Закономерности случайных событий

27.43.15

ЗАКОНОМЕРНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

Автор: Шустрова Юлия Павловна, учащаяся 9 класса МБОУ СОШ № 12 с углубленным изучением отдельных предметов «Центр образования» г. Серпухова Московской области

Научный руководитель: Жукова Любовь Михайловна, учитель математики

Аннотация.

Как говорил Бертран Рассел: «Математика заключает в себе не только истину, но и высочайшую красоту – красоту холодную и строгую, подобную красоте скульптуры». 

В окружающем нас мире всё время происходят явления, которые заранее невозможно предсказать: это и ядерные реакции, и передача наследственных признаков, и солнечные вспышки… Можно ли какими-либо точными методами изучать случайность? Кажется, что одно исключает другое. Однако существует теория вероятностей, которая всецело посвящена именно теории случайных явлений. Меня заинтересовала эта тема, и я решила провести исследовательскую работу «Закономерности случайных событий».

Annotetion.

As Bertrand Russell said: "Mathematics prossesses not only truth, but supreme beauty – a beauty cold and austere, like that of sculpture." 

In the world around us all the time there are phenomena that cannot be predicted: these are nuclear reactions, and the transmission of hereditary traits, and solar flares ... Is it possible to study randomness using any exact methods? One seems to exclude the other. However, there is a probability theory that is entirely devoted to the theory of random phenomena.

I was interested in this topic, and I decided to conduct a research work "Patterns of random events."

Ключевые слова: теория вероятностей, вероятность

Keywords: probability theory, probability

Теоретическая часть

Актуальность темы:

Теория вероятностей и закон больших чисел утверждают: иногда нужно пытаться снова и снова, чтобы получить желаемый результат. Чем больше пытаешься, тем скорее получится. Если проще: иногда надо просто не сдаваться.

Гипотеза:

С помощью теории вероятностей можно предугадывать и изменять события.

Цель:

Выявить закономерности возникновения вероятностных событий в повседневной жизни.

Задачи:

1. Изучить историю появления теории вероятностей как науки.
2. Рассмотреть вероятностные события в жизни, приводящие к возникновению закономерностей.
3. Обосновать выдвинутую гипотезу эмпирическим способом.
4. Подвести итоги полученных результатов.

История возникновения. По одной из версий в 17 веке был один азартный игрок, француз де Мере, который очень хотел разбогатеть. Однажды он обратился к своему другу, известному математику и философу Б. Паскалю с вопросом: «Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?». Паскаль попросил помощи у математика П. Ферма и они вместе стали заниматься этой проблемой. Таким образом и появилась теория вероятностей. Полное обоснование она получила в 1922 году. Этому способствовали русские математики, а именно  П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов и А.А.  Марков. В наши дни она широко применяется во многих областях: при прогнозировании погоды, в статистике, биологии, экономике и т. д.

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели» - Г. Лейбниц. Это высказывание иллюстрирует теорию вероятностей.

Основная часть

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Виды событий:

Достоверное событие – событие, которое обязательно произойдёт. 

Случайное событие – событие, которое может произойти, а может и не произойти. 

Невозможное событие – событие, которое не может произойти. 

Классическая формула для вычисления вероятности случайного события: P=m/n, где m – число благоприятных исходов, а n – число всех возможных исходов.

Вероятность события никогда не будет больше 1 или меньше 0. Она равна 0 у событий, которые не могут произойти.

Вероятность равна 1, если мы говорим о событиях, которые точно произойдут. В нашем примере это вероятность того, что «все числа будут делиться на 1»

Рассмотрим теорию вероятностей на примере задачи из ОГЭ по математике.

Задача:

Витя выбрал трёхзначное число. Нужно найти вероятность того, что оно делится на 5.

Решение:

Вычислим вероятность с помощью формулы.

Общее число всех возможных исходов: 900 (всего существует трёхзначных чисел).

Число благоприятных для события «А» исходов: 180 (количество чисел, делящихся на 5).

P(A)=180/900=0,2

Ответ: 0,2

Закон больших чисел (ЗБЧ) — это обобщённое название нескольких теорем, описывающих результат выполнения одного и того же опыта много раз. К ним относятся теоремы Чебышева (наиболее общий закон больших чисел) и Бернулли (простейший). Согласно закону, среднее значение конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.

В основе доказательства теорем лежит неравенство Чебышева:

Примером этого закона  может служить обычное бросание монетки. Теоретически и орел, и решка могут выпасть с одинаковой вероятностью 50%. Например, если бросить монетку 20 раз, 10 из них должен выпасть орёл и 10 – решка. Но на практике это обычно не работает, ведь частота выпадения может быть 4 к 6, 3 к 7 и т.д. Однако с увеличением количества бросков монетки, к примеру, до 1000, вероятность выпадения орла или решки будет 1\2. Согласно закону больших чисел, если бросать монетку бесконечно, вероятность выпадения орла или решки всегда будет стремиться к 50%

Также задания на эту тему присутствуют в ЕГЭ по математике.

Теория вероятности в жизни:

1. Многие боятся летать на самолётах, потому что считают, что они опасны.  Но на самом деле машины намного опаснее. Вероятность того, что человек, погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8000000. Таким образом, если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21000 лет, чтобы погибнуть. На самом деле опаснее переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете.

