Исследовательская работа "Изучение равновеликости и равносоставленности геометрических фигур"

1. Муниципальное образовательное бюджетное учреждение
2. «Сясьстройская средняя общеобразовательная школа №1»

1. Проект
2. Изучение равновеликости
3. и равносоставленности геометрических фигур

Выполнили:

Мищенко Екатерина, Цветков Александр,

 Баженов Илья, Ростиславина Юлия, Зуев Алексей

Руководитель проекта:

Янгузова Екатерина Николаевна

г. Сясьстрой

2019

4. Содержание

Введение

Изучая на уроках геометрии площади многоугольников, мы столкнулись при доказательстве формул с использованием метода «разбиения», когда из одной плоской фигуры получаем другую. Метод заключается в том, что, разрезав определённым образом данный многоугольник на некоторое число частей, можно расположить эти части так, что составится иной многоугольник.

И, что примечательно, площадь нового многоугольника будет равна площади исходного. Нас это очень заинтересовало. Так возникла идея нашего проекта.

Мы поставили перед собой цель получить систематизированные знания и понятия о свойствах равновеликих и равносоставленных фигурах.

Однако, нами выявлено противоречие: между  намерением узнать что такое равновеликие и равносоставленные геометрические фигуры и отсутствием информации по этой теме в нашем учебнике геометрии.

С учётом гипотезы для достижения цели были определены следующие задачи:

1)  Теоретическая: изучить научно-популярную литературу.

2) Практическая: создание макетов равновеликих и равносоставленных геометрических фигур, решение задач

3)  Творческая: создание методической копилки.

.

Глава 1. Теоретические основы

1. Равновеликие  геометрические фигуры. Определение

Равновеликие фигуры — плоские (пространственные) фигуры одинаковой площади (объёма).

Мы знаем, что две фигуры называют равными, если одну из них можно так наложить на вторую, что эти фигуры совпадут. А значит и площади будут выражаться одним и тем же числом. Но, существуют фигуры, которые не совпадают при наложении, а вот их площади равны. Так вот, такие фигуры называются равновеликими.

Если фигуры равны, то равны их значения площадей, то есть равные фигуры равновелики. Но равновеликие фигуры далеко не всегда равны.

Например, на рисунке изображены квадрат и равнобедренный треугольник, составленные из равных прямоугольных треугольников. Понятно, что квадрат и треугольник равновелики, но не равны, поскольку не совмещаются наложением.    

Находить равновеликие треугольники в фигурах помогают формулы для вычисления площади треугольника.

1.2 Равносоставленные геометрические фигуры и их свойства.

Многоугольники называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части. А их площадь будет равна сумме площадей каждой части.

Обычно понятие равносоставленности применяется только к многоугольникам и многогранникам.

Говоря о равносоставленности, необходимо отметить Леммы, с помощью которых доказывается теорема Я.Бойяи – Гервина.

Лемма 1. Если фигура А равносоставлена с фигурой В, а фигура В равносоставлена с фигурой С, то фигуры А и С также равносоставлены.

Действительно, проведем на фигуре В линии, разбивающие ее на такие части, из которых можно составить фигуру А (сплошные линии на рис. 3, а);

рис.3     а)                          рис.3   б)

проведем, кроме того, линии, разбивающие фигуру В на части, из которых можно составить фигуру С (сплошные линии на рис. 3, б). Те и другие линии вместе разбивают фигуру В на более мелкие части, причем ясно, что из этих более мелках частей можно составить и фигуру А, и фигуру С. Таким образом, фигуры А и С равносоставлены.

Лемма 2. Всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником. В самом деле, пусть АВ— наибольшая сторона треугольника АВС (рис. 4),

                                                               рис.4

 CD— опущенная на нее высота. Тогда точка D находится между А и В (иначе один из углов А или Е! В был бы тупым, и сторона АВ не была бы наибольшей; (рис. 5). Через середину высоты СD проведем прямую, параллельную АВ, опустим на эту прямую перпендикуляры АЕ и ВF. Тогда мы получим прямоугольник AEFВ, который равносоставлен с треугольником АВС. Действительно, треугольники, помеченные на рис.4 цифрой 1 и цифрой 2, равны между собой. Каждая же из фигур АВС, AEFB состоит из заштрихованной на рисунке 5 трапеции и двух треугольников 1, 2.

рис.5

Лемма З. Два параллелограмма, имеющих общее основание и одинаковую площадь, равносоставлены. Пусть АВСD и АВЕF—два параллелограмма, имеющих общее основание АВ и одинаковую площадь. Тогда высоты ЭТИХ параллелограммов одинаковы. На прямой АВ отложим последовательно ряд отрезков, равных отрезку АB и через

рис. 6.

каждую точку деления проведем прямые, параллельные отрезкам AD и АF. Тогда полоса между параллельными прямыми АВ и DE разобьется на ряд многоугольников (рис. 6). Каждый из этих многоугольников при сдвиге на отрезок, равный АВ, совмещается с другим равным ему многоугольником. Равные многоугольники на черт. 9 отмечены одинаковыми цифрами. Остается заметить, что каждый из параллелограммов АВCD, АВЕF содержит одну часть, помеченную цифрой 1, одну часть, помеченную цифрой 2, цифрой З, и т. д. Таким образом, эти параллелограммы равносоставлены.

Лемма 4. Два прямоугольника, имеющих равную площадь, они равносоставлены.

Лемма 5. Всякий многоугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником.

Всякий многоугольник (безразлично, выпуклый или невыпуклый) можно разбить на конечное число треугольников.

,  рис.8

                                                                                                                   рис.9.              рис. 10.

Обозначим их цифрами 1, 2, З, (рис.9). Возьмем, далее, произвольный отрезок АВ и в его концах восставим перпендикуляры АС и BD (рис. 10). Проведем отрезок АB1, параллельный АВ, таким образом, чтобы площадь прямоугольника АВВ1А1 была равна площади треугольника 1. Тогда треугольник 1 и прямоугольник АВВ1А1 (помеченный цифрой 1) равносоставлены. Действительно, треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником (лемма 2), который  в свою очередь равносоставлен с прямоугольником 1, имеющим ту же площадь (лемма 4); поэтому (лемма 1) треугольник 1 и прямоугольник I равносоставлены. Далее, построим отрезок , параллельный АВ, таким образом, что прямоугольник А1 В1 В2 А2 , помеченный цифрой П, равновелик треугольнику 2. Тогда треугольник 2 и прямоугольник II равносоставлены. Затем мы построим прямоугольник III, равносоставленный с треугольником З, и т. д. Построенные прямоугольники 1, И, III, . . . составляют вместе один прямоугольник (заштрихованный на рис. 10), который по построению равносоставлен с исходным многоугольником.

1.3  Теорема Я.Бойяи - Гервина про равновеликие и равносоставленные многоугольники.

Венгерский математик Я. Бойяи (1832) и немецкий математик-любитель  П. Гервин (1833) доказали, что равновеликие многоугольники являются равносоставленными. Поэтому разрезанием их на части и перекладыванием полученных частей  можно любой многоугольник превратить в равновеликий ему квадрат.

Эквивалентным понятию равносоставленности является понятие равнодополняемости, которое лежит в основе «метода дополнения», т. е. дополнения двух фигур равными частями так, чтобы получившиеся после такого дополнения фигуры были равны.

Теорема Я.Бояй—П.Гервина:

«Два многоугольника, имеющих равные площади равносоставлены».

Доказательство:

Согласно лемме 5 каждый из многоугольников равносоставлен с некоторым прямоугольником. Полученные два прямоугольника имеют одинаковую площадь и, следовательно, равносоставлены (лемма 4). Таким образом (лемма 1), два исходных многоугольника равносоставлены.

Пользуясь  леммой, теорему можно свести к более простой:

«Любой многоугольник равносоставлен прямоугольнику той же площади с единичной высотой».

Последнее утверждение доказывается пошагово сведением задачи к разным частным случаям. Во-первых, рассматривается разбиение геометрического объекта на   геометрические фигуры, являющиеся n-мерными обобщениями треугольника. Многоугольника, что позволяет свести задачу к аналогичному утверждению только для треугольников (получившиеся прямоугольники можно будет просто соединить ввиду одинаковой высоты). Далее треугольник через отсечение верхней части, разбиении её на две части по линии высоты и приклеивание их по бокам к нижней части оказывается равносоставлен некоторому прямоугольнику.

Последним шагом в доказательстве теоремы является доказательство равносоставленности любых двух прямоугольников одинаковой площади. Это достигается через указание равносоставленности всех параллелограммов с одинаковой длиной основания, и через преобразование таким образом одного прямоугольника в параллелограмм с длиной боковой стороны, равной одной из сторон второго прямоугольника.

Для теоремы Я.Бойяи-Гервина справедлива и обратная теорема: «Если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены».

Понятие равносоставленности лежит в основе «метода разбиения», применяемого для вычисления площадей многоугольников: параллелограмм «разрезанием и перекладыванием» сводят к прямоугольнику, треугольник — к параллелограмму, трапецию — к треугольнику.

В связи с теоремой Бойяи-Гервина возникает вопрос о наложении дополнительных ограничений на число или расположение частей, из которых составляются равновеликие многоугольники. Например, представим себе плоскость в виде листа цветной бумаги, у которого одна сторона красная, а другая — белая. Если из такой бумаги вырезаны два равновеликих красных многоугольника, то возникает вопрос, можно ли один из них разрезать на части, из которых удастся сложить красный многоугольник, равный второму. Части разрешается перекладывать, не переворачивая их на белую, изнаночную сторону. Ответ на этот вопрос также утвердителен.

Вариант этой задачи был предложен на одной из московских математических олимпиад в следующей шуточной форме. Чудак — кондитер испек торт (а у торта, в отличие от пряника, верхняя сторона покрыта кремом) в форме разностороннего треугольника. Сделали и коробку к торту, но по недосмотру склеили её неверно, так что торт и коробка оказались симметричными друг другу. Нужно (по возможности экономно) разрезать торт на части, которые удалось бы уложить в эту коробку. Разумеется, части торта нельзя укладывать кремом вниз на конечное число кусков, что их удастся вложить в эту коробку.

Интересный результат, связанный с наложением дополнительных требований на расположение частей, был получен в 1952 г. швейцарскими математиками Г. Хадвигером и П. Глюром: равносоставленность двух равновеликих многоугольников может быть установлена при помощи таких разбиений, в которых соответствующие части имеют параллельные стороны. На первый взгляд это кажется даже неправдоподобным: трудно поверить, что два равных треугольника, повернутые друг относительно друга на произвольный угол всегда можно разбить на равные части с соответственно параллельными сторонами. Тем не менее, существует такое разбиение этих треугольников, что части, на которые разбит один треугольник, получаются из соответствующих частей второго треугольника параллельными переносами или центральными симметриями. То же справедливо для любых двух равновеликих многоугольников. Однако одними только параллельными переносами частей обойтись не удается. Например, как бы мы ни разрезали параллелограмм на части, невозможно параллельными переносами составить из этих частей треугольник.

 1.4. Проблема Гильберта                                                                                                                                                 

В августе 1900 года в Париже состоялся II            Международный Конгресс математиков. Он мог бы пройти незамеченным, если бы на нем не выступил немецкий ученый, профессор Давид Гильберт, который в своем докладе поставил 23 самые главные на тот момент, существенные проблемы, касающиеся математики, геометрии, алгебры, топологии, теории чисел, теории вероятностей и пр.

К числу решенных проблем, поставленных Гильбертом, с полным правом относится проблема равенства равновеликих многогранников (тетраэдров).

1.5 Практическое применение равновеликости и равносоставленности  плоских геометрических фигур

Древняя Греция отличалась особым развитием в области геометрии плоских фигур. Открытие учеными свойств многих фигур использовалось в практической деятельности. Примером применения геометрических свойств стало составление мозаики. Мозаичные изображения составлялись из подручных материалов геометрической формы.

В средние века для составления мозаик стали использовать стекла. Но выдувать стекла большого размера не умели, поэтому рамы в картинах были свинцовыми, с мелкими ячейками. Стеклышки располагались в определенном порядке, из которых получался витраж. В наши дни витражи можно увидеть в древних церквях и соборах. Активно используются витражи и в современном искусстве. Картины, которые можно составить с помощью мозаики и витражей, основаны на свойствах равносоставленности.  

Эти свойства применяют и при изготовлении детских игрушек. Одной из таких игрушек является калейдоскоп. Действие цветного изображения, увиденного в калейдоскопе, завораживает воображение ребенка, помогает ему развить свою фантазию и внимание. По такому же принципу собираются в фигуру детали «Лего» - конструктора.

На принципе равносоставленности и равновеликости строится и детская игра-головоломка «Танграм». Она родилась в Китае более 3000 лет назад. Из 7 элементов, на которые разделен квадрат, можно составить множество различных предметов и фигур животных.

Начертите на картоне вот такой квадрат и разделите его на части. Для начала попросите ребенка сложить из этих кусочков снова квадрат. Лучше, если ребенок справится с заданием, не глядя на рисунок квадрата. Но если не получается, то, конечно же, можно воспользоваться образцом.

Из этих фигур выкладываются самые разные силуэты. Ребенку проще сделать это, пользуясь образцами с прорисованными составными частями. Контурные образцы более сложны для воспроизведения.

Очень полезны реальные рисунки тех предметов, силуэтное изображение которых создается с помощью игры-головоломки. В этом случае ребенку будет легче представить изображаемый объект и, может быть, составит свой вариант. Подобные занятия полезны при подготовке детей к обучению в школе.

Выводы к главе 1:

1. Теорема Я. Бойяи-Гервина гласит: «Любой многоугольник можно так разрезать на части, что из этих частей удастся сложить квадрат».
2. Любые два равновеликие многоугольника равносоставлены.
3. Зная теорию о равновеликих и равносоставленных плоских фигурах, можно эффективно использовать знания в практической деятельности.

Глава 2. Практическая работа

2.1 Решение задач:

В ходе работы над темой, нами были решены логические задачи на разрезание, перекраивание и составление, в которых исходная фигура разрезается на определенное число элементов, из которых составляется та или иная фигура. (Смотри приложение 1)

2.2 Создание макетов равновеликих и равносоставленных геометрических фигур.

Нами были созданы макеты геометрических фигур для решения задач на данную тему.

2.3 Создание методической копилки

Результатом работы над темой является создание методической копилки. Она будет использоваться учениками на уроках геометрии как наглядное пособие и раздаточный материал при решении задач на разрезание, на перекраивание и на доказательство теорем во время изучения темы «Площадь многоугольников».

Выводы к главе 2. Зная свойства равновеликих и равносоставленых многоугольников можно составлять и решать занимательные задачи на разрезание, на перекраивание геометрических фигур. Это способствует развитию логического мышления.

Заключение.

Изучая литературу, указанную в списке, и проанализировав  теоретический материал  по теме, нами были определены  такие  понятия, как:

• равновеликие и равносоставленные геометрические фигуры,
• теорема Я.Бойяи-П.Гервина
• головоломка «Танграм»
• задачи на разрезание и перекраивание

Свойства равносоставленности помогают в бытовой и практической деятельности. Например, с помощью этих свойств мы сможем составлять кружевные рисунки, разбивать домашний минипарк, красиво оформлять цветочные клумбы, оригинально располагать грядки на пришкольном участке, создавать игры для детей.

Но главная их функция-помочь ученикам в изучении геометрии: нахождение площадей плоских многоугольников, доказательств теорем, развитие логического мышления.

Таким образом,  цель проекта достигнута, поставленные в проекте задачи решены.

Выдвинутая нами гипотеза подтверждена: все равновеликие многоугольники равносоставлены.

Список литературы

В. Г. Болтянский. Равновеликие и равносоставленные фигуры, М., 1956

Энциклопедия элементарной математики, книга 5, М., 1966

 А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир Геометрия, 8. «Когда сделаны уроки» - издательство «Вентана-Граф», 2013.

В.Литцман. Теорема Пифагора. -М.:Государственное издательство физико-математической литературы, 1956

[Электронный ресурс ] http :// www.kvant.info. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант»,1980, №6

[Электронный ресурс ] https://sitekid.ru/matematika/problemi_gilberta.html

Приложение 1

Задачи на разрезание

Задача 1.

Начертите параллелограмм разрежьте его так, чтобы при разрезании его на 2 части можно было сложить из них прямоугольник.

Задача 2.

У нас есть греческий квадрат разрежем его на такие части чтобы из них можно было составить равновеликий ему квадрат.

Задача 3.

Нарисуйте равнобедренный треугольник разрежьте его на две части чтобы из них можно было сложить прямоугольник

Задача 4.

Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке 1, на четыре равные части.

Задачи на доказательство

Задача 2.

Шестиугольник, изображенный на рисунке 2, разрежьте на две части, из которых можно сложить квадрат.

Задача 3.

Используя разрезание, докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению его наибольшей и наименьшей диагоналей.

Задачи на перекраивание

Задача 1.

Даны два квадрата. Разрежьте один квадрат на четыре части, и из этих частей и другого квадрата сложите квадрат.

Задача 2

На какие две части нужно разрезать трапецию, чтобы затем сложить из них прямоугольник?  (рис.3)                                                

Задача 3

На какие три части нужно разрезать трапецию, чтобы затем сложить из них прямоугольник?(рис.4)

(рис.3)                                                     (рис.4)

 Введение

Изучая на уроках геометрии площади многоугольников, мы столкнулись при доказательстве формул с использованием метода «разбиения», когда из одной плоской фигуры получаем другую. Метод заключается в том, что, разрезав определённым образом данный многоугольник на некоторое число частей, можно расположить эти части так, что составится иной многоугольник.

И, что примечательно, площадь нового многоугольника будет равна площади исходного. Нас это очень заинтересовало. Так возникла идея нашего проекта.

Мы поставили перед собой цель получить систематизированные знания и понятия о свойствах равновеликих и равносоставленных фигурах.

Однако, нами выявлено противоречие: между  намерением узнать что такое равновеликие и равносоставленные геометрические фигуры и отсутствием информации по этой теме в нашем учебнике геометрии.

С учётом гипотезы для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1)  Теоретическая: изучить научно-популярную литературу.

2) Практическая: создание макетов равновеликих и равносоставленных геометрических фигур, решение задач

3)  Творческая: создание методической копилки.

Глава 1. Теоретические основы

1. Равновеликие  геометрические фигуры.

Равновеликие фигуры — плоские (пространственные) фигуры одинаковой площади (объёма).

Мы знаем, что две фигуры называют равными, если одну из них можно так наложить на вторую, что эти фигуры совпадут. А значит и площади будут выражаться одним и тем же числом. Но, существуют фигуры, которые не совпадают при наложении, а вот их площади равны. Так вот, такие фигуры называются равновеликими.

Если фигуры равны, то равны их значения площадей, то есть равные фигуры равновелики. Но равновеликие фигуры далеко не всегда равны. Например, на рисунке изображены квадрат и равнобедренный треугольник, составленные из равных прямоугольных треугольников. Понятно, что квадрат и треугольник равновелики, но не равны, поскольку не совмещаются наложением.    

Из формулы для вычисления площади треугольника вытекают полезные факты, позволяющие находить равновеликие треугольники в фигурах.

1.2 Равносоставленные геометрические фигуры и их свойства.

Многоугольники называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части. А их площадь будет равна сумме площадей каждой части.

Обычно понятие равносоставленности применяется только к многоугольникам и многогранникам.

1.3  Теорема Я.Бойяи - Гервина про равновеликие и равносоставленные многоугольники.

Венгерский математик Я. Бойяи (1832) и немецкий математик П. Гервин (1833) доказали, что равновеликие многоугольники являются равносоставленными.. Поэтому разрезанием на части и перекладыванием их можно любой многоугольник превратить в равновеликий ему квадрат. Понятие равносоставленности лежит в основе «метода разбиения», применяемого для вычисления площадей многоугольников: параллелограмм «разрезанием и перекладыванием» сводят к прямоугольнику, треугольник — к параллелограмму, трапецию — к треугольнику.

Эквивалентным понятию равносоставленности является понятие равнодополняемости, которое лежит в основе «метода дополнения», т. е. дополнения двух фигур равными частями так, чтобы получившиеся после такого дополнения фигуры были равны.

Теорема Бояй—Гервина:

«Два многоугольника, имеющих равные площади равносоставлены».

Доказательство: Согласно лемме 5 каждый из многоугольников равносоставлен с некоторым прямоугольником. Полученные два прямоугольника имеют одинаковую площадь и, следовательно, равносоставлены (лемма 4). Таким образом (лемма 1), два исходных многоугольника равносоставлены.

Пользуясь  леммой, теорему можно свести к более простой:

«Любой многоугольник равносоставлен прямоугольнику той же площади с единичной высотой».

Для теоремы Я.Бойяи-Гервина справедлива и обратная теорема: «Если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены».

Понятие равносоставленности лежит в основе «метода разбиения», применяемого для вычисления площадей многоугольников: параллелограмм «разрезанием и перекладыванием» сводят к прямоугольнику, треугольник — к параллелограмму, трапецию — к треугольнику.

1.4. Проблема Гильберта.

1.5  Практическое применение равновеликости и равносоставленности  плоских геометрических фигур

Древняя Греция отличалась особым развитием в области геометрии плоских фигур. Открытие учеными свойств многих фигур использовалось в практической деятельности. Примером применения геометрических свойств стало составление мозаики. Мозаичные изображения составлялись из подручных материалов геометрической формы.

В средние века для составления мозаик стали использовать стекла. Но выдувать стекла большого размера не умели, поэтому рамы в картинах были свинцовыми, с мелкими ячейками. Стеклышки располагались в определенном порядке, из которых получался витраж. В наши дни витражи можно увидеть в древних церквях и соборах.

Активно используются витражи и в современном искусстве. Картины, которые можно составить с помощью мозаики и витражей, основаны на свойствах равносоставленности.

Эти свойства применяют и при изготовлении детских игрушек. Одной из таких игрушек является калейдоскоп. Действие цветного изображения, увиденного в калейдоскопе, завораживает воображение ребенка, помогает ему развить свою фантазию и внимание. По такому же принципу собираются в фигуру детали «Лего» - конструктора.

Различие в комбинации исходных базовых элементов порождает целый класс головоломок.

Всем ли известно, что такое танграм? Это одна из известных головоломок. Она родилась в Китае более 3000 лет назад. Из 7 элементов, на которые разделен квадрат, можно составить множество различных предметов и фигур животных.

Начертите на картоне вот такой квадрат и разделите его на части. Для начала попросите ребенка сложить из этих кусочков снова квадрат. Лучше, если ребенок справится с заданием, не глядя на рисунок квадрата. Но если не получается, то, конечно же, можно воспользоваться образцом.

Из этих фигур выкладываются самые разные силуэты. Ребенку проще сделать это, пользуясь образцами с прорисованными составными частями. Контурные образцы более сложны для воспроизведения.

Очень полезны реальные рисунки тех предметов, силуэтное изображение которых создается с помощью игры-головоломки. В этом случае ребенку будет легче представить изображаемый объект и, может быть, составит свой вариант. Подобные занятия полезны при подготовке детей к обучению в школе.

Глава 2. Практическая работа

2.1 Решение задач:

В ходе работы над темой, нами были решены задачи:

на разрезание, на перекраивание, на доказательство. (Смотри приложение 1)

2.2 Создание макетов равновеликих и равносоставленных геометрических фигур, для методической копилки .

Нами были созданы макеты геометрических фигур для решения задач на данную тему.

2.3 Создание методической копилки.

Результатом работы над темой является создание методической копилки. Она будет использоваться учениками на уроках геометрии как наглядное пособие и раздаточный материал при решении задач на разрезание, на перекраивание и на доказательство теорем во время изучения темы «Площадь многоугольников».

Выводы к главе 2. Зная свойства равновеликих и равносоставленых многоугольников мы научились решать геометрические задачи: на разрезание, на доказательство, на перекраивание.

Заключение.

Свойства равносоставленности помогают в бытовой и практической деятельности. Например, с помощью этих свойств мы сможем составлять кружевные рисунки, разбивать домашний минипарк, красиво оформлять цветочные клумбы, оригинально располагать грядки на пришкольном участке, создавать игры для детей.

Но главная их функция-помочь ученикам в изучении геометрии: нахождение площадей плоских многоугольников, доказательств теорем, развитие логического мышления.

Выдвинутая нами гипотеза подтверждена: все равновеликие многоугольники равносоставлены.

ПАСПОРТ ПРОЕКТА

Руководитель проекта ______________ ( Е.Н.Янгузова)

Автор проекта ___________________ ( Баженов Илья)