"Геометрия Н.И.Лобачевского"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное

учреждение Школа № 106

г. Ростов-на-Дону

Научно-исследовательская работа

по теме

"Геометрия Лобачевского "

                                                          Выполнили:  Стригунова Ксения,

Олейник Дарья,

                                                                          ученицы 7 «Б» класса

МБОУ Школа №106

 г. Ростов-на-Дону

  Научный руководитель: Л.А. Олейникова,

                                                                         учитель математики МБОУ Школа №106 г. Ростов-на-Дону

2022 год

2 слайд

Всё.
 Перечёркнуты «Начала»*
 Довольно мысль на них скучала,
 Хоть прав почти во всём Эвклид.

 Но быть не вечно постоянству.
 И плоскость свёрнута в пространство.
 И мир
 иной имеет вид...

3 слайд

Ι. Введение.

При  изучении темы «Параллельные прямые» на уроках геометрии я узнала, что на ряду с геометрией, которую мы изучаем в школе существует еще одна геометрия – геометрия Лобачевского. Мне стало интересно, чем она отличается от геометрии Евклида?  И у меня возник  вопрос: после открытия геометрии Лобачевского как и где применяется она в современной жизни? Ведь мало кто слышал о его геометрии, а если и слышал, то не знает истинного ее применения. Я задалась целью –глубже изучить этот вопрос, поэтому объектом моего  исследования стала геометрия Лобачевского.

   Как оказалось в современном мире геометрия широко применяется в различных  науках: физике, химии, биологии и т.д. Неоценимое  значение геометрия имеет в машиностроении, геодезии, картографии. Геометрия – это неотъемлемая часть нашей жизни. Но так было не всегда. Возникновение геометрии как математической науки произошло позднее и связано с именами греческих ученых Фалеса, Пифагора, Демокрита,  Евклида , живших ещё до нашей эры.

4 слайд

 Предмет моего исследования – изучение сути  геометрии Лобачевского.

Цель исследования:  показать и раскрыть часть творчества выдающегося математика  Лобачевского Н.И., кратко рассмотреть основные положения наиболее известных  его  теорий, которые широко используются в настоящее время  не только в образовании, но  и нашли применение  в области высоких точных технологий, инженерного проектирования в различных областях промышленного производства.

Задачи:Для достижения своей цели мною были поставлены следующие задачи:

- изучить и проанализировать учебную литературу, связанную с жизнью Лобачевского;

- ознакомиться с особенностями его теории;

- рассмотреть применение неевклидовой геометрии в современной жизни.

        Мною выдвинута гипотеза: геометрия Лобачевского не выдумка, а реальность, которая не ограничивается применением  лишь в  математике, она используется в других науках, в окружающем нас мире.

5 слайд

Впервые  ввёл понятие «Аксиома» и применил его к построению геометрии, где сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы). Сегодня мы используем большинство  аксиом Евклида, изложенных в своем знаменитом сочинении «Начала». Много вопросов было по поводу пятого постулата, формулировку которого обычно заменяют аксиомой параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Много веков ученые трудились над  доказательством этого утверждения, у некоторых даже  возникала мысль о невозможности доказательства пятого постулата. Решение этого вопроса было найдено великим русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским. Кроме того, он сделал замечательный вывод: можно построить другую геометрию, отличную от геометрии Евклида. И такая геометрия была построена – геометрия Лобачевского.

6 слайд.

Высокий лоб, Нахмуренные брови. В   холодной   бронзе — отражённый   луч... Но даже неподвижный и суровый, Он, как живой, Спокоен и могуч. Когда-то здесь, на площади широкой, На этой  вот Казанской мостовой, Задумчивый, Неторопливый, Строгий Он шёл на лекции — великий и живой. Пусть новых линий не начертят руки — Он здесь стоит,   взнесённый  высоко, Как утверждение бессмертья своего. Как  вечный  символ  торжества  науки.                              

7 слайд.

Никола́й Ива́нович Лобаче́вский - русский математик, деятель университетского образования и народного просвещения, создатель неевклидовой геометрии. Никола́й Ива́нович Лобаче́вский родился 20 ноября 1792— умер 12 февраля 1856 — русский математик, деятель университетского образования и народного просвещения, создатель неевклидовой геометрии

Н. И. Лобачевский родился в Нижнем Новгороде.  Николай был средним из их троих сыновей.

Отец  Николая Ивановича заболел и рано умер, оставив детей и жену в трудном материальном положении.

В 1802 году мать отдала всех троих сыновей в Казанскую гимназию. Николай окончил гимназию,  показав хорошие знания, особенно по математике.

Еще будучи студентом первого курса, молодой Лобачевский обратил на себя внимание как  необыкновенно способный студент.

8 слайд.

 Открытие Лобачевского в 1826  не получило признания современников, но совершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида, и оказало огромное влияние на развитие математического мышления.  В своей научной работе “ Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных” Лобачевский описал  знаменитую аксиому, противоречащую аксиоме Евклида: через данную точку, лежащую на одной и той же плоскости, что и данная прямая, можно провести бесконечное количество прямых, параллельных данной.

