайдов с иллюстрациями, соответствующими историческим фактам, на основе которых составлена задача.

1. Математические задачи в художественной литературе

Математические задачи в художественных произведениях – это задачи, которые ставят перед своими героями авторы некоторых романов, повестей, рассказов, и которые зачастую играют определяющую роль в оценке характеров и способностей героев, а также заставляют читателя самого поломать голову над их решением.

Я выбрал несколько художественных произведений, содержащих математические задачи,  попробовал их решить самостоятельно, а также предложил для литературных героев задачи, придуманные мною. Вот что у меня получилось.

1. А.П. Чехов «Репетитор»

В этом рассказе главные герои – гимназист VII класса Егор Зиберов и его ученик, Петя Удодов, – на уроке арифметики сталкиваются с задачей, которая их обоих заводит в тупик: «Купец купил 138 арш. черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?». 

При решении этой задачи герои Чехова никак не могут понять, арифметическая это задача, или алгебраическая, и с какой стороны к ней подойти.

Так как же можно решить эту задачу? Оказалось, что ее можно решить как алгебраическим способом, так и арифметическим.

1 способ – алгебраический:

х – количество синего сукна по 5 рублей за аршин.

138 – х – количество чёрного сукна по 3 рубля за аршин.

1) (138 – x) Х 3 + 5х = 540

414 – 3х + 5х = 540

2х = 126

х = 126 : 2

х = 63 (арш.)

2) 138 – 63 = 75 (арш.)

Ответ: 63 аршина синего сукна и 75 аршин чёрного сукна.

2 способ – арифметический:

Предположим, что купец купил поровну черного и синего сукна:

1. 138 : 2 = 69 (арш.)

Тогда стоимость всего синего сукна (по 5 рублей за аршин) составила:

2) 69 х 5 = 345 (руб.)

А стоимость всего черного сукна (по 3 рубля за аршин) составила:

3) 69 х 3 = 207 (руб.)

Тогда купцу пришлось бы потратить на покупку синего и черного сукна всего:

4) 345 + 207 = 552 (руб.)

А это на 12 рублей больше, чем на самом деле потратил купец:

5) 552 – 540 = 12 (руб.);

Известно, что синее сукно дороже черного на 2 рубля. Поэтому можно сделать вывод, что синего сукна (более дорогого) купили меньше черного на 6 аршин:

6) 12 : 2 = 6 (арш.)

Следовательно, синего сукна купили 63 аршина:

7) 69 – 6 = 63 (арш.)

А черного сукна – 75 аршин:

8) 138 – 63 = 75 (арш.)

Ответ: 63 аршина синего сукна и 75 аршин черного сукна.

Поскольку задача, предложенная А.П. Чеховым герою своего рассказа, Пете Удодову, оказалась для него слишком сложной, я решил составить для Пети свою задачу, попроще: «Папа купил Пете баранки, с маком и с солью, всего на 105 рублей. Известно, что баранок с солью было в 2 раза больше, чем с маком. Спрашивается, сколько папа купил Пете баранок с маком, сколько с солью, и сколько всего баранок было куплено, если известно, что 1 баранка с маком стоила 3 рубля, 1 баранка с солью – 2 рубля».

Решение:

 х – количество баранок с маком по 3 рубля за штуку;

 2х – количество баранок с солью по 2 рубля за штуку;

1. 3х + 2х Х 2 = 105 (руб.)

3х + 4х = 105

7х = 105

х = 105 : 7

х = 15 (шт.) – куплено баранок с маком.

2. 2 Х 15 = 30 (шт.) – куплено баранок с солью.
3. 30 + 15 = 45 (шт.) – всего.

Ответ: всего куплено 45 баранок, из них 15 баранок с маком и 30 баранок с солью.

2. Н.Н. Носов «Федина задача».

Гораздо проще задачи, рассмотренной в предыдущей главе, задача, предложенная писателем Н.Н. Носовым своему герою Феде Рыбкину в рассказе «Федина задача»:

«На мельницу доставили четыреста пятьдесят мешков ржи, по восемьдесят килограммов в каждом. Рожь смололи, причем из шести килограммов зерна вышло пять килограммов муки. Сколько понадобилось машин для перевозки всей муки, если на каждой машине помещалось по три тонны муки?»

Вот ее решение:

1) 450 х 80 = 36000 (кг) всего привезли ржи на мельницу;

2) 36000:6 х 5 = 30000 (кг) - вышло муки из привезенной на мельницу ржи;

3) 30000 кг = 30 т

4) 30 : 3 = 10 (машин) – потребуется для перевозки всей муки

Ответ: 10 машин понадобилось для перевозки всей муки.

И если бы Федя Рыбкин не отвлекался на посторонние занятия – слушал песни, которые передавались в это время по радио, а немножко подумал, он бы без труда решил эту задачу.