Или другой пример – от падения кокосов погибает около 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма «Кокос-убийца» пока не снято. Подсчитано, что шанс человека встретиться с акулой составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такой встречи  1 к 264,1 млн. Среднегодовое количество утонувших в США составляет 3306 человек, а погибших от акул 1.

2. Азартные игры. Это игры в кости, лотереи, карточные игры и т.д. В их основе лежит вероятность. По подсчётам, вероятность выиграть в «Гослото 5 из 36» равна 1 к 376 992, а в международную лотерею «PowerBall» - 1 к 175 223 510.

2 полушария мозга. Правши и левши.

Около 10% населения Земли – левши, 89% - правши. Отличие левшей от правшей проявляется не только в ведущей руке, но и в том, какое полушарие мозга задействовано активнее. Как правило, у левшей оно правое, а у правшей – левое.

Левое полушарие мозга отвечает за логическое и аналитическое мышление, математические способности, контроль за движениями правой половины тела. А правое полушарие специализируется на интуиции, пространственной ориентации, воображении, творческих способностях и контролирует движения левой половины тела.

Учёные выяснили, что, выполняя привычные действия, человек подсознательно выбирает более удобную для себя сторону — сторону рабочей руки.  Например, если левша увидит двух одинаково привлекательных для себя людей, он инстинктивно подойдёт к человеку, стоящему справа. Это же проявляется во многих других вещах: в магазине правша из двух одинаковых продуктов выберет правый, а левша – левый.

Около 1% населения Земли – амбидекстры. Это люди, у которых одинаково активно используются оба полушария мозга.  Они способны одинаково эффективно и быстро писать обеими руками.  Считается, что если развивать амбидекстрию, можно улучшить мозговую деятельность.

Практическая часть.

Парадокс дней рождения. Существует одна теория: «Представьте группу из 23 человек. Какова вероятность того, что хотя бы два человека из них отмечают день рождения в один день?»

Интуитивное мышление сразу подсказывает, что это можно легко проверить по формуле теории вероятностей: Р(А)=23/365=0,063…

Но на самом деле всё далеко не так. Вероятность такого события равна 0,5073… Разберёмся, почему это так.

Дело в том, что если взять двух человек, то вероятность совпадения дней рождения действительно равна Р(А)=1/365=0,003, но если людей больше, то их уже нужно учитывать не по отдельности, а попарно. Таким образом, из 23 человек можно составить 253 пары. Вероятность того, что хотя бы в одной паре дни рождения совпадут, конечно, намного больше, и рассчитывается она именно так:

Учтём, что существует только 2 возможности: либо у кого-то дни рождения совпадают, либо вообще все родились в разные дни (ни у кого дни рождения не совпадают). 100% будет либо так, либо так. Тогда давайте найдём вероятность второго исхода, вычтем результат из 100% и получим искомое (хотя бы у двоих человек день рождения будет в один день).

Начнём с 2 человек, там всё просто. Первый может родиться в любой день в году. Тогда второму остаётся 364 дня, ведь 1 уже занят. Вероятность несовпадения дней рождения у них составляет P(A)=364/365. Если человека 3, то второму остаётся 364 дня, а третьему 363 (ведь 2 уже занято). Всё это должно произойти одновременно, поэтому общая вероятность находится умножением (364/365 * 363/365), то есть для 3 человек вероятность несовпадения дней рождения равна 0,9917…

Таким образом, можно наращивать кол-во людей, и каждому будет доставаться на 1 день меньше. Когда мы дойдём до 23 человек, не совпадать дни рождения будут 0,4927. Значит в остальных случаях (0,5073) хотя бы у двух из них дни рождения совпадут.

Что интересно, растёт эта вероятность очень быстро. Когда в группе 60 человек, она достигает уже 0,99.

Мы решили проверить эту теорию в нашей школе. Всего у нас 36 классов.  Из них в 22 хотя бы у 2 человек совпадают дни рождения. Это связано с тем, что в наших классах не 23 человека, а чуть-чуть больше, и, соответственно, вероятность совпадения дней рождения возрастает. Также мы решили проверить группы из 2 классов (более 60 человек) и в каждой группе дни рождения совпадали у 2, а то и у 4-6 человек.

Результаты

В ходе моей исследовательской работы я познакомилась с закономерностями случайных событий, теорией вероятности и способами их применения в жизни. Я узнала много новых и интересных фактов, о которых не знала раньше. В дальнейшем я продолжу работу по данной теме, но уже более углубленно.

Выводы

Во время создания этой работы, я увидела, насколько широко применяется теория вероятности и как она влияет на нашу жизнь. Данный материал можно использовать на уроках математики при изучении темы «Элементы комбинаторики и теории вероятностей», а также при подготовке к итоговой аттестации.

Список используемых источников

1. Скороход, А. В. Вероятность вокруг нас [Текст]/ А. В. Скороход // Советский математик. – 1980. – С. 1

2. Балдин, К. В. Теория вероятностей и математическая статика [Текст]/ К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев / – 2009. – С. 9

3. Денежкина, И. Е. Теория вероятностей и математическая статика в вопросах и задачах [Текст] / И. Е. Денежкина, С. Е. Степанов, И. И. Цыганок / – 2019. – С. 13