Исследовательская работа по математике «Теорема Менелая в задачах».

Исследовательская работа по математике

«Теорема Менелая в задачах».

           Выполнена: учеником 9 "А"        класса МБОУ "Гимназия им.

   Подольских курсантов"

         Акуловым Михаилом                                                                                                         

Подольск

2022

Оглавление

1. Введение.                                                                                                                                                                                                                                                            
2. Основная часть.                                                                                                                  

1.  Теорема Менелая                                                                          
2.  Теорема Чевы.                                                                                
3.  Задачи на применение доказанных теорем.                                  

3. Заключение.                                                                                              
4. Список литературы.                                                                                  

Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И уже в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Постепенно развиваясь, она обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направление их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому, нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков её предмет, содержание и методы.

Актуальность

В школьном курсе геометрии рассматриваются важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но невозможно включить все известные утверждения и соотношения,  которые накопило человечество за многие годы, в школьный учебник геометрии.

 В действительности многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не входят в основной курс геометрии. Многие из них сейчас выглядят малоинтересными, несовершенными и встречаются сейчас только в энциклопедиях. Однако некоторые из них продолжают жить, и по сей день. Одни из них теоремы Менелая и Чевы. Эти теоремы просты, интересны и находят применение при решении как простых, так и весьма сложных задач. Несмотря на это теоремы Менелая и Чевы не изучаются в школе на уроках геометрии и встречаются только в школьном учебнике геометрии под редакцией Атанасяна Л.С. в приложении. Доказательства, предложенные автором сложны. Задачи, помещённые в учебнике на применение обратной теоремы Менелая трудны, а задачи на применение прямой теоремы вовсе не рассматриваются.

 По данному вопросу были рассмотрены следующие литературные источники: Прасолов В. В. «Задачи по планиметрии»; Сканави М. И. «Сборник задач по математике для поступающих во Втузы»; . С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. «Новые встречи с геометрией»; статьи физико – математического журнала «Квант» и др.

 Теоремы Чевы и Менелая можно назвать «двойственными» они, похоже, формулируются и доказываются. В своей работе я предлагаю доказательства теоремы Менелая (прямая и обратная), используя подобия треугольников, а теорему Чевы доказываю с помощью теоремы Менелая.

Однако при решении целого класса задач эти теоремы позволяют легко и изящно получить решение, в то время когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.

          Цели  исследования: 

1.           Изучить состояние проблемы в научной литературе и школьной программе.

2.           Выявить теоретические положения для доказательства теорем и научно обосновать способы доказательства  теоремы Чевы и Менелая.

3.           Проанализировать теоремы и их применение при решении задач

           4.  Проверить эффективность и целесообразность применения теорем при решении задач.

5. Создать буклет, как методическое пособие по данной теме.

Научная новизна исследования состоит в том, что в нем проблема доказательства теоремы Чевы и Менелая  решается разными способами.

Теорема Чевы и Менелая позволили нам обнаружить глубоко скрытое общее содержание в таких важнейших теоремах элементарной геометрии, как теорема о трех высотах, медианах и биссектрисах треугольника.

Замечательным свойством теорем является то, что они могут служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 9 классе. В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения:

1.   Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2.   Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

3.  Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке

И многие другие известные соотношения.

Доказательства двух первых утверждений приводятся в работе.

Применение опыта решения планиметрических  задач с использованием теоремы Чевы и Менелая даёт дополнительные возможности при изучении геометрии, помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Начнём с  задачи №1.  Точка Р лежит на стороне АС треугольника АВС, причём АР:РС=1:3. Найти, в каком отношении медиана АМ делит отрезок ВР.

Решение 1. Пусть О - точка пересечения АМ и ВР. Проведем через точку Р прямую РК параллельно АМ. Тогда две параллельные прямые РК и АМ пересекают стороны угла  АСВ, так что по теореме Фалеса имеем отношения АР:РС=МК:КС=1:3. Тогда МК=1 часть, СМ=ВМ= 4 части и по теореме Фалеса для треугольника ВРК  РО:ОВ=КМ:МВ=1:4.

Ответ: 1:4. Решение несложное, но нужно догадаться сделать дополнительное построение, а это искусственный приём. Хотелось бы решить задачу, следуя определённому алгоритму. Этот алгоритм и даёт теорема Менелая. Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры).

Теорема Менелая.

      Пусть прямая a пересекает стороны АВ, АС и продолжение стороны AС соответственно в точках С1, А1 и В1, тогда справедливо соотношение

   (*)

Доказательство. Из точек А, В и С опустим перпендикуляры длиной h1, h2, h3 соответственно на прямую а.

Из подобия соответствующих треугольников получим:

.

Замечание. Справедлива и обратная теорема. Как она формулируется? Докажите её.

Соотношение (*) легко восстановить в памяти, если понять закономерность в записи отношений в нём. Выбираем треугольник и прямую, пересекающую две его стороны. Начинаем обход треугольника из какой-либо его вершины так, чтобы вершины чередовались с точками на сторонах.

У вас, скорее всего, должны возникнуть, по крайней мере, два вопроса.

Что будет, если прямая а пройдёт через вершину треугольника? Ответ: ничего. Теорема Менелая в этом случае не работает.

Что будет, если выбрать другую вершину для старта или пойти в другую сторону? Ответ: будет то же самое. Просто изменится последовательность дробей.

Решение 2 задачи №1.  По теореме Менелая для ΔРВС и прямой АМ имеем:

.

Дополнительный вопрос: чему равно отношение площадей треугольников АОР и МОВ?

При решении задач на отношение площадей часто полезна формула для площади треугольника .

. Нужно найти отношение АО:ОМ. В этом снова поможет теорема Менелая, для ΔАМС и прямой ВР, имеем: . Тогда .

Упражнение. Начертите треугольник АВС и прямую, пересекающую две его стороны. Задайте два каких-либо отношения отрезков на сторонах и найдите третье отношение отрезков внутри треугольника. Каково отношение площадей полученных треугольников?

Задача №2.  (Гор. Ол-да 2012/13, 9 кл). Точка K лежит на стороне АB треугольника АВС. Отрезок СК пересекает медиану АМ треугольника в точке Р, причём АР=АК. Найти отношение ВК:РМ.

Решение.  По теореме Менелая для ΔАВМ и прямой СК имеем:

.

 Ответ:  ВК:РМ= 2.

Задача №3. В треугольнике ABC проведена медиана BK, точка Р находится на отрезке ВС. Отрезки ВК и АР пересекаются в точке М, причём ВР = МР,  длина ВС = 1. Найти длину отрезка АМ.

Решение. (1-й способ).

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСD так, чтобы АС была его диагональю. ∆ РВМ – равнобедренный, угол РВМ  равен углу РМВ равен углу АМК и равен углу АDK (первый и четвёртый углы накрест лежащие), поэтому  ∆ АМD – равнобедренный. Таким образом,  получим      АМ=АD=ВС=1.

Решение. (2-й способ).

По теореме Менелая для треугольника АСР и прямой ВК имеем:

.  По условию АК = КС и ВР = РМ, поэтому СВ = МА = 1.                                  

Ответ: АМ=1.

        Рассмотрим задачи ОГЭ, ЕГЭ и олимпиад, в которых теорема Менелая используется  совместно с другими геометрическими теоремами: подобием, теоремой Фалеса, свойством биссектрисы. Вспомним их.

Задача №4.  (№8, Математика 6-8, июнь 1995). В треугольнике ABC проведена прямая, параллельная АС. Эта прямая пересекает сторону АВ в точке Р, медиану АМ – в точке Т, а сторону BС в точке К. Найти длину  АС, если РТ=3, ТК=5.

Решение. По теореме Менелая для треугольника PKB  и прямой AM имеем  . (*)

PK||AC, тогда из подобия треугольников ABC и PBК следует, что  .       и  . Подставим в (*), получим , значит, АС=11/8⋅РК=11.

Ответ: АС=11.

Задача №5. (№ 26 ОГЭ). В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину,  равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
В Интернете встречается решение такой задачи с помощью дополнительного построения и далее либо подобия, либо нахождения площадей, и только после этого сторон треугольника. Т.е. оба этих способа требуют дополнительного построения. Однако решение такой задачи с помощью свойства биссектрисы и теоремы Менелая не требует никаких дополнительных построений. Оно гораздо проще и рациональнее.

Решение. BE∩ AD= K. Треугольник BAD равнобедренный, потому что биссектриса угла B (то есть - BK)  перпендикулярна основанию AD. AK = KD = 14. Это означает, что AB = BD = BC/2. Поскольку BE – биссектриса, то по её свойству  AE = EC/2, а значит, АЕ=АС/3.

По теореме Менелая для треугольника BЕC  и прямой АД имеем  . Но  KE + BK=28, отсюда BK = 21; KE = 7. 

По теореме Пифагора для треугольника AКB  . По теореме Пифагора для треугольника AКЕ  .  

Ответ: AВ = 7√13; ВС=14√13; AC = 21√5. 

Задача №6. (№ 2.18.2, Гордин, 2016). В треугольнике ABC высота AH равна 30, медиана BM равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков BM и AH до стороны BC равно 6.

а) Докажите, что BH : CH =1 : 3.

б) Найдите площадь треугольника AMB.

Решение.

а) По теореме Менелая для треугольника АСН и прямой ВМ имеем .

б) По теореме Менелая для треугольника ВСМ и прямой КН имеем . Так как ВМ=25, то ВК=10, ВМ=15. По теореме Пифагора ВН=8, тогда СН=24, а ВС=32.

Из ΔКНВ . . Ответ: 240.

Задача №7. (Казахстан. Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс). В треугольнике ABC точка M — середина стороны AB, BD — биссектриса угла ∠ABC, D лежит на AC. Известно, что ∠BDM=90°. Найдите отношение AB:BC.

Решение. Продолжим прямую МD до пересечения с ВС в точке F. В треугольнике MBF BD – биссектриса и высота, а, значит, и медиана, то есть ВМ=BF. CF=BF-BC. По теореме Менелая для треугольника ABC  и прямой MF имеем  . (*)

Так как М – середина АВ, то BM=MA. BD — биссектриса угла B, тогда по свойству биссектрисы: . Для третьей дроби . Из (*) получим . Ответ: АВ:ВС=3:1.

        В заключении заметим, что существует и пространственная теорема Менелая. Она связывает отношения отрезков, которые получаются на рёбрах тетраэдра при пересечении его плоскостью, не параллельной ни одной из его граней.

Задачи для самостоятельного решения.

№1. В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону ВС в отношении BD:DC = 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису (СЕ и AD пересекаются в точке О)?  

а) Решить задачу, используя дополнительные построения.      

б) Решить задачу с помощью  теоремы Менелая. Ответ: 3:1.

в) Найти отношение площадей треугольников АОЕ и СОD.

№2. В остроугольном треугольнике АВС точка Е делит сторону ВС в отношении 2 : 3, точка D делит сторону АС в отношении 4 : 1. В каком отношении отрезок АЕ делит отрезок ВD? Ответ: 5/6. 

№3. (МО Екатеринбург, 97/98, областной тур, 8 кл).    На стороне BC треугольника ABC выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану BD в точке E так, что AE = BC. Докажите, что BF = FE.

Решение задач с  помощью  теорем Чевы и Менелая  более  рационально, чем их  решение  другими  способами, например  векторным, которое  требует  дополнительных  действий.

    Данная работа содержит геометрический материал достаточный для того, чтобы использовать его на эликтивных курсах и как дополнительный материал для учащихся интересующихся математикой. Данную работу можно продолжить, изучив применение этих теорем в пространстве.

Заключение.

Теоремы Чевы и Менелая  просты  в  понимании. Но  трудности,  связанные  с  освоением  этих  теорем, оправданы  их  применением  при  решении  задач.

Замечательным свойством теорем является то, что они могут служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 9 классе. В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения:

•  Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
• Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

   Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Поэтому остановимся на том, когда же имеет смысл применять теорему Менелая при решении задач? Возможность применить теоремы Менелая имеет смысл, когда  в условии задачи:

1. Идёт речь, об отношении отрезков (иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать, что точка является серединой отрезка).
2. Если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).

     3.Иногда полезно применять обратную теорему (если необходимо доказать, что какие-нибудь точки лежат на одной прямой). А также при доказательстве теорем.

 В своей работе  с помощью теоремы Менелая я доказываю теорему Чевы, Симпсона, Дезарга и многие другие известные соотношения.

Доказательства утверждений приводятся в работе.

Применение опыта решения планиметрических  задач с использованием теорем Чевы и Менелая даёт дополнительные возможности при изучении геометрии, помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Теоремы Чевы и Менелая  помогают решить задачи более  рационально, чем их  решение  другими  способами, например  векторным, которое  требует  дополнительных  действий ; быстро  и  оригинально  решить  задачи  повышенной  сложности.  

    Данная работа содержит геометрический материал достаточный для того, чтобы использовать его на элективных курсах и как дополнительный материал для учащихся интересующихся математикой. Данную работу можно продолжить, изучив применение этих теорем в пространстве.

Список литературы

1. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002.      
2. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Ч.1. М.: Наука, Физматлит, 1995.
3. Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих во Втузы. М.: Высшая Школа, 1995.
4. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1991.
5. Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», 2004 №13,14.

6. Б.Орач  «Теорема  Менелая». Квант № 3, 1991.

7. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996.

8. К. А. Иванов «О пропорциональных отрезках в треугольнике» , журнал              « Математика в школе» №8-2004.

9. Е. Качалкина « Применение теорем Чевы и Менелая», журнал  «Математика в школе» №13,14 -2004.

10. Г.И.Глейзер. История математики в школе – 1983, - 316с.