3. Л. Б. Гераскина «В стране невыученных уроков»

Жил-был мальчик по имени Витя Перестукин, ученик 4-го класса, который однажды за один учебный день получил сразу пять «двоек». Витя ленился выполнять домашние задания, за что и попал в «Страну невыученных уроков».

Меня заинтересовала задача по математике, заданная Вите на дом: «5 землекопов вырыли траншею в 100 погонных метров за 4 дня». В тексте нет вопроса к этой задаче, зато известно, что решив эту задачу неправильно, Витя получил ответ «полтора землекопа», а перерешав её правильно – получил ответ «два землекопа».

Вот я и задумался, какой же вопрос должен был стоять к задаче, чтобы в ответе получилось «два землекопа». И оказалось, что вопросов может быть несколько. Приведу пример из двух вопросов.

Но для начала нужно понять, что можно извлечь из имеющихся условий задачи:

1. Узнаем, сколько погонных метров траншеи могут выкопать 5 землекопов за один день:

100 : 4 = 25 (п.м);

2. Затем рассчитываем, сколько погонных метров траншеи может выкопать землекоп за один день:

25 : 5 = 5 (п.м).

Вопрос 1: Сколько землекопов выроют траншею в 100 погонных метров за 10 дней?

3. Зная, сколько может выкопать погонных метров за день один землекоп, рассчитываем количество дней, которое ему потребуется, чтобы выкопать всю траншею:

100 : 5 = 20 (дней);

4. Соответственно, чтобы ускорить работу в 2 раза, потребуется еще один землекоп:

20 : 10 = 2 (землекопа).

Ответ: 2 землекопа.

Вопрос 2: Сколько еще потребуется землекопов, чтобы за 4 дня вырыть траншею в 140 погонных метров?

4. Зная, что 5 землекопов вырыли траншею в 100 погонных метров за 4 дня, остается узнать, сколько потребуется землекопов, чтобы за 4 дня выкопать еще 40 погонных метров:

140 – 100 = 40 (п.м)

5. Зная, сколько может выкопать погонных метров за день один землекоп, рассчитываем количество дней, которое ему потребуется, чтобы выкопать всю траншею:

40 : 5 = 8 (дней);

6. Соответственно, чтобы ускорить работу в 2 раза, потребуется еще один землекоп:

8 : 4 = 2 (землекопа).

Ответ: 2 землекопа.

Чтобы Витя Перестукин потренировался в решении математических задач, я бы предложил ему следующую задачу: «Бригада железнодорожных строителей проложила 2000 погонных метров железнодорожного полотна за 10 дней. Сколько бригад строителей необходимо привлечь, чтобы эту работу выполнить за 5 дней?

1.5. А. Аверченко «Экзаменационная задача»

Главный герой рассказа А. Аверченко «Экзаменационная задача», Семен Панталыкин, мечтатель и фантазер, попадает в непростую ситуацию, когда ему всего за 20 минут необходимо решить «очень трудную» задачу: «Два крестьянина вышли одновременно из пункта А в пункт Б, причем один из них делал в час четыре версты, а другой – пять. Спрашивается, насколько один крестьянин придет раньше другого в пункт Б, если второй вышел позже первого на четверть часа, а от пункта А до пункта Б такое же расстояние в верстах, сколько получится, если два виноторговца продали третьему такое количество бочек вина, которое дало первому прибыли 120 рублей, второму – 80, а всего бочка вина приносит прибыли 40 рублей».

Решение:

Сначала узнаем расстояние между пунктом А и пунктом Б, исходя из условий второй части задачи, т.е. находим общее количество бочек вина, проданных третьему виноторговцу:

1. (120 + 80) : 40 = 5 (бочек)

Таким образом, расстояние от пункта А до пункта Б составляет 5 верст.

Далее рассчитываем, за какое время пройдут это расстояние оба крестьянина:

2. 5 : 5 = 1 (ч) – потратит на дорогу второй крестьянин;
3. 5 : 4 = 1  (ч) – потратит на дорогу первый крестьянин.

Из чего следует, что, если оба крестьянина выйдут из пункта А одновременно, то в пункт Б второй крестьянин придет на  часа раньше первого:

4. 1  -1 =  (ч).

Ответ: Если второй крестьянин вышел из пункта А позже первого на  часа, то в пункт Б оба крестьянина придут одновременно.

Вывод.

Математика - вечное живое дерево науки. С древнейших времён известно, что математика учит правильно и последовательно мыслить, логически рассуждать.

 Цель и задачи поставленные перед началом работы, были выполнены. Для этого были подобранны для исследования отрывки произведений классиков русской литературы XIX-XX веков, в которых рассматривались и были представлены различные математические задачи или ситуации, связанные с этой наукой. 

Благодаря этому проекту, я узнал много нового о математических задачах, показал связь двух наук – математики и литературы, «помог» литературным героям, составив задачи, которые помогли бы им в решении авторских задач.