 Визуально, отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида можно представить следующим образом:

9 слайд.

    К открытию новой геометрии пришли три человека:

1) профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский

2) великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс

3) венгерский офицер Янош Бояи  

Своё открытие они  назвали «неевклидовой» геометрией.

Карл Гаусса совершенно не оставил никаких следов систематического изложения своих открытий в области неевклидовой геометрии и при жизни не опубликовал ни одной строчки по этому вопросу. Гаусс слишком боялся уронить свой огромный авторитет в глазах учёного мира.

    Янош Бояи пришёл к открытию неевклидовой геометрии в 1823 г., совсем ещё в молодом в возрасте (21 год) , а опубликовал свои результаты в 1832 г. (позже Лобачевского) в виде приложения к учебнику математики «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики», изданному его отцом Ф. Бояи.  Но, непонятый своими современниками, встретивший сдержанное, нечуткое отношение со стороны Гаусса, он впал в глубокое отчаяние. Больше ни одного произведения по новой геометрии Я. Бояи не опубликовал. Остаток жизни он трагически провёл в нужде, неизвестности и полном одиночестве, пережив и Гаусса, и Лобачевского.

10 слайд.

   Однако всё сделанное в области геометрии Гауссом и Я. Бояи представляет собой лишь первые шаги по сравнению с глубокими и далеко идущими исследованиями Лобачевского. Николай Иванович всю жизнь упорно и настойчиво разрабатывал с разных точек зрения своё учение, довёл его до высокой степени совершенства и опубликовал целый ряд крупных сочинений по новой геометрии. Он не только первый по времени опубликовал своё  открытие,  в 1826 г., но и единственный, кто довел свои исследования до логического завершения. Геометрия, созданная им,  заслужено носит имя Николая Ивановича Лобачевского.

    Геометрия Лобачевского так и не была понята и оценена при жизни самого учёного. Но через несколько десятилетий уже после смерти Лобачевского его открытие привлекло всеобщее внимание математических кругов и послужило могучим стимулом к коренному пересмотру взглядов на основания геометрии.

    Это объясняется тем, что к этому времени самим развитием математики была подготовлена почва к правильному восприятию и пониманию идей Лобачевского и к их дальнейшему углублению и развитию.

11 слайд.

 На следующем слайде представлены виды плоскостей Лобачевского. Они нарушают наше с вами представление о плоскости. Плоскости представляют собой «Седло», вогнутый цилиндр, шар.

12 слайд.

Как показали исследования геометрия Лобачевского в том числе и 5-й постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида ( это вогнутая поверхность, напоминающая седло. Любая теория современной науки считается единственно верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиома современной науки.

1. В геометрии Лобачевского прямые на плоскости либо пересекаются, либо параллельны, либо являются расходящимися.
2. В геометрии Лобачевского сохраняются все теоремы, которые можно доказать без использования аксиомы параллельности.

Евклид впервые в своей книге «Начала» доказал теорему о Сумме углов треугольника, и пользуемся нею до сих пор «Сумма углов треугольника  равна  .» . а геометр Прокл утверждал, что эту теорему впервые доказал Пифагор и его ученики.

13 слайд.

Однако в геометрии Лобачевского  сумма углов любого треугольника меньше 180°.  А  на поверхности шара (плоскость Римана) больше 180 градусов.  При  доказательстве этого факта так же используется аксиома параллельности.

14 слайд.

Докажем эту теорему. Возьмем треугольник с вершинами NLK,  где N –северный полюс,  L – пересечение экватора и нулевого меридиана,  K – пересечение экватора с меридианом в . Получим треугольник, все углы которого . Тоесть треугольник, сумма внутренних углов которого не .

Английский геометр Клиффорд назвал Лобачевского Коперником геометрии. Подобно тому как Коперник разрушил вековечный утверждение о неподвижности Земли, так и Лобачевский разрушил заблуждение о неподвижности единственно мыслимой геометрии.

Еще более высокую оценку подвигу русского математика дал советский ученый В. Каган.

Он писал: "Я беру на себя смелость утверждать, что легче было двинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение".

15 слайд

Решим задачу на плоскости Лобачевского

• Задача 1.
• Дано
  сфера(R;О),
  угол α =45°
  ΔABC
• Найти:
  Сумму углов ΔABC, образованного двумя меридианами и параллелью.
• Решение:
• AC перпендикулярна DF; AB перпендикулярна DF ( как меридианы) => угол β и угол α = 90° =>
• ΔABC = угол α + угол β + угол 1 = (90°·2) + 45°= 225°.
• Ответ:225о

• 16 слайд
• Задача 2.
• Дано:
  сфера(R;О),
  сфера разбита на 8 частей (равных) тремя ортогональными прямыми(перпендикулярными); каждая часть является сферическим треугольником.
• Найти:
  Сумму углов ABC.
• Решение:
• Так как стороны треугольника ортогональны, углы треугольника по 90° => сумма углов ΔABC = 90°· 3 = 270°.
• Ответ: 270°.

17 слайд

• Различия между геометрией Лобачевского  и геометрией Евклида кроются в понимании самой природы пространства.  Физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в бесконечно малых областях его можно считать плоским, евклидовым.

       В наших земных пределах этой кривизной можно пренебречь и пользоваться положениями и теоремами евклидовой геометрии, а при измерении космических расстояний верны теоремы геометрии Лобачевского

На следующем слайде вы видите плоскости Лобачевского в архитектуре зданий и сооружений. и  даже простые чипсы тоже приготовлены как седло Лобачевского

18 слайд

А на этом слайде представлено здание Городской думы, находящееся на улице Большая Садовая в г. Ростове-на-Дону, где в архитектуре  здания можно увидеть треугольник Лобачевского.

19 слайд.

Работая над своей темой нам стало интересно, а знают ли наши одноклассники о геометрии Лобачевского, знают ли аксиому параллельных прямых и что могут сказать о геометрии Евклида. И вот что у нас получилось.

20 слайд.

И в Заключение нашей работы бы хотелось сказать следующее:

Открытие Лобачевского поставило перед наукой по крайней мере два принципиально важных вопроса, не поднимавшихся со времен "Начал" Евклида: "Что такое геометрия вообще? Какая геометрия описывает геометрию реального мира?". До появления геометрии Лобаческого существовала только одна геометрия - евклидова, и, соответственно, только она могла рассматриваться как описание геометрии реального мира. Ответы на оба вопроса дало последующее развитие науки. Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный геометр, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений.

Создание и разработка геометрии Лобачевского поставили вопрос об исследовании всей структуры системы аксиом, как евклидовой геометрии, так и других возникающих к этому времени геометрий и выяснение независимости этих аксиом друг от друга.

Выдающийся вклад Николая Ивановича Лобачевского в различные математические области были признаны как на Родине гения, так и за рубежом.

Трагичен конец жизни великого ученого. Лобачевский потерял зрение и свою последнюю работу Пан-геометрия" диктовал своим ученикам.

 Николай Иванович Лобачевский умер в 1856 году в Казане с верой в то, что его работа будет понята и продолжена учеными будущих поколений.

Лобачевский умер непризнанным. Спустя несколько десятилетий ситуация в науке коренным образом изменилась. Большую роль в признании трудов Лобачевского сыграли исследования Э. Бельтрами , Ф. Клейна, А. Пуанкаре и другие. Появление модели Клейна доказало, что геометрия Лобачевского так же непротиворечива, как и евклидова.

Библиографический список.

Литература

Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. 1792 - 1856.  - В сб.: Люди русской науки.

Web ресурсы

http://znamus.ru/page/Nikolaj_Lobachevskij

http://www.bestreferat.ru/referat-207255.html

http://1matematiki.ru/nikolaj-ivanovich-lobachevskij/

http://www.sonkol.ru/main/494.html

http://www.russer.ru/a/a/lobachevskiy_nikolay_ivanovich_-_drugie_nauchnyie_dostijeniya

http://ru.wikipedia.org/wiki/Лобачевский,_Николай_Иванович#.D0.91.D0.B8.D0.BE.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D0.B8.D1.8F

http://www.piplz.ru/page-id-136.html

http://www.math.ru/history/people/Lobachevskii

Приложение.

I.  Награды и звания Лобачевского.

В течение жизни Н. И. Лобачевский получил за неутомимую и плодотворную служебную деятельность несколько наград:

Таблица 1. Награды и звания.

II. Память.

В России в 1892 году широко отметили 100-летний юбилей Лобачевского. Была учреждена международная премия (Медаль Лобачевского, 1895), в Казани открыт памятник учёному (1896).

20 марта 1956 г. вышел указ президиума Верховного Совета СССР о присвоении Горьковскому (Нижегородскому) университету имени Н. И. Лобачевского.

200-летие Лобачевского отмечалось в 1992 году. Банком России была выпущена памятная монета в серии «Выдающиеся личности России».

В русской научной и научно-популярной литературе, как и в литературе многих других стран, имеется немало сочинений, посвященных неевклидовой геометрии Лобачевского.

В честь Лобачевского названы:

Малая планета № 1858.

Кратер на обратной стороне Луны (9.9°N, 112,6°E).

Научная библиотека Казанского университета.

Улицы в Москве, Киеве, Казани, Липецке и др. городах.

Один из самолётов Аэрофлота.

Школа № 52 во Львове, Украина.

Лицей им. Н. И. Лобачевского при КГУ (Казань).

20 марта 1956 года вышел указ Президиума Верховного Совета СССР о присвоении Горьковскому (Нижегородскому) университету имени Н. И. Лобачевского. Казанский университет, который намного больше заслуживал этой чести, не получил имя Лобачевского, потому что в 1925 году ему было присвоено имя В. И. Ульянова-Ленина (Ленин учился в Казанском университете в 1887 году).