ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ТЕМУ: «Старинные способы умножения чисел»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЧЕРНОВСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА  

_________________________________________________________________

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

«Старинные способы умножения чисел»

Секция МАТЕМАТИКА

Работу выполнил:

Брусов Вячеслав, ученик 6 класса

Руководитель: Русова Нина Юрьевна,

учитель математики

первой квалификационной категории

село Черное – 2021г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………..…………….3

Глава 1.     «Чудо-счетчики» ……………………………………………………..5

Глава 2. Старинные способы умножения

2.1. Русский крестьянский способ умножения …..………….…….…………...8  

2.2. Таблица умножения на «9» ………………………………………………...8          

 2.2.  Метод «решетки»…………. ……………………………….……………...10

2.3. Умножение на пальцах……………………………………….…...…….…..11

Глава 3.Заключение……………………………………………………………..14

       Список использованной литературы………...………………………………..15

       Приложение…………………………………………………………………..… 16

ВВЕДЕНИЕ

В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, “экономическую - ситуацию” в стране, погоду на “завтра”, описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в 4 веке д. н.э.- Пифагора - “Всё есть число!”.

Согласно философскому воззрению этого учёного и его последователей, числа управляют не только мерой и весом, но также всеми явлениями, происходящими в природе, и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, душой космоса.  Как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.  У  каждого из нас  есть телефон с калькулятором, мы всё чаще и чаще используем его, и, следовательно, уже забываем, как можно без всякой техники легко и быстро посчитать сложные и большие числа или не очень большие. Поэтому цель моей работы – показать лёгкие, быстрые и точные методы счёта, которые не только помогут  нам во время каких-либо расчётах, но вызовут немалое удивление у знакомых и товарищей, ведь свободное выполнение счётных операций в значительной степени может свидетельствовать о незаурядности нашего интеллекта.

Объектом исследования являются алгоритмы старинных способов умножения чисел.

Предметом исследования выступает процесс вычисления умножения чисел старинным способом.

Цель: изучить старинные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике  современных  школьников.

Задачи:

• раскрыть историю возникновения счета;
• описать старинные способы умножения;
•  опытно–экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;

Гипотеза: в старину говорили: «Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Так ли это?

При работе я пользовался следующими методами:

• поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
• практический метод выполнения вычислений с применением старинных алгоритмов умножения;
• анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность данной темы заключается в том, чтобы познакомиться со старинными приемами умножения чисел, узнать тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали меня. Захотелось узнать эти и другие способы вычислений, а также сравнить их с сегодняшними.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники старинные способы выполнения умножений чисел, кроме умножения столбиком  и хотели бы узнать новые способы, был проведен тестовый опрос (см. Приложение). Всего опрошено 8  учащихся  6-го класса.

 Результаты анкетирования:

По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают старинных способов вычисления чисел.

Глава I.   « ЧУДО - СЧЁТЧИКИ»

«Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт–листе бестселлеров — учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда— это поход в лекторий, а самый ценный подарок — книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам».

Именно так, по мнению психологов, выглядит человек–калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.

За порогом сознания чудо – счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками — от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.

В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума — сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. Всего за пару минут он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, МЕГАпамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.

Еще, например, один  учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.

В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили. Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как–то друзья решили проверить возможности «чудо–счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) – «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв , 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.

Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил своим рабочим в конце  недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс–отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: «Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили  и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.

Интересно, что многие «чудо–счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. «Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает». Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик–виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр– счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80–ти лет.

Проводились соревнования в институте кибернетики Украинской  академии  наук. В соревновании  участвовали молодой «счётчик–феномен» Игорь Шелушков и ЭВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных математических операций. Победителем  в этом соревновании вышел Игорь Шелушков.

В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала  Деви тоже несколько опередила ЭВМ.

В 2007 году Марк Вишня, которому тогда было 2,5 года, поразил всю страну своими интеллектуальными способностями. Юный участник шоу «Минута славы»  без труда считал в уме многозначные числа, опережая при вычислениях родителей и жюри, которые пользовались калькуляторами. Уже в два года он освоил таблицу косинусов и синусов, а также некоторые логарифмы.

Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют  дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике  не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Однако бельгийский служащий, который за 30 секунд по предложенному ему многозначному числу, полученному от умножения некоторого числа само на себя 47 раз, называет это число (извлекает корень 47–ой степени из многозначного числа), добился таких потрясающих успехов в счёте в результате многолетней тренировки.

Итак, многие «счётчики–феномены» пользуются особыми приемами  быстрого  счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.

Глава II. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ.

2.1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример:  умножим  47 на 35,

- запишем числа на одной строчке, проведём  между ними  вертикальную черту;

  - левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

  - деление заканчивается, когда слева появится единица;

  - вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;        

- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат         35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

2.2. Таблица умножения на «9»

Следующий способ был замечен мною, когда я учил таблицу умножения на 9.

1*9=9

2*9=18

3*9=27

4*9=36 и т.д.

    Вглядитесь внимательно. Сумма цифр полученного числа всегда равна 9. На первом месте (в числе десятков) в ответе будет стоять цифра на один меньше множителя, не  равного 9. По такому приему можно запомнить таблицу умножения на «9». 

   Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).  

2.3. МЕТОД «РЕШЕТКИ»

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал  в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

В своей  «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).    

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрю еще один пример: перемножим 987 и 12:

• рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
• затем квадратные клетки делим по диагонали;
• вверху  таблицы записываем число 987;
• слева таблицы число 12;
• теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;
• после  заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;
• результат читаем по стрелке.

    Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

  Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

2.4. УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о  том значении, которое придавали древние  этому способу выполнения  умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).

Умножали на пальцах  однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные  пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример:  8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

        УМНОЖЕНИЕ НА 9

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают  0 и отнимают исходное число. Например:

;

.

УМНОЖЕНИЕ НА 11

1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

;

.

2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а  между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

Умножение двузначного числа с суммой цифр, меньшей 10, на 111.

42 • 111 = 4662

Находим сумму цифр данного  двузначного числа (4 + 2 = 6). Раздвигая цифры множимого, дважды пишем между ними сумму цифр данного  двузначного числа.

Умножение трехзначного числа на 11.

236 •11 = 2596

1. Цифру сотен множимого переносим в произведение в качестве цифры

тысяч (2).

2. Цифру десятков множимого складываем с цифрой его сотен (3 + 2 = 5) и

берем эту сумму в качестве сотен произведения.

3. Цифру единиц складываем с цифрой десятков множимого (3 + 6 = 9) и

ставим эту сумму на месте десятков произведения.

4. Берем в качестве единиц произведения единицы множимого (6) Ясно, что этот способ можно применять, если сумма цифр и десятков, а также сумма цифр десятков и единиц меньше 10.

Глава III.

                                                ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение старинных способов умножения чисел показало, что это  было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружил более быстрые и надежные способы вычислений.

 Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки умножения чисел. Таблицу умножения все-таки надо знать! От прочного усвоения таблицы умножения зависит дальнейшее успешное изучение всех школьных дисциплин.  Если бы школьник XX| века мог перенестись на четыре, на три столетия  назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера счетного дела. Думаю, что наш способ умножения чисел в столбик не является совершенным и можно придумать еще более быстрые и более надежные способы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара:  Издательский    

           дом «Фёдоров», 1999г.

2. Билл Хэндли  «Считайте в уме как компьютер»,  Минск, Попурри, 2009г.
3. История математики в школе IV-VI классах. Г.И. Глейзер. М.Просвещение    

            1981г.

4. